2021-2022学年四川省绵阳市开元中学高二下学期期中质量检测数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年四川省绵阳市开元中学高二下学期半期质量检测数学（理）试题

一、单选题

1．命题“,”的否定为（　　）

A．, B．,

C．, D．,

【答案】A

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可.

【详解】解:由题根据全称量词命题的否定可知,

“,”的否定为 “,”.

故选:A

2．在复平面内，复数对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【详解】因为，因此可知复数对应的点位于第四象限，选D.

3．下列说法正确的是（　　）

A．集合，，则“”是“”的充分不必要条件

B．“”是“”的必要不充分条件

C．命题“若，则”的否命题是“若，则”

D．命题“若，都是奇数，则是偶数”的逆否命题是“若不是偶数，则，都不是奇数”

【答案】C

【分析】根据集合的包含关系，判断A选项；根据不等式的性质可判断B项；根据命题的四种形式判断C、D项.

【详解】因为，所以“”是“”的必要不充分条件，A错误；

因为，所以；反过来也成立.所以，“”是“”的充要条件，B错误；

命题“若，则”的否命题是“若，则”，所以C项正确；

命题“若，都是奇数，则是偶数”的逆否命题是“若不是偶数，则，不都是奇数”，所以D项错误.

故选：C.

4．已知函数，则（　　）

A．e B．－e

C．e2 D．－e2

【答案】D

【分析】结合导数的定义求得正确答案.

【详解】因为，

.

故答案为：D.

5．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根极值与导函数的关系确定在附近的正负，得的正负，从而确定正确选项．

【详解】由题意可得，而且当时，，此时，排除B、D；

当时，，此时，，若，，

所以函数的图象可能是C．

故选：C

6．已知四棱锥，底面为平行四边形，分别为，上的点，，设，则向量用为基底表示为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】通过寻找封闭的三角形，将相关向量一步步用基底表示即可.

【详解】

.

故选：D

7．已知函数，则的极大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用导数可判断函数的单调性，进而可得函数的极大值.

【详解】函数的定义域为，

,

令，解得或，

故

所以的极大值为，

故选：B.

8．直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】C

【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，则AE∥A1B，∠EAC1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC1为正三角形，∴∠EC1B为，故选C．

9．函数在区间上取得最大值时的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】对函数求导，判断其在的单调性，进而求得其最大值.

【详解】由得，

令，即在区间上解得，

当时，，为增函数，

当时，，为减函数，

所以当时，取得最大值.

故选：B.

10．已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】依题意，导函数在，上大于等于0恒成立，参变分离可得，进而得解；

【详解】解：因为，所以，

函数在，上是增函数，

在，上恒成立，

在，上恒成立，即在，上恒成立，则只需，

，，单调递增，

，

，解得或，

实数的取值范围为；

故选：D

11．是定义在上的函数，是的导函数，已知，且，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据不等式构造函数，然后利用函数单调性解不等式即可.

【详解】由，得

构造函数，，

所以函数在上单调递增，

因为，所以

不等式等价于

即，所以

故选：C.

12．设函数，若是的极大值点，则的取值范围为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】,

,,由得，

,

若,由,得,当时,,此时单调递增；

时,,此时单调递减；

所以是的极大值点．

若,则由,得或．时的极大值点,

,解得．综上：,的取值范围时．故选B．

【点晴】本题是一道关于函数极值的题目,考虑运用导数求函数的极值．对求导,得,由得,将代入到导函数中,可得,接下来分和两种情况,结合函数的单调性,分别求出的极大值点,从而建立的不等式求解即可．

二、填空题

13．复数满足，则的共轭复数________.

【答案】

【分析】先求出复数，进而求得其共轭复数．

【详解】解：，

．

故答案为：．

14．物体做直线运动，其运动规律是，为时间，单位是s；为路程，单位是m，则它在时的瞬时速度为____m/s．

【答案】####

【分析】对求导，将代入计算即可

【详解】由，则

所以该物体在时的瞬时速度为：m/s

故答案为：

15．两个非零向量，，定义．若，，则___________．

【答案】

【分析】根据新定义及向量夹角公式计算即可.

【详解】因为，，

所以，

故，

所以，

故答案为：

16．若函数在区间上有两个极值点，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】求得，根据题意转化为在上有两个不等的实数根，转化为和的图象有两个交点，求得，求得函数的单调性与最值，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得，

因为函数在区间上有两个极值点，

即在上有两个不等的实数根，

即在上有两个不等的实数根，

即函数和的图象有两个交点，

又由，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以，且当时，，当时，，

所以，解得，即实数的取值范围是.

故答案为：.

三、解答题

17．已知,命题，不等式恒成立；命题，使得成立．

(1)若为真命题，求实数的取值范围；

(2)若为真，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将恒成立问题转化为，得即可解决；（2）根据为真，得为真命题或为真命题即可解决.

【详解】（1）根据题意，命题，不等式恒成立，

则有，

又由，得，

则有，解可得，

即的取值范围为；

（2）由（1）得为真命题时实数的取值范围，

若为真命题，必有，

因为，则有，

若为真，则，，或

,

故的取值范围为

18．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，∠BAA1＝∠DAA1，AC1．

(1)求侧棱AA1的长；

(2)M，N分别为D1C1，C1B1的中点，求及两异面直线AC1和MN的夹角．

【答案】(1)4

(2)0；90°.

【分析】（1）由平方，再利用数量积的运算性质展开即可得出．

（2）由，（），再利用数量积的运算性质展开即可得出．

【详解】（1）设侧棱AA1＝x，

∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，

∴1，x2，•0，•，•，

又∵，

∴2＝（）22•2•2•26，

∴x2+2x﹣24＝0，∵x＞0，∴x＝4，

即侧棱AA1＝4．

（2）∵，（），

∴（）•（）（••）（1﹣1+2﹣2）＝0，

∴两异面直线AC1和MN的夹角为90°．

19．已知是函数的一个极值点．

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数有且仅有1个零点，求的取值范围．

【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为；

(2)

【分析】（1）由题意，解得，再通过和解出函数的单调递增区间和单调递减区间.

（2）根据函数单调性，算出函数极值，通过函数图像判断直线与图像有1个交点时的取值范围．

【详解】（1）函数的定义域为

，由是函数的一个极值点，

则，即，解得；

的导数为，

令，解得，或，；令，解得，．

则的单调递增区间为，，单调递减区间为；

（2）由于在和内单调递增，在内单调递减，

则在处取得极大值，且为，在处取得极小值，且为

由于直线与图像有1个交点，

或．

故的取值范围是．

20．如图所示，是边长，的矩形硬纸片，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形后，再沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子，、是上被切去的小正方形的两个顶点，设.

（1）将长方体盒子体积表示成的函数关系式，并求其定义域；

（2）当为何值时，此长方体盒子体积最大？并求出最大体积.

【答案】（1），；（2）当时长方体盒子体积最大，此时最大体积为.

【分析】（1）分别由题意用x表示长方体的长宽高，代入长方体的体积公式即可表示该函数关系，再由实际长方体的长宽高都应大于零构建不等式组，即可求得定义域.

（2）利用导数分析体积在定义域范围内的单调性，进而求函数的最大值.

【详解】长方体盒子长，宽，高.

（1）长方体盒子体积，

由得，故定义域为.

（2）由（1）可知长方体盒子体积

则，在内令，解得，故体积V在该区间单调递增；

令，解得，故体积V在该区间单调递减；

∴在取得极大值也是最大值.此时.

故当时长方体盒子体积最大，此时最大体积为.

【点睛】本题考查实际生活中的最优解问题，涉及数学建模与利用导数求函数的最大值，属于简单题.

21．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面，是的中点．

（1）证明：直线平面；

（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】试题分析：（1） 取的中点，连结，，由题意证得∥，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：，，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角的余弦值为．

试题解析：（1）取中点，连结，．

因为为的中点，所以,,由得，又

所以．四边形为平行四边形， ．

又，，故

(2)

由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则

则，，，，

,则

因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以

，

即（x-1）²+y²-z²=0

又M在棱PC上,设

由①，②得

所以M，从而

设是平面ABM的法向量，则

所以可取.于是

因此二面角M-AB-D的余弦值为

点睛:（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．

（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等，故有|cos θ|＝|cos<m，n>|=．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．

22．设函数．

(1)当时，过原点做的切线，求切线方程；

(2)不等式对于恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）设出切点，根据导数的几何意义，写出切线方程，根据其经过原点，求得切点坐标，则切线方程得解；

（2）对目标式分离参数后，构造函数，利用导数求得其最大值，即可求得参数的取值范围.

【详解】（1）根据题意当时，，设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为

将代入切线方程，解得，故切线方程为.

（2）由对于恒成立，

整理得；

令则；

令；

所以单调递减，；所以；

当 ，单调递增；

当，，单调递减.

所以的最大值为；

因为，所以

所以；

故．

【点睛】本题考察导数的几何意义，以及利用导数研究恒成立问题，涉及隐零点问题的处理，解决本题的关键是利用隐零点求得的最大值，属综合中档题.