期中测评 试卷 2022-2023 北师大版数学 九年级上册

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期中测评
(第一至第三章)
(120分钟 120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．不解方程，判别方程x2－3x＋2＝0的根的情况是(A)
A．有两个不等实根 B．有两个相等实根
C．没有实根 D．无法确定
2．已知m是一元二次方程x2－3x＋1＝0的一个根，则2 021－m2＋3m的值为(A)
A．2 022 B．2 021
C．2 019 D．－2 020
3．已知四边形ABCD是矩形，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(B)
A．∠D＝90° B．BC＝CD
C．AD＝BC D．AB＝CD
4．小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如表所示：
下面有四个推断：
①当移植的棵数是1 500时，表格记录成活数是1 335，所以这种树苗成活的概率是0.890；
②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；
③若小张移植10 000棵这种树苗，则可能成活9 000棵；
④若小张移植20 000棵这种树苗，则一定成活18 000棵．
其中合理的是(C)
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5．如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝2，则点C的坐标为(B)
A．( eq \r(2) ，1) B．( eq \r(2) ， eq \r(2) )
C．(1， eq \r(2) ) D．( eq \r(2) ＋1，1)
6．假如每个鸟卵都可以成功孵化小鸟，且孵化小鸟是雄性和雌性的可能性相等．现有3枚鸟卵，孵化出的小鸟恰有两个雌性一个雄性的概率是(C)
A． eq \f(1,8) B． eq \f(1,4) C． eq \f(3,8) D． eq \f(1,2)
7．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是1和－3，若关于x的方程ax2＋bx＋c＋m＝0(m＞0)有两个根，其中一个根是4，则另一个根是(B)
A．－8 B．－6 C．－4 D．－2
8．流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是(C)
A．x＋x(1＋x)＝81 B．1＋x＋x2＝81
C.1＋x＋x(1＋x)＝81 D．x(1＋x)＝81
9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为(C)
A．2 B． eq \f(5,2) C． eq \r(5) D．3
10．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝ eq \r(2) ，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝6；③CF＝BD＝ eq \r(17) ；④△COF的面积是 eq \f(3,2) .其中正确的结论为(B)
A．①③ B．①④
C．②③ D．①③④
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．若x＝0是一元二次方程(m＋4)x2＋3x＋m2＋2m－8＝0的解，则m＝__2__．
12．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2，图象如图所示，则小球从抛出到落地共用时为__6__s．
13．如图，有A，B，C三类长方形(或正方形)卡片(a＞b)，其中甲同学持有A，B类卡片各一张，乙同学持有B，C类卡片各一张，丙同学持有A，C类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是__ eq \f(1,3) __．
14．已知电路AB由如图所示的开关控制，闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个，则使电路形成通路的概率是__ eq \f(3,5) __．
15．设x1，x2是方程2x2＋3x－4＝0的两个实数根，则4x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋4x1－2x2的值为__11__．
16．现将背面完全相同，正面分别标有数－6，1，2，3的4张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数标记为m，再从剩下的3张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为n，则数字m，n都不是方程x2－5x＋6＝0的解的概率为__ eq \f(1,6) __．
17．我们定义：连接平行四边形一组对边中点的线段叫做“对边中位线”，连接平行四边形一组邻边中点的线段叫做“邻边中位线”．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，对角线BD＝8，那么“对边中位线”EF与“邻边中位线”EG，FG所围成的△EFG的面积是__8 eq \r(3) __．
18．如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN，DN，且∠DNM＝∠DBC，当△DMN是等腰三角形时，线段BN的长为__15或24或 eq \f(225,24) __．
三、解答题(共66分)
19．(10分)解方程：
(1)2(x－3)2＝x2－9；
(2)x2－ eq \r(3) x－ eq \f(1,4) ＝0.
解析:(1)∵2(x－3)2＝x2－9，
∴2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0，
则(x－3)(x－9)＝0，∴x－3＝0或x－9＝0，解得x1＝3，x2＝9.
(2)∵a＝1，b＝－ eq \r(3) ，c＝－ eq \f(1,4) ，
∴Δ＝(－ eq \r(3) )2－4×1× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4))) ＝4＞0，
则x＝ eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a) ＝ eq \f(\r(3)±2,2) ，
∴x1＝ eq \f(\r(3)＋2,2) ，x2＝ eq \f(\r(3)－2,2) .
20．(8分)关于x的方程为x2－(m＋2)x＋2m－1＝0.
(1)证明：方程有两个不相等的实数根；
(2)已知方程的两个实数根x1，x2满足 eq \f(1,x1) ＋ eq \f(1,x2) ＝1，求出m的值．
解析:(1)∵关于x的方程为x2－(m＋2)x＋2m－1＝0.
∴Δ＝[－(m＋2)]2－4(2m－1)＝m2＋4m＋4－8m＋4＝m2－4m＋4＋4＝(m－2)2＋4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．
(2)∵x1＋x2＝m＋2，x1x2＝2m－1，
∴ eq \f(1,x1) ＋ eq \f(1,x2) ＝ eq \f(x1＋x2,x1x2) ＝ eq \f(m＋2,2m－1) ；
又∵ eq \f(1,x1) ＋ eq \f(1,x2) ＝1，∴ eq \f(m＋2,2m－1) ＝1，∴m＝3.
21．(8分)2021年五一小长假，某旅游景点共接待游客2万人次，预计2023年五一假期，该景点接待游客将达2.88万人次．该景点有一家特色闽南面线糊小店，根据以往销售经验测算，面线糊成本价每碗10元；若每碗售价15元，平均每天能销售120碗，若售价提高1元，则每天少卖8碗，且该店面每天店租等各类开支费用为168元．
(1)求2021年至2023年游客人数的年平均增长率；
(2)为了让更多的人前来消费，更好地宣传小店，店家希望销量最大化，则每碗售价为多少元时，店家能实现每天净利润600元？(净利润＝总收入－扣除成本－各类开支)
解析:(1)设2021年至2023年游客人数的年平均增长率为x，
依题意得2(1＋x)2＝2.88，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去).
答：2021年至2023年游客人数的年平均增长率为20%.
(2)设每碗售价为y元，则每天可售出
120－8(y－15)＝(240－8y)碗，
依题意得y(240－8y)－10(240－8y)－168＝600，整理得y2－40y＋396＝0，
解得y1＝18，y2＝22.
又∵店家希望销量最大化，∴y＝18.
答：每碗售价为18元时，店家能实现每天净利润600元．
22．(8分)如图，已知矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EF⊥EC，且AE＝CD.
(1)求证：AF＝DE.
(2)若DE＝ eq \f(2,5) AD，求AE∶AF的值．
解析:(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵EF⊥CE，
∴∠FEC＝90°，
∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠DEC＝90°，
∴∠AFE＝∠DEC，
在△AEF与△DCE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠AFE＝∠DEC,∠A＝∠D,AE＝DC)) ，
∴△AEF≌△DCE(AAS)，
∴AF＝DE；
(2)∵DE＝ eq \f(2,5) AD，
∴AE＝ eq \f(3,2) DE，
∵AF＝DE，
∴AE＝ eq \f(3,2) AF，
∴AE∶AF＝ eq \f(3,2) .
23．(10分)为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校准备开展“趣味运动会”比赛活动，比赛项目有：“两人三足”“春种秋收”“穿越火线”“摸石过河”(分别用字母A，B，C，D依次表示这四个运动项目)，将A，B，C，D这四个字母分别写在4张完全相同的不透明卡片的正面上，把这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小艺和小文参加趣味比赛项目，比赛时小艺先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小文从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上内容进行趣味运动项目比赛．
(1)小文参加“穿越火线”的概率是______．
(2)请用列表法或画树状图法求小艺和小文参加两个不同项目的概率．
解析:(1)一共有4个不同的比赛项目，小文参加“穿越火线”的情况只有1种，
所以小文参加“穿越火线”的概率为 eq \f(1,4) .
答案： eq \f(1,4)
(2)用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有16种等可能出现的结果，其中两人参加不同项目的有12种，
所以两人参加不同项目的概率为 eq \f(12,16) ＝ eq \f(3,4) .
24．(10分)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)若∠AED＝2∠EAD，AB＝a，求四边形ABCD的面积．
解析:(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC (三线合一)，
即BD⊥AC，
∴▱ABCD是菱形．
(2)∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°
由(1)知，EO⊥AC，AO＝OC
∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形，
∵∠AED＝2∠EAD，
∴∠EAD＝15°，
∴∠DAO＝∠EAO－∠EAD＝45°，
∵▱ABCD是菱形，
∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，
∴菱形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积＝AB2＝a2.
25．(12分)(1)如图矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP＝OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．
(2)如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．
(3)如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．
解析:(1)四边形CODP的形状是菱形，
理由如下：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝ eq \f(1,2) AC，OB＝OD＝ eq \f(1,2) BD，∴OC＝OD，
∵DP∥OC，DP＝OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵OC＝OD，
∴平行四边形CODP是菱形；
(2)四边形CODP的形状是矩形，
理由如下：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，
∵DP∥OC，DP＝OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵∠DOC＝90°，
∴平行四边形CODP是矩形；
(3)四边形CODP的形状是正方形，
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC＝BD，OA＝OC＝ eq \f(1,2) AC，OB＝OD＝ eq \f(1,2) BD，
∴∠DOC＝90°，OD＝OC，
∵DP∥OC，DP＝OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵∠DOC＝90°，OD＝OC，
∴平行四边形CODP是正方形．
移植棵
数(n)
成活
数(m)
成活率
(m/n)
移植棵
数(n)
成活
数(m)
成活率
(m/n)
50
47
0.940
1 500
1 335
0.890
270
235
0.870
3 500
3 203
0.915
400
369
0.923
7 000
6 335
0.905
750
662
0.883
14 000
12 628
0.902
小文
小艺
A
B
C
D
A
AA
BA
CA
DA
B
AB
BB
CB
DB
C
AC
BC
CC
DC
D
AD
BD
CD
DD