期末测评 试卷 2022-2023 北师大版数学 九年级上册

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期末测评
(第一至第六章)
(120分钟 120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD的度数是(D)
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．如图所示的几何体的左视图是(D)
3．已知关于x的一元二次方程x2＋2m＝4x有两个实数根，则m的取值范围是(A)
A．m≤2 B．m＜2 C．m≥0 D．m＜0
4．已知反比例函数y＝ eq \f(2,x) ，在下列结论中，不正确的是(A)
A．y随x的增大而减少
B．图象必经过点(1，2)
C．图象在第一、三象限
D．若x＞1，则y＜2
5．如图，一束平行的阳光从教室窗户射入，小兵同学量出BC＝1 m，NC＝ eq \f(4,3) m，BN＝ eq \f(5,3) m，AC＝4.5 m，MC＝6 m，则MA的长为(B)
A．5 m B．7.5 m C．6 m D．5.5 m
6．在物理课上，某实验的电路图如图所示，其中S1，S2，S3表示电路的开关，L表示小灯泡，R为保护电阻．若闭合开关S1，S2，S3中的任意两个，则小灯泡L发光的概率是(B)
A． eq \f(1,6) B． eq \f(1,3) C． eq \f(1,2) D． eq \f(2,3)
7．如图，在△APM的边AP上任取两点B，C，过B作AM的平行线交PM于N，过N作MC的平行线交AP于D.若 eq \f(PA,PB) ＝ eq \f(4,3) ，则 eq \f(PC,PD) 的值为(B)
A． eq \f(3,2) B． eq \f(4,3) C．2 D．3
8．若式子 eq \f(1,\r(－k)) 有意义，则函数y＝kx＋1和y＝ eq \f(k2－1,x) 的图象可能是(B)
9．如图是由小正方体组成的几何体从左面和上面看得到的形状图，则组成该几何体最少需要、最多需要小正方体的个数分别为(B)
A．5，6 B．5，7 C．5，8 D．6，7
10．如图，矩形纸片ABCD，AD∶AB＝ eq \r(2) ∶1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′并延长交线段CD于点G，则 eq \f(EF,AG) 的值为(A)
A． eq \f(\r(2),2) B． eq \f(2,3) C． eq \f(1,2) D． eq \f(\r(5),3)
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．反比例函数y＝ eq \f(k,x) 经过(－3，2)，则图象在第__二、四__象限．
12．如图，△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O为位似中心，若OA′＝A′A，则△A′B′C′与△ABC的面积比为__1∶4__．
13．一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子3颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右，则盒子中黑珠子可能有__7__个．
14．如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则 eq \f(S△ADE,S四边形BEDC) 的值为__ eq \f(1,3) __．
15．李伟同学在解关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0时，误将－3x看作＋3x，结果解得x1＝1，x2＝－4，则原方程的解为__x1＝4，x2＝－1__．
16．如图，点A是反比例函数y＝ eq \f(k1,x) (x＜0)图象上一点，AC⊥x轴于点C且与反比例函数y＝ eq \f(k2,x) (x＜0)的图象交于点B，AB＝3BC，连接OA，OB.若△OAB的面积为6，则k1＋k2＝__－20__．
17．如图，点A，B在反比例函数y＝ eq \f(k,x) (x＞0)的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则k＝__8__．
18．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，H是CD的中点．连接GH，若GH的最小值是1，则正方形ABCD的边长为__2 eq \r(2) __．
三、解答题(共66分)
19．(8分)解下列方程．
(1)2x2＋5x－3＝0；
(2)x2－4x＋1＝0.
解析:(1)a＝2，b＝5，c＝－3，
Δ＝52－4×2×(－3)＝49，
x＝ eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a) ＝ eq \f(－5±\r(49),2×2) ＝ eq \f(－5±7,4) ，
所以x1＝ eq \f(1,2) ，x2＝－3；
(2)∵x2－4x＋1＝0，∴x2－4x＝－1，
∴x2－4x＋4＝－1＋4，即(x－2)2＝3，
则x－2＝± eq \r(3) ，
∴x1＝2＋ eq \r(3) ，x2＝2－ eq \r(3) .
20．(8分)如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是DB延长线上一点，若AE＝CE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠BAO＝∠ABO，判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
解析:(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AE＝CE，∴BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)四边形ABCD是正方形，理由如下：
由(1)知，四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB＝90°，
∵∠BAO＝∠ABO，∴AO＝BO，
∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形．
21．(8分)某电子产品销售门店销售一款新产品，每台成本价为300元，经过市场调研发现，每台售价为400元时，每月销售量为600台；每台售价为450元时，每月销售量为550台．假定该产品的月销售量y(单位：台)和销售单价x(x＞300)(单位：元)成一次函数关系．
(1)求月销售量与销售单价的函数关系；
(2)根据相关规定，该产品的销售单价不得高于700元，如果该门店想获得112 500元的月销售利润，则该产品的销售单价应是多少元？
解析:(1)设月销售量与销售单价的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，将(400，600)，(450，550)代入y＝kx＋b，
得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(400k＋b＝600,450k＋b＝550)) ，
解得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－1,b＝1 000)) .
∴月销售量与销售单价的函数关系式为y＝－x＋1 000(x>300).
(2)依题意得：(x－300)(－x＋1 000)＝112 500，
整理得：x2－1 300x＋412 500＝0，
解得：x1＝750，x2＝550.
∵该产品的销售单价不得高于700元，
∴x＝550.
答：该产品的销售单价应是550元．
22．(8分)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且∠ABE＝∠CDF.
(1)探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
(2)连接AC，分别交BE，DF于点G，H，连接BD交AC于点O.若 eq \f(AG,OG) ＝ eq \f(2,3) ，AE＝4，求BC的长．
解析:(1)四边形BEDF为平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABE＝∠CDF，∴∠EBF＝∠EDF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EDF＝∠DFC＝∠EBF，∴BE∥DF，∵AD∥BC，∴四边形BEDF为平行四边形；
(2)设AG＝2a，∵ eq \f(AG,OG) ＝ eq \f(2,3) ，
∴OG＝3a，AO＝5a，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO＝5a，AC＝10a，CG＝8a，
∵AD∥BC，∴△AGE∽△CGB，
∴ eq \f(AE,BC) ＝ eq \f(AG,GC) ＝ eq \f(1,4) ，∵AE＝4，∴BC＝16.
23．(8分)某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动．活动结束后，每个学生只选最关注的一个主题写出征文．学校对主题征文的选题进行了抽样调查，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)这次调查的学生共有多少名？
(2)请将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中“和谐”所对应的圆心角的度数；
(3)如果要在这5个选题中任选两个进行全面调查，根据抽样调查的结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率(将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A，B，C，D，E).
解析:(1)调查的学生数：8÷10%＝80(名)；
(2)关注“互助”的人数为：80×12.5%＝10(名)，
关注“和谐”的人数为80－8－22－15－10＝25(名)，补全条形统计图，如图所示：
“和谐”所对应的圆心角的度数为：
360°× eq \f(25,80) ＝112.5°.
(3)根据题意画图如下：
共有20种等可能的情况，其中恰好选到学生关注最多的两个主题感恩、和谐的情况有2种．
所以，P(关注最多的两个主题)＝ eq \f(2,20) ＝ eq \f(1,10) .
24．(12分)如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A，F，E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE.
(1)求证：AF＝CE；
(2)猜想CE，BF，BC之间的数量关系，并证明；
(3)若CH＝2，AH＝4，请直接写出线段AC，AE的长．
解析:(1)连接AD.
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，
∴AD⊥CB，AD＝DB＝DC.
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADF＝∠CDE，
∵DF＝DE，∴△ADF≌△CDE(SAS)，
∴AF＝CE.
(2)结论：CE2＋BF2＝ eq \f(1,2) BC2.
理由：∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，
∴AC＝ eq \f(\r(2),2) BC，∠DFE＝∠DEF＝45°，
∵△ADF≌△CDE(SAS)，
∴∠AFD＝∠DEC＝135°，∠DAF＝∠DCE，
∵∠BAD＝∠ACD＝45°，
∴∠BAD＋∠DAF＝∠ACD＋∠DCE，
∴∠BAF＝∠ACE，
∵AB＝CA，AF＝CE，
∴△BAF≌△ACE(SAS)，
∴BF＝AE，
∵∠AEC＝∠DEC－∠DEF＝135°－45°＝90°，
∴AE2＋CE2＝AC2，∴BF2＋CE2＝ eq \f(1,2) BC2.
(3)设EH＝m.∵∠ADH＝∠CEH＝90°，
∠AHD＝∠CHE，∴△ADH∽△CEH，
∴ eq \f(AD,CE) ＝ eq \f(DH,EH) ＝ eq \f(AH,CH) ＝ eq \f(4,2) ＝2，
∴DH＝2m，∴AD＝CD＝2m＋2，
∴EC＝m＋1，
在Rt△CEH中，CH2＝EH2＋CE2，
∴22＝m2＋(m＋1)2，∴2m2＋2m－3＝0，
∴m＝ eq \f(－1＋\r(7),2) 或 eq \f(－1－\r(7),2) (舍去)，
∴AE＝AH＋EH＝ eq \f(7＋\r(7),2) ，
∴AD＝1＋ eq \r(7) ，∴AC＝ eq \r(2) AD＝ eq \r(2) ＋ eq \r(14) .
25．(14分)【阅读】
通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【理解】
(1)如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C，D，E是AB的中点，连接CE.已知AD＝a，BD＝b(0＜a＜b).
①分别求线段CE，CD的长(用含a，b的代数式表示)；
②比较大小：CE________CD(填“＜”“＝”或“＞”)，并用含a，b的代数式表示该大小关系．
【应用】
(2)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M，N在反比例函数y＝ eq \f(1,x) (x＞0)的图象上，横坐标分别为m，n.设p＝m＋n，q＝ eq \f(1,m) ＋ eq \f(1,n) ，记l＝ eq \f(1,4) pq.
①当m＝1，n＝2时，l＝________；当m＝3，n＝3时，l＝________；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是________．
请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
解析:(1)①如图1中，
∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠A＝90°，∠A＋∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，∴△ADC∽△CDB，
∴ eq \f(AD,CD) ＝ eq \f(CD,DB) ，∴CD2＝AD·DB，
∵AD＝a，DB＝b，CD＞0，∴CD＝ eq \r(ab) ，
∵∠ACB＝90°，AE＝EB，∴EC＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(1,2) (a＋b)，
②∵CD⊥AB，∴根据垂线段最短可知，CD＜CE，即 eq \f(1,2) (a＋b)＞ eq \r(ab) ，∴a＋b＞2 eq \r(ab) .
答案：＞
(2)①当m＝1，n＝2时，l＝ eq \f(9,8) ；
当m＝3，n＝3时，l＝1.
答案： eq \f(9,8) 1
②猜想：l的最小值为1.
理由：如图2中，过点M作MA⊥x轴于A，ME⊥y轴于E，过点N作NB⊥x轴于B，NF⊥y轴于F，连接MN，取MN的中点J，过点J作JG⊥y轴于G，JC⊥x轴于C，
则J( eq \f(m＋n,2) ， eq \f(\f(1,m)＋\f(1,n),2) ).
∵当m≠n时，点J在反比例函数图象的上方，
∴矩形JCOG的面积＞1，
当m＝n时，点J落在反比例函数的图象上，矩形JCOG的面积＝1，∴矩形JCOG的面积≥1，
∴ eq \f(m＋n,2) · eq \f(\f(1,m)＋\f(1,n),2) ≥1，即l≥1，∴l的最小值为1.