高中物理高考 第06讲 极值法-2021年高考物理解题方法大全（解析版）

这是一份高中物理高考 第06讲 极值法-2021年高考物理解题方法大全（解析版），共24页。试卷主要包含了由公式得，水上滑梯可简化成如图所示的模型等内容，欢迎下载使用。

第6讲 极值法（解析版）
—高中物理解题方法28法20讲
江苏省特级教师 学科网特约金牌名师 戴儒京
高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。
一、 二次函数求极值
二次函数，当时，y有极值，若a>0，为极小值，若a<0，为极大值。
例题1. 试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起)动能损失最大。
【解析】设第一个物体的质量为，速度为。第二个物体的质量为，速度为。碰撞以后的速度分别为和。假使这四个速度都在一条直线上。
根据动量守恒定律有： （1）
如果是完全非弹性碰撞，两物体粘合在一起，（1）则变为，即 （2）
现在就是要证明，在满足（1）式的碰撞中，动能损失最大的情况是（2）式。
碰撞中动能损失为
ΔEk=( （3）
转变为数学问题：ΔEk为v的二次函数:
由（1）得：v2ˊ= （4）
将（4）代入（3）得：
Ek=[]
解法1. 二次函数求极值,
当v1ˊ= （5） 时
Ek有极大值。
回到物理问题,将（5）代入（4）得v2ˊ=
此两式表明,m1和m2碰后速度相等,即粘合在一起,此时动能损失(ΔEk)最大。
解法2.由公式得
当时，有极小值，若，此时极小值为2。
同理，的极大值为。
例题2. 求弹性正碰中m1所传递给m2的动能最大或最小的条件。
【解析】设一个质量为m1，动能为Ek的物体与一个质量为m2的不动的物体正碰，假定发生的是弹性碰撞，试讨论m1传递给m2动能最大或最小的条件。
设m1原来的速度为V1，碰撞后两物体的速度分别为和，根据弹性正碰中的动量守恒和动能守恒，有方程组：

解此方程得：，
m1传递给m2动能，即为m2获得的动能：
。
现在求的极值条件和极值。

当m1= m2时有极小值2，所以当m1= m2时，有极大值，即m1传递给m2动能最大的条件是二者质量相等。此时m1的全部动能传递给m2，也就是说：碰撞之后=0，。这在物理学史上有一段趣闻，在成立不久的英国皇家学会的一次例会上，一位工程师的表演引起了与会者的极大兴趣：两个质量相同的钢球A和B，分别吊在细绳上，静止时紧靠在一起，使A球偏开一个角度后放开，它回到原来的位置时撞上B球，碰撞后A球静止下来，B球摆到与A求原来高度几乎相等的高度。惠斯通通过对此现象的研究和解释中确定了动能的定义。
此问题可扩大到第二个物体原来不静止的情况。设m2碰前的速度为V2，则方程组变为：
其解为：

则，将的表达式代入此式，并且以Ek1代入，以代入，得：
，当m1= m2时，因后项为零，前项取最大值，故取最大值。此时，m1把原来m2多的那部分动能全部传递给m2。
二、 三角函数求极值：
三角函数，当时，取最小值0，当时，取最大值1，（在0到范围内），同理，时，取最大值1，时，取最小值0。
例题3. 在倾角=300的斜面上，放置一个重量为200牛顿的物体，物体与斜面间的滑动摩擦系数为，要使物体沿斜面匀速向上移动，所加的力至少要多大？方向如何？
【解析】设所加的外力F与斜面夹角为，物体受力情况如图所示。

N F


f

G

由于物体作匀速直线运动，根据共点力的平衡条件，有方程组：

解此方程组，消去N，得：
，
因为为已知，故分子为定值，分母是变量为的三角函数，令
其中，， 即 ，
当时，即 时，取最大值，F最小值为，由于，即，所以将N， ，，代入上式得：当时，F最小值为N，约为173N。
三、导数法求极值：
一般的函数，求一阶导数，令其为零时的值，即为取极值的条件；再求二阶导数，当时，若，则上述极值为极小值；若，则为极大值。
例题4. 在用滑线式电桥测电阻的实验中，触头在滑线中点附近平衡时，实验误差较小。

R Ig Rx
G






【证明】设滑线长为，触点一边长为，则另一边长为。当电桥平衡时，待测电阻的计算式是：，求其全微分为：


两边同除以，得：
，这就是待测电阻的相对误差的表达式。
因与滑线长度的读数误差无关，故此项不再考虑，将代入，并考虑到（同一尺上的读数误差），得上式中后两项之和（设为）为：
，设的系数为，
求R对的导数：=，
当时，值为0，此时R有极值，再求二阶导数：
=
当时，大于0，故此时R有极小值，即说明滑动触头在中点平衡时，实验误差最小。
除了上述四种基本方法以外，还可以用不等式求极值，也可以根据物理中的临界条件求极值，等等。
从上述例题可以看出：用求极值方法解决物理问题的关键在于：把物理问题转化为数学问题，首先要正确地分析物理过程，建立正确的物理模型或物理图景，恰当地运用物理规律和物理公式，正确地把物理问题转化为数学问题，然后才能用极值方法去解。
四、平抛运动中的极值问题
例题5. 一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面。如图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy。
已知：山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y=，探险队员的质量为m。人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。
（1） 求此人落到坡面时的动能；
（2） 此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？









【解析】
（1） 平抛运动的分解：，（注意：此处不能像通常那样写成，因为本题是以图中的O点为坐标原点，以向上为正方向。而通常的公式是以抛出点为原点、以向下为正方向得到的），得平抛运动的轨迹方程，此方程与坡面的抛物线方程为y=的交点为，。
根据机械能守恒，
解得
（2）【解法1：配方法求极值】动能公式可改写为，当时，括号内的值为0，平方项取极小值，这时，动能取极小值。
【解法2：求导法求极值】求关于的导数并令其等于0，解得当此人水平跳出的速度为时，他落在坡面时的动能最小，动能的最小值为。
例题6. 在游乐节目中，选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论。如图所示，他们将选手简化为质量m=60kg的质点， 选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角=，绳的悬挂点O距水面的高度为H=3m.不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深。取重力加速度， ，
（1） 求选手摆到最低点时对绳拉力的大小F；
（2） 若绳长=2m, 选手摆到最高点时松手落入手中。设水对选手的平均浮力，平均阻力，求选手落入水中的深度；
（3） 若选手摆到最低点时松手， 小明认为绳越长，在浮台上的落点距岸边越远；小阳认为绳越短，落点距岸边越远，请通过推算说明你的观点。









【解析】（1）机械能守恒 mg（1－cos）＝mv2 ①
圆周运动 F′－mg＝m
解得 F′＝（3－2cos）mg
根据牛顿第三定律，人对绳的拉力 F＝F′
则 F＝1080N
（2）动能定理 mg（H－cos＋d）－（f1＋f2）d＝0

则
解得
(3)选手从最低点开始做平抛运动 x=vt
H-=
且有①式
解得 x=2
【解法1】配方法：令
当=时，y有最大值 ,即解得=1.5m时，选手在浮台上的落点距岸边越远为。
【解法2】求导法：令，求导, 当=时，，此时y有最大值 ,即解得=1.5m时，选手在浮台上的落点距岸边越远为。
因此，两人的看法均不正确.当绳长越接近1.5m时，落点距岸边越远.
例题7. 如图所示，长为L、内壁光滑的直管与水平地面成30°角固定放置。将一质量为m的小球固定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质量为M=km的小物块相连，小物块悬挂于管口。现将小球释放，一段时间后，小物块落地静止不动，小球继续向上运动，通过管口的转向装置后做平抛运动，小球在转向过程中速率不变。（重力加速度为g）


 　　（1）求小物块下落过程中的加速度大小；
 　　（2）求小球从管口抛出时的速度大小；
 　　（3）试证明小球平抛运动的水平位移总小于
 　　【解析】（1）设细线中的张力为T，根据牛顿第二定律：，，且。解得：
 　　（2）【解法1】用牛顿定律和运动学公式解。分两个阶段研究，第一阶段到M落地，设M落地时的速度大小为，匀变速直线运动 。第二阶段到m射出管口，设m射出管口时速度大小为，M落地后m的加速度大小为，根据牛顿第二定律，。解得   （k>2）
【解法2】用动能定理解：在物块M下落过程中，设M落地时的速度大小为，根据动能定理，将代入，解得.在物块M落地后，小物块m上滑到顶端的过程中，设m射出管口时速度大小为，根据动能定理： ，解得。
 　　（3）平抛运动，。解得
 　　因为，所以，得证。
 　　【注意】第（2）问中要分M落地前和落地后两段计算，因为两段的加速度不相等。 在用动能定理时，也要分两个阶段，有的同学企图毕其功于一役，写出动能定理，解得 是错误的，错误的原因在于认为M落地后速度为0，这个速度为0，是M与地面碰撞以后的结果，并不是M下落和m上滑的结果。
【点评】本题考查牛顿第二定律，匀加速运动的公式及平抛运动规律。难度：中等偏难。
例题8.水上滑梯可简化成如图所示的模型：倾角为θ=37°斜滑道AB和水平滑道BC平滑连接（设经过B点前后速度大小不变），起点A距水面的高度H=7.0m，BC长d=2.0m，端点C距水面的高度h=1.0m．一质量m=50kg的运动员从滑道起点A无初速地自由滑下，运动员与AB、BC间的动摩擦因数均为μ=0.1．（取重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，运动员在运动过程中可视为质点）
（1）求运动员沿AB下滑时加速度的大小a；
（2）求运动员从A滑到C的过程中克服摩擦力所做的功W和到达C点时速度的大小；
（3）保持水平滑道端点在同一竖直线上，调节水平滑道高度h和长度d到图中B′C′位置时，运动员从滑梯平抛到水面的水平位移最大，求此时滑道B′C′距水面的高度h′．


【解析】运动员沿AB下滑时，受力情况如图所示

Ff=μFN=μmgcosθ
根据牛顿第二定律：mgsin-μmgcosθ=ma  
得运动员沿AB下滑时加速度的大小为：
a=gsinθ-μgcosθ=5.2 m/s2   
（2） 运动员从A滑到C的过程中，克服摩擦力做功为：
Wf=μmgcosθ+μmgd=μmg[d+（H-h）cotθ]=×10=500J
由动能定理得：mg（H-h）-Wf= mv2           
解得运动员滑到C点时速度的大小  v=10m/s      
（3）在从C’点滑出至落到水面的过程中，运动员做平抛运动的时间为t，
h’= gt2，t=
下滑过程中克服摩擦做功保持不变Wf=500J
根据动能定理得：mg（H-h’）-Wf= mv’2，解得v’=
运动员在水平方向的位移：x=v’t═=
【解法1】配方法：令
当h’=═3m时，水平位移最大为。
【解法2】求导法：令，求导, 当h’=═3m时，水平位移最大为。。
答：（1）运动员沿AB下滑时加速度的大小a为5.2m/s2；
（2）运动员从A滑到C的过程中克服摩擦力所做的功W为500J，到达C点时速度的大小为10m/s；
（3）滑道B′C′距水面的高度h′为3m．
【注意】为什么说下滑过程中克服摩擦做功保持不变呢？因为克服摩擦做功Wf=μmgcosθμmgd=μmg[Lcos+d],其大小只与水平方向的总长度有关，而与水平滑道高度h无关。
归纳总结：平抛运动中的极值问题，一般解法如下：
首先根据平抛运动分解的原理列出平抛运动的方程：，，然后根据其它条件结合以上两个公式，把物理问题转化为求极值的数学问题。之后，用数学方法求极值。
方法1：配方法。对形如的二次函数，配方为，则当时，有最小值。
方法2:求导法。对形如的二次函数，求其导数，令其等于0，得当时，代入得的最小值。
最后探究极值的物理意义，把数学问题回归到物理问题。
五、小船渡河问题
位移最小问题。
例题9. 设河宽为d，小船在静水中的速度为V船，水流速度为V水，小船如何渡河到达对岸的位移最小，最小位移是多少？分两种情况研究：
（1）当时
【解析】求位移最小问题。在小船渡河过程中，将船对水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解，如图2。当小船沿平行河岸方向的分速度与水速大小相等，方向相反时，即V1=V水，小船的合速度（V2）就沿垂直河岸方向， 这时渡河到达对岸的位移最小，Smin=d。而渡河时间t= =。

图2
河宽60m,小船在静水中的速度为5m/s,水流速度为3m/s。求小船渡河的最小位移是多少，小船实际渡河的时间为多大？
【解析】如图2，当小船沿平行河岸方向的分速度V1=V水，小船要垂直河岸方向渡河，这时渡河到达对岸的位移最小，Smin=d=60(m)。而V船与河岸的夹角θ=arccos(V水/V船)=530。这时小船实际渡河的时间t=d/V2=d/（V船sinθ）=60/4=15(s).
（2）当时，设河宽60m,小船在静水中的速度3m/s,水流速度5m/s。求小船渡河的最小位移是多少，小船实际渡河的时间为多大？
【解析】因为不论船的航向如何，船速在平行河岸方向上的分速度不能把水速平衡掉，所以船总是被水冲向下游，那么怎样才能使漂下的距离最短呢？ 
如图3所示，设船头v船与河岸成θ角。合速度v与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以船的出发点A为起点沿河岸做v水的速度矢量，以v水的矢端O为圆心，v船为半径画圆，当v合与圆相切（切点为C）时，α角最大，设船头方向（与OC平行）与河岸的夹角为，则。

图3
设船沿河漂下的最短距离为，渡河的最短位移为，根据相似三角形对应边成比例，有。
所以， 船沿河漂下的最短距离为，代入数据得，
此时渡河的最短位移： ，代入数据得。
求极值法
根据=，令，求导数，，令其分母为0，得。即时，取最小值。当然（）也取最小值。
六、电源最大输出功率问题
1. 电源最大输出功率问题的基本问题
如下图所示，电源电动势为E=6V，内阻为2，外电路接一滑动变阻器R，求电源输出功率最大的条件及其值。

【解法1】公式法
电源输出功率为==
当时，电源输出功率最大值为.
【解法2】图象法
根据==作出图象如下：

从图象可以看出，当时，电源输出功率最大值为.
【解法3】求导数法
电功率表达式：，根据求导公式，得导数：=，当时，导数的分子为零，即此时有极大值，将代入式得最大值.
2、变式
如下图所示，电源电动势为E=6V，内阻为2，外电路接一滑动变阻器R和一定值电阻，求:
（1） 滑动变阻器的功率最大的条件及其最大值。
（2） 定值电阻的功率最大的条件及其最大值。
（3） 电源内阻消耗的功率最大的条件及其最大值。
（4） 电源输出功率最大的条件及其最大值。

（1） 滑动变阻器的功率最大的条件及其最大值。
【解法1】公式法
滑动变阻器的电功率表达式：=,
当时，电源输出功率最大值为.
【解法2】图象法
根据==作出图象如下：

从图象可以看出，当时，电源输出功率最大值为
（2） 定值电阻的功率最大的条件及其最大值。
【解法1】公式法
定值电阻的电功率表达式：=,
当（最小值）时，电源输出功率最大值为.
【解法2】图象法
根据==作出图象如下：

从图象可以看出，当时，电源输出功率最大值为
（3） 电源内阻消耗的功率最大的条件及其最大值。
【解法1】公式法
内阻消耗的电功率表达式：=,
当（最小值）时，电源输出功率最大值为.
【解法2】图象法
根据=作出图象如下：

从图象可以看出，当时，电源输出功率最大值为
【注意】在求定值电阻和内阻消耗的功率的时候，有的同学套用“电源输出功率”的最大值的基本问题的结论，是错误的。因为基本问题中，要求的电阻的功率的电阻是可变的，而在求定值电阻和内阻消耗的功率的时候，要求的功率的电阻是不变的，所以，解物理题不能墨守成规，守株待兔或刻舟求剑，要灵活应用已经做过的题目里已经得到的结论。
（4） 电源输出功率最大的条件及其最大值。
【解法1】公式法
电源输出的电功率表达式：===,
当，即时，电源输出功率最大值为.
【解法2】图象法
根据=作出图象如下：

从图象可以看出，当时，电源输出功率最大值为
从以上结果可以看出，电源输出功率最大问题和滑动变阻器功率最大问题的条件不同，而最大功率相同。

　习题1 如图，外电路由一个可变电阻R和一个固定电阻R0串联构成，电源电动势为ε，电源内阻为r，

　　问：R调到什么时候，R0上将得到最大功率。
　　【错解分析】错解：
　　把可变电阻R看成电源内阻的一部分，即电源内阻r′= r+R。利用电源输出功率最大的条件是R＝r′得R0=R＋r，即R=R0－r，所以把可变电阻调到R=R2－r时，电路中R0上得到最大功率，其大小为

　　可变电阻R上得到的功率，决定于可变电阻的电流和电压，也可以用电源输出功率最大时的条件，内外电阻相同时电源有最大输出功率来计算。但是题目要求讨论定值电阻R0上的输出功率，则不能生搬硬套。定值电阻R0上的功率，决定于流过电阻R0的电流强，这与讨论可变电阻R上的功率不同。
　　【正确解答】
　　电流经过电阻R0，电流能转换成内能，R0上功率决定于电流强度大小和电阻值，即P=I2R0，所以当电流强度最大时，R0上得到最大功率。由纯电阻的闭合电路欧姆定律，有
　
当可变电阻R减小到0时，电路中电流强度有最大值
固定电阻R0上有最大输出功率，其大小为
。
　　【小结】
　　在讨论物理问题时选择研究对象是重要的一环。研究对象选错了，就要犯张冠李戴的错误。明明题目中要我们计算定值电阻的功率，有人却套用滑动变阻器的结论。所以认真审题找出研究对象，也是提高理解能力的具体操作步骤。
　　习题2 有四个电源，电动势均为8V，内阻分别为1Ω、2Ω、4Ω、8Ω，今要对R = 2Ω的电阻供电，问选择内阻为多大的电源才能使R上获得的功率最大？ [ 　　]
　　A、1Ω 　　B、2Ω
　　C、4Ω 　　D、8Ω
　　【错解分析】错解：依“外电阻等于内电阻(R=r)时，外电路上的电功率有最大值”可知，应选内阻2Ω的电源对R供电，故选B。
　　上述错解的根源在于滥用结论。事实上，确定的电源有最大的输出功率和确定的外电路上获得最大功率的条件是不同的。“外电阻等于内电阻(R=r)时，外电路上的电功率有最大值”只适用于电源确定而外电阻可选择的此形，而本题实属外电阻确定而电源可选的情况，两者意义不同，不可混为一谈。
　　【正确解答】由可知，R上消耗的功率
　　显然，P是r的单调减函数，所以就题设条件而言，r取1Ω时（最小值）P有最大值，应选A。
　　【小结】
　　物理学的任何规律结论的成立都是有条件的，都有其适用范围。有的同学做题比较多，习惯于套用一些熟悉题目的解题路子。这种方法有它合理的一面，也有其造成危害的一面。关键是要掌握好“条件和范围”。
习题3．如图所示，电源电动势为E=12V，内阻r=3Ω，R0=1Ω，直流电动机内阻R0′=1Ω，当调节滑动变阻器R1=2Ω时，可使甲电路输出功率最大，调节R2时可使乙电路输出功率最大，且此时电动机刚好正常工作（额定功率为6W），则此时R2的阻值为（ ）
A．1.5Ω B．2Ω C．2.5Ω D．3Ω
【分析】对于甲图，当电路的内阻和外阻相等时，电路的输出功率最大，由此可以求得甲图中的最大的功率；对于乙图，求出最大输出的功率的表达式，利用数学知识求乙图中的电阻的大小．
【解】：据P输出= 可知：
当电路的外电阻等于内阻时，电路的输出功率最大，所以甲图可把定值电阻看作内阻，有R1+R0=r，电源的最大的输出功率为
又电源的最大的输出功率为P=I2（R0+R1）=12W，所以=2A
对于乙图，输出的功率最大时，电动机的额定功率P0=6W，电路中电流为，
根据EI-I2r，所以I与甲图相同为=2A.
所以对于乙图有I2R2+6W=12W，解得R2═1.5Ω，
故A正确．选A．
习题4．高考上海物理试题
某同学设计了如图（a）所示电路研究电源输出功率变化情况。电源E电动势、内电阻恒定，R1为滑动变阻器，R2、R3为定值电阻，A、V为理想电表。
（1）若滑动片P由a滑至b时A示数一直变小，则R1和R2必须满足的关系是__________________。
（2）若R1＝6W，R2＝12W，电源内电阻r＝6W，，当滑动片P由a滑至b时，电源E的输出功率P随外电路总电阻R的变化关系如图（b）所示，则R3的阻值应该选择（ ）
（A）2W。 （B）4W。 （C）6W。 （D）8W。








图a 图b
【解】（1）A示数，欲使滑动片P由a滑至b时A示数一直变小，须使一直变大，因为两电阻之和一定时，当二者相等时并联电阻最大，所以要求R1≤R2。也可以用公式证明：设R1之左为，则右为，则, 令分子为，则当时，有最大值，也有最大值。
（2）从图b知，当时，电源E的输出功率P最大，所以先排除C、D。如果，则=4，这时滑动片P在b点处，因为此处，所以图象只能有最高点以左的部分，所以A错误，只能选B。
对于B，由于，所以=2时便达到最大值，此时滑动片P由a滑至处，，解出（舍去不合理值15.7）, 所以能画出图b, 所以选B。
为了进一步研究这个问题，我用电子计算机Excel画出图象如下：

图1

图2
作图过程如下：设，从0逐渐增大到6，， ，，设，
对于图1，=, 所以最小值是，最大值是，，=，当P在b点时有最大值。
对于图2，=, 所以最小值是，最大值是，，=，当P在a、b之间时有最大值。
【点评】本题确有创新之处，第一，它是设计性实验，不是验证性实验，第二，求R3的阻值，不特别仔细研究，难于看出这两个值的区别，命题确实别具匠心。

习题5.2020版鲁科版新教科书必修第1册第2章章末练习第7题.
如图(a)所示，一辆自行车以速度v=5m/s匀速经过汽车时，汽车从静止开始以加速度a=2m/s2做匀加速直线运动。
(1)在图(b)中画出两车的v-t图像。
(2)当汽车速度是多少时，自行车超过汽车的距离最大?最大距离是多少?
(3)当汽车速度是多少时，汽车刚好追上自行车?经历了多长时间?


【答案】
（1）v-t图象：

【解析】（2），

当t=2.5s，汽车速度是时，自行车超过汽车的距离最大，最大距离是。
(3) 当t=5s，当汽车速度是时，汽车刚好追上自行车?
Ｅxcel图象如下：