数学人教版28.1 锐角三角函数公开课第3课时教案

这是一份数学人教版28.1 锐角三角函数公开课第3课时教案，共3页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。

1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)
2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点)
3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点)
教学过程
一、情境导入
问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？
问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
二、合作探究
探究点一：特殊角的三角函数值
【类型一】 利用特殊的三角函数值进行计算
计算：
(1)2cs60°·sin30°－eq \r(6)sin45°·sin60°；
(2)eq \f(sin30°－sin45°,cs60°＋cs45°).
解析：将特殊角的三角函数值代入求解．
解：(1)原式＝2×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)－eq \r(6)×eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,2)－eq \f(3,2)＝－1；
(2)原式＝eq \f(\f(1,2)－\f(\r(2),2),\f(1,2)＋\f(\r(2),2))＝2eq \r(2)－3.
方法总结： 解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
【类型二】 已知三角函数值求角的取值范围
若csα＝eq \f(2,3)，则锐角α的大致范围是( )
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45°
C．45°＜α＜60° D．0°＜α＜30°
解析：∵cs30°＝eq \f(\r(3),2)，cs45°＝eq \f(\r(2),2)，cs60°＝eq \f(1,2)，且eq \f(1,2)＜eq \f(2,3)＜eq \f(\r(2),2)，∴cs60°＜csα＜cs45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.
方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性．
【类型三】 根据三角函数值求角度
若eq \r(3)tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
解析：∵eq \r(3)tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝eq \f(\r(3),3).∵tan30°＝eq \f(\r(3),3)，∴α＋10°＝30°，∴α＝20°.故选A.
方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
探究点二：特殊角的三角函数值的应用
【类型一】 利用三角形的边角关系求线段的长
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．
解析：由题意可知△BCD为等腰直角三角形，则BD＝BC，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长即可．
解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝BC.在Rt△ABC中，tan∠A＝tan30°＝eq \f(BC,AB)，即eq \f(BC,BC＋4)＝eq \f(\r(3),3)，解得BC＝2(eq \r(3)＋1)．
方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列出式子，求出三角函数值，进而求出答案．
【类型二】 判断三角形的形状
已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－eq \f(\r(3),2)|＝0，试判断△ABC的形状．
解析：根据非负性的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．
解：∵(1－tanA)2＋|sinB－eq \f(\r(3),2)|＝0，∴tanA＝1，sinB＝eq \f(\r(3),2)，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形．
方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.
【类型三】 构造三角函数模型解决问题
要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt△ABC，使∠C＝90°，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝eq \r(3)，∠ABC＝30°，∴tan30°＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3).在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．
解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，进而得出tan15°＝eq \f(CD,BC)，tan75°＝eq \f(BC,CD)求出即可．
解：作∠B的平分线交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E.∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.设CD＝x，则AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－eq \r(3).在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－eq \r(3))2＝(1－x)2，解得x＝2eq \r(3)－3，∴tan15°＝eq \f(2\r(3)－3,\r(3))＝2－eq \r(3)，tan75°＝eq \f(BC,CD)＝eq \f(\r(3),2\r(3)－3)＝2＋eq \r(3).
方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．
三、板书设计
1．特殊角的三角函数值：
2.应用特殊角的三角函数值解决问题．
教学反思
课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，可以说前面部分的教学很成功，学生理解的很好.
30°
45°
60°
sinα
eq \f(1,2)
eq \f(\r(2),2)
eq \f(\r(3),2)
csα
eq \f(\r(3),2)
eq \f(\r(2),2)
eq \f(1,2)
tanα
eq \f(\r(3),3)
1
eq \r(3)