2022-2023学年福建省上杭县第二中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省上杭县第二中学高二上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知为数列的前n项和，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用得到公比，利用求出首项，利用求和公式求出答案.

【详解】因为，所以数列为等比数列，公比，

所以，解得：，

所以

故选：D

2．现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ）

A．7种 B．9种 C．14种 D．70种

【答案】C

【分析】根据分类加法计数原理求解即可

【详解】分为三类:

从国画中选，有2种不同的选法;从油画中选，有5种不同的选法;从水彩画中选，有7种不同的选法，

根据分类加法计数原理，共有5+2+7= 14(种)不同的选法;

故选：C

3．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ）

A．2 B．3 C．6 D．9

【答案】C

【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.

【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.

故选：C.

【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.

4．圆 与直线 的位置关系是（    ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定

【答案】C

【解析】求出圆心到直线的距离，与半径大小作比较，得出位置关系

【详解】圆心为，半径

圆心到直线的距离为

所以直线与圆相离

故选：C

【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．

5．的展开式中的系数为（    ）

A．270 B．135 C．－270 D．－135

【答案】B

【分析】由二项式展开项通项公式求出对应的项数即可求.

【详解】二项式展开项第项为，

则当时，.

故选：B

6．设点在双曲线上，若､为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由双曲线方程求得焦距，然后由双曲线的定义和已知焦半径之比，求得，从而得三角形周长．

【详解】解：由题意知，由双曲线定义知，又，

的周长为：.

故选：A.

7．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上的两个动点，有一定点，则的最小值是（    ）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】A

【分析】根据题意作图，分类讨论：当A与B重合于坐标原点O时；当A与B不重合时，从而可求得答案.

【详解】如图，设点关于y轴的对称点为P，关于x轴的对称点为Q，

则P的坐标为，Q的坐标为，则．

当A与B重合于坐标原点O时，

；

当A与B不重合时， ．

综上可知，当A与B重合于坐标原点O时， 取得最小值10．

故选：A

8．已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．.

【答案】B

【分析】由题设以线段为直径的圆为，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C的离心率的范围.

【详解】由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，

所以，可得，即，又，

所以.

故选：B

二、多选题

9．给出下列几个问题，其中是组合问题的是（    ）

A．求由1，2，3，4构成的含有两个元素的集合的个数

B．求5个队进行单循环比赛的分组情况的种数

C．3人去做5种不同的工作，每人做1种，求不同的安排种数

D．求由1，2，3组成无重复数字的两位数的个数

【答案】AB

【分析】根据组合的定义判断可得选项.

【详解】解：A，B中选出元素就完成了这件事，是组合问题；

而C，D中选出的元素还需排列，与顺序有关，是排列问题.

故选：AB.

10．已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则（    ）

A．实轴长为8 B．虚轴长为4

C．焦距为6 D．离心率为

【答案】ABD

【分析】求出双曲线的标准方程，得到a＝4，b＝2，c＝6，即得解.

【详解】解：双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，

所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.

故选：ABD

11．设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】令可判断选项AB；令，令可判断选项CD.

【详解】令，解得，故选项A错误，B正确.

令，得，故选项C正确.

令，得，

故，即，故选项D正确.

故选：BCD．

12．在平面直角坐标系中，已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，，则（    ）

A． B．直线过点

C．的面积最小值是 D．与面积之和的最小值是

【答案】BCD

【分析】设：，联立方程后得关于的一元二次方程，由韦达定理写出，，再由，即可得，再结合，求解出，从而判断AB，再根据三角形面积公式表示出与的面积，由基本不等式可判断CD.

【详解】设：，，消可得.

，得，，∴，则或

∵，∴，∴，，故A错；

：过，故B对；

设定点，

，当且仅当时，取等号，故C对；

又，

不妨设，又，，当且仅当时，取等号，故D对.

故选：BCD.

【点睛】解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：

（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；

（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

三、填空题

13．已知直线l经过点P（0，1）且一个方向向量为（2，1），则直线l的方程为______．

【答案】

【分析】根据方向向量可得直线的斜率，进而根据点斜式求解方程即可.

【详解】因为直线l的一个方向向量为（2，1），所以其斜率为，所以直线l的方程为，即．

故答案为：

14．数列满足，且，则它的通项公式______．

【答案】##

【分析】根据给定条件，结合等差数列定义求出公差，再求出通项作答.

【详解】因数列满足，即，

因此数列是首项为1，公差为的等差数列，

所以数列的通项公式为.

故答案为：

15．已知双曲线C：的离心率为，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，则直线PA、PB的斜率之积等于___．

【答案】

【分析】根据题意得到，设且，根据斜率公式求出，并且化简到只有离心率的表达式.

【详解】因为双曲线C：

所以，设且即

，所以

故答案为：

16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一个动点，为圆上一个动点，则的最大值为__________

【答案】12

【分析】根据椭圆定义及圆心位置、半径，应用分析法要使最大只需让最大即可，由数形结合的方法分析知共线时有最大值，进而求目标式的最大值.

【详解】由题意得：，根据椭圆的定义得，

∴，

圆变形得，即圆心，半径，

要使最大，即最大，又，

∴使最大即可.

如图所示：

∴当共线时，有最大值为，

∴的最大值为，

∴的最大值，即的最大值为11+1=12，

故答案为：12

四、解答题

17．已知曲线C的方程为，根据下列条件，求实数m的取值范围：

(1)曲线C是椭圆；

(2)曲线C是双曲线．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据椭圆的标准方程可得，即求；

（2）利用双曲线的标准方程可得，即求.

【详解】（1）∵曲线C的方程为，

∴，又曲线C是椭圆，

∴，解得且，

∴实数m的取值范围为；

（2）∵曲线C是双曲线，

∴，

解得或，

故实数m的取值范围为.

18．从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：

（1）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？

（2）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？

【答案】（1）60；（2）91

【分析】（1）根据题意，分别计算“从5名男生中选出2人”和“从4名女生中选出2人”的选法数目，由分步计数原理计算可得答案；

（2）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数目，即可得答案；

【详解】解：（1）根据题意，从5名男生中选出2人，有种选法，

从4名女生中选出2人，有种选法，

则4人中男生和女生各选2人的选法有种；

（2）先在9人中任选4人，有种选法，

其中甲乙都没有入选，即从其他7人中任选4人的选法有种，

则甲与女生中的乙至少要有1人在内的选法有种；

【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于中档题.

19．在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：，设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N（6，n），．

(1)求圆N的标准方程；

(2)若直线l过点（0，－4）且与圆N相交于P，Q两点，O为坐标原点，且，求此时直线l的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设圆方程为，根据与圆外切得到，解得答案.

（2）联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，代入计算得到或，验证即可.

【详解】（1）圆与轴相切，圆为：，，

又圆与圆外切，圆，

即圆，圆心，半径；

由，解得，

故圆的标准方程为．

（2）依题意，直线的斜率存在，设，联立，

消得，

设，则，

由

 ，

得或，当时，舍去.

故直线.

20．已知椭圆：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点A、B，

若P为线段AB的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为－．

(1)求椭圆的方程；

(2)求弦长|AB|．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)设,根据点差法和中点坐标公式及斜率公式可得,再与联立求解即可.

(2)直线与椭圆方程联立求出交点,再由两点间距离公式计算即可.

【详解】（1）设，

由

①－②得，

∴  

 过点F的直线斜率为1

∴，即

又，∴，∴  

∴椭圆方程为

（2）消去得   解得

从而   ∴A（0，），B（－，－）

∴.

21．已知正项数列的前项和为，且．

(1)求的通项公式；

(2)令，数列{}的前项和为，证明：对于任意的，都有．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)应用与关系, 计算并检验,得出;

(2)由(1)得到,应用裂项相消,结合,即可得证.

【详解】（1）当n＝1时，，

当时，，n＝1时也适用，∴

（2），

，

，

又为n的增函数，∴当n＝1时，最小为，

22．在直角坐标系xOy中，已知点，，直线AD，BD交于D，且它们的斜率满足：．

(1)求点D的轨迹C的方程；

(2)设过点的直线l交曲线C于P，Q两点，直线OP与OQ分别交直线 于点M，N，是否存在常数，使，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)；

(2)存在，λ的值为4.

【分析】(1)设出点D的坐标，根据给定条件列式、化简整理即可作答.

(2)设出直线l的方程，与轨迹C的方程联立，借助韦达定理计算三角形面积即可判断作答.

【详解】（1）设，而点，，则，，

又，于是得，化简整理得：，

所以点D的轨迹C的方程是：.

（2）存在常数，使，

如图，

依题意，直线l的斜率存在且不为0，设直线l：，，，

由消去y得：，则，，

，

则，

直线OP：，取，得点M横坐标，同理得点N的横坐标，

则

，

因此有，

于是得，

所以存在常数，使.