2022-2023学年福建省永泰县城关中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省永泰县城关中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．观察图，点数所成数列的一个通项公式（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】观察为平方数数列.

【详解】由题意，依次点数为1、4、9、16，为完全平方数，故.

故选：B.

2．若直线的倾斜角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由倾斜角与斜率的关系求解，

【详解】由题意得，则，

故选：A

3．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点（左、右顶点除外），若的周长为8，则（    ）

A．1 B． C．8 D．

【答案】C

【分析】利用椭圆的几何性质求解即可.

【详解】因为是椭圆上一点，

所以的周长，

由椭圆方程得，又，

解得，

所以，

故选：C

4．圆与圆的公共点的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．不确定

【答案】C

【分析】判断两圆的位置关系即可得答案.

【详解】解：因为圆变形为

所以，圆的圆心为，半径为，

圆变形为圆，

所以，圆的圆心为，半径为，

因为，

所以，圆与圆相交，其公共点的个数为.

故选：C

5．设，是双曲线C：的两个焦点，O为坐标原点，点P在C的渐近线上，且，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出渐近线，由双曲线的对称性，不妨设，由列方程解出参数，求出，即可求面积.

【详解】双曲线的渐近线为，由双曲线的对称性，不妨设，由得，

又，∴的面积.

故选：A

6．已知等比数列单调递增，且，，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．9

【答案】C

【分析】利用等比数列的通项公式计算和即可求解.

【详解】因为为等比数列且单调递增，

所以解得（舍去）或，

所以，

故选：C

7．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则所在直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据，边上的高所在直线方程为，得到边所在直线的方程，再与边上的中线所在直线方程联立求得点C，设，由点B在AC的高线上和AB的中线上求解.

【详解】解：因为，边上的高所在直线方程为，

所以，

所以边所在直线的方程为，即.

又边上的中线所在直线方程为，

由，解得，

 所以.

设，则线段的中点，

则

解得

即，

所以所在直线的方程为.

故选：D

8．已知圆，直线，若上存在点，过作圆的两条切线，切点分别为，使得，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由圆的性质可确定，且当为圆心到直线的距离时，取得最大值，由此可构造不等式解得的范围.

【详解】由圆的方程知：圆心，半径，

，，，，

，

，

当取得最小值，即为圆心到直线的距离时，取得最大值，

存在点使得，则此时，

则，即，

解得：，即实数的取值范围为.

故选：D.

二、多选题

9．在同一直角坐标系下，直线与圆的位置可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据圆心的位置可确定的正负，由此可确定直线斜率的正负，进而确定可能的图象.

【详解】对于ABC，由圆的图象知圆心位于第一象限，，，

直线斜率，则A正确，BC错误；

对于D，由圆的图象知圆心位于第四象限，，，

直线斜率，则D正确.

故选：AD.

10．已知数列的前项和为，若，则当取得最小值时，的值可能是（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】BC

【分析】由题知时，；时，；时，，进而根据题意求解即可得答案.

【详解】解：因为的解集为，

所以，对于数列，当时，；时，；时，，

所以，数列的前项和为取得最小值时，或.

故选：BC

11．已知、分别是双曲线的左、右焦点，直线是双曲线的一条渐近线，关于直线对称的点为，以为直径的圆与直线有公共点，则双曲线的离心率的取值可能为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】ABC

【分析】求出、到直线距离均为，求出且，则以为直径的圆与直线有公共点，得，即可构造齐次不等式，得出离心率范围.

【详解】不妨设直线的方程，即，

则到直线的距离，

设与直线交于点，关于直线对称的点为，则为的中点，

且，，

又∵为的中点，故，且，

∵以为直径的圆与直线有公共点，与直线的距离为，故，

故，即.

故选：ABC

12．若对任意的且，总存在，使得，则称数列是“数列”.（    ）

A．至少存在一个等比数列不是“数列”

B．至少存在两个常数列为“数列”

C．若是“数列”，则也是“数列”

D．对任意的，总是“数列”

【答案】ABD

【分析】对于A，若，然后根据“数列”的定义判断，对于B，由判断，对于C，举例判断，对于D，设，然后根据“数列”的定义判断.

【详解】对于，若，则是等比数列，由，得，则不是“数列”.

对于，由，得或1，所以至少存在两个常数列为“数列”.

对于C，若，则是“数列”，令，设，则，故不是“数列”.

对于D，设，由，得，所以对任意的总是“数列”.

故选：ABD

三、填空题

13．已知直线：与直线：互相垂直，则它们的交点坐标为_________.

【答案】

【分析】利用互相垂直求出，然后两直线联立即可求出交点坐标.

【详解】因为直线：与直线：互相垂直，

所以，解得，

联立，解得直线和的交点坐标为，

故答案为：

14．法国数学家费马于1640年提出了猜想：是质数.这种具有美妙形式的数被称为费马数，因为随着n的增大，迅速增大，所以要判断费马的猜想是否正确非常不容易，一直到1732年才被数学家欧拉算出，才证明费马的猜想是错误的.若数列满足，则满足的最小正整数_________.

【答案】11

【分析】将代入得到通项公式，然后解不等式即可.

【详解】

又

故答案为：11

15．已知实数，满足，则的取值范围为________．

【答案】

【分析】依题意可得，其中表示圆上的点与定点的距离的平方，求出圆心的坐标，即可求出，从而求出的取值范围，即可求出的取值范围，即可得解.

【详解】解：因为，

又实数，满足，

所以点在以为圆心，半径的圆上，

又表示圆上的点与定点的距离的平方，

因为，所以，

即，所以，

所以，

所以，即.

故答案为：

16．已知F是椭圆C：的左焦点，M是椭圆C上任意一点，Q是圆E：上任意一点，则的最小值_________.

【答案】-2

【分析】设出椭圆的另一焦点，根据椭圆的几何性质，可得，转化为三点共线能取最小值的问题，再结合圆的几何性质，即可求解.

【详解】解：椭圆方程为： ，

，，，

又圆方程可化为：，

圆心坐标为，半径，

设椭圆的右焦点为，则，

当且仅当，，，共线时，取得等号，

的最小值为，

故答案为：.

四、解答题

17．已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数且均不为0．

(1)求直线的一般式方程；

(2)若直线与直线平行，求m的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意设直线方程的截距式方程，将点代入计算即可；

（2）由（1）知直线的斜率存在且不为0，所以利用两直线平行的性质求解出参数，注意讨论即可.

【详解】（1）由题意设直线方程为：

将点代入得：

所以直线方程为：

所以直线l的一般式方程为：

（2）由（1）知直线l的斜率存在且不为0,

所以若直线与直线平行

则

所以或

当时，直线满足题意

当时，直线与直线重合不满足题意

所以

18．已知是等差数列的前n项和，且，.

(1)求；

(2)若，求数列的前n项和.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用基本量列方程求解即可；

（2）由裂项相消法求和.

【详解】（1）为等差数列，则，，

.

∴，故，

故.

（2），

∴

19．已知是双曲线上的两点．

(1)若是坐标原点，直线经过的右焦点，且，求直线的方程；

(2)若线段的中点为，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）讨论斜率是否存在，设直线方程，联立方程，然后根据即可求解；（2）根据点差法求解中点弦问题即可.

【详解】（1）由题知：双曲线焦点在 轴上， ，

所以右焦点为 ，

当直线的斜率不存在时，直线为 ，

此时设 ，

,

,不满足题意；

当直线的斜率存在时，

设直线为 ，，

联立方程，消去 得：

，

所以 ，

因为 ，

所以

解得 ，

所以直线的方程为；

（2）设，

因为在双曲线上，

所以，

化简得：，

所以，

所以

因为是中点，

所以

所以，即 ，

所以直线的方程为，

即

20．已知椭圆C：的离心率为，短轴长为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若A，B分别为椭圆C的上顶点和右顶点，P是椭圆C上异于A，B的任意一点，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据椭圆的离心率可得，然后根据椭圆的短轴长即可求解；

(2)根据（1）的方程，求出直线的方程，设出与直线平行的方程，当所设直线与椭圆相切时，的面积最大，将所设直线方程与椭圆方程联立，利用判别式等于零求出所设直线方程，在求出两平行线间的距离即可求解.

【详解】（1）由题意可知：，所以，

又因为短轴长为，所以，，

所以椭圆C的方程.

（2）由（1）可知：，则，

直线的方程为，也即，

设与直线平行的方程为，

联立方程组，整理可得：，

当直线与椭圆相切时，的面积最大，

也即满足，解得：，

因为直线的方程为，所以时，两平行线间距离最大，

两平行线与之间的距离，

所以面积的最大值为

.

21．在数列中，，且.

(1)证明：是等比数列.

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；

（2）利用分组求和和错位相减求解即可.

【详解】（1）由题意可得，因为，所以，

所以，所以，即，

又，

所以是以为首项，为公比的等比数列.

（2）由（1）得，

所以，

设数列前项和为，数列前项和为，

则①，

②，

①-②得，

所以，

又，

所以.

22．已知圆W经过三点．

(1)求圆W的方程．

(2)若经过点的直线与圆W相切，求直线的方程．

(3)已知直线与圆W交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)直线经过定点，且该定点的坐标为

【分析】（1）设圆的一般方程，代入A，B，C三点坐标列出方程组，即可求得圆的方程；

（2）由圆的方程可得圆心和半径，直线的斜率不存在时，不符合题意，故直线的斜率存在，设直线的方程为，由圆心到直线距离等于半径可构造方程求得直线的斜率，进而可得直线的方程；

（3）当直线斜率不存在时，不满足；当直线斜率存在时，设直线的方程为，与圆方程联立，得，由此利用判别式、根与系数的关系、直线方程，结合已知条件即可证明直线过定点．

【详解】（1）设圆W的方程为，

则，解得

则圆W的方程为．

（2）由（1）可知，圆W的圆心坐标为，半径为3．

若直线的斜率不存在，则直线的方程为，圆心W到直线的距离为，不符合题意．

若直线的斜率存在，设直线的方程为，

则圆心W到直线的距离为，解得，

故直线的方程为．

（3）若直线的斜率不存在，则设直线的方程为，

则，整理得．

又，解得，所以直线的方程为，此时经过点，不符合题意．

若直线的斜率存在，则设直线的方程为，

联立方程组，整理得，

则．

，

则，

整理得，

解得或（舍去）．

当时，直线的方程为，此时直线经过点，不符合题意，故舍去．

所以，

故直线的方程为，即，经过定点．

综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为．