高中物理高考 第15讲 临界法-2021年高考物理解题方法大全（解析版）

第15讲 临界法（解析版）

—高中物理解题方法28法20讲

江苏省特级教师 学科网特约金牌名师 戴儒京

一种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态叫临界状态。临界状态下的物理问题称为临界问题。解决临界问题的方法称为临界法。在高中物理的各个部分都有临界问题，都可用临界方法。

一、静力学中的临界问题：平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要被破坏而尚未被破坏的状态。解决临界问题的关键是找到临界条件。物理方法：物理方法是指充分利用物理状态和物理规律，分析临界状态或边界条件，在特殊状态下，根据物理规律列方程，便可直接解决临界问题。<br>物理方法包括(1)利用临界条件，(2)利用边界条件，(3)利用矢量图。

临界问题与极值问题是相关联的，其主要区别是：临界问题通常用物理方法，极值问题通常用数学方法。

二、动力学中的临界问题

动力学中的临界问题，临界条件主要有下列几种：

（1）接触与脱离的临界条件：两物体间的弹力

（2）相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值

（3）绳子断裂与松弛的临界条件：断裂：绳中张力等于它所能承受的最大张力，松弛：

（4）加速度最大与速度最大的临界条件：在变化的外力作用下，物体所受合外力最大时加速度最大，所受合外力最小时加速度最小；加速度为0时，速度往往最大。

例题1．一人乘电梯上楼，在竖直上升过程中加速度a随时间t变化的图线如图所示，以竖直向上为a的正方向，则人对地板的压力

A．t=2s时最大      B．t=2s时最小C．t=8.5s时最大     D．t=8.5s时最小

【解析】0~4s，加速度向上，人超重，设地板对人支持力为FN，则，当时，加速度最大，支持力就最大，根据牛顿第三定律，人对地板压力也最大；7~10s，加速度向下，人失重，设地板对人支持力为FN，则，当时，加速度最大，支持力就最小，根据牛顿第三定律，人对地板压力也最小。

【答案】AD

【点评】本题考查牛顿定律和超重失重知识，难度：中等

三、圆周运动中的临界问题

（1）水平面上圆周运动的临界问题

物体放在转动的圆盘上，随圆盘一起做匀速圆周运动，静摩擦力通过向心力。

物体相对圆盘恰好不发生相对滑动的临界条件是：最大静摩擦力恰好提供向心力，即，临界角速度。当圆盘转动的角速度时，物体将做离心运动。

（2）竖直平面内的圆周运动的临界问题

轻绳模型和轻杆模型比较表

例题2．一转动装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB和CB与两小球以及一小环通过铰链连接，轻杆长均为l，球和环的质量均为m，O端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在O与小环之间，原长为L，装置静止时，弹簧长为，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升。弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g，求：

（1）弹簧的劲度系数k；

（2）AB杆中弹力为零时，装置转动的角速度；

（3）弹簧长度从缓慢缩短为的过程中，外界对转动装置所做的功W。

【解答】（1）装置静止时，设OA、AB杆中的弹力分别为、，OA杆与转轴的夹角为.

小环受到弹簧的弹力

小环受力平衡

小球受力平衡；

解得

(2) 设OA、AB杆中的弹力分别为、，OA杆与转轴的夹角为，弹簧长度为。

小环受到弹簧的弹力

小环受力平衡,得

对小球；；

解得：

（3）弹簧长度为时，设OA、AB杆中的弹力分别为、，OA杆与转轴的夹角为，

小环受到弹簧的弹力

小环受力平衡，

对小球；；

解得

整个过程弹簧弹性势能变化为0，则弹力做功为0，由动能定理

解得

【解析】

小球和小环位置示意图

【点评】本题考查圆周运动，弹簧等知识和力的分析，力的平衡，向心力等能力，综合性强，物理情景复杂。难度：难

四、圆锥摆中的临界问题

做圆锥摆类的圆周运动，随转动角速度的增大，物体受到的支持力会减小，当该力恰好减为0时，往往就是该问题的连接状态，由连接状态求临界线速度和角速度。

五、电场中的临界问题

例题3. 匀强电场中有a、b、c三点．在以它们为顶点的三角形中，  ∠a＝30°、∠c＝90°,．电场方向与三角形所在平面平行．已知a、b和c点的电势分别为V、V和2 V．该三角形的外接圆上最低、最高电势分别为

   A．V、V      B．0 V、4 V

   C．V、    D．0 V、V

【作图】1.作三角形的外接圆，圆心为o, 如下图，连接co

        2.过o作de⊥oc,交外接圆d和e

        3.从a、b作de的垂线，g、f为垂足

【解答】de为电场线，o与c,a与g，f与b为等势点，所以，因为oe=ob=, 所以,所以，，所以选B.

理由：因为,所以oc为等势线，它的垂线ed为电场线,沿电场线电势降落最快，所以，d、e分别是圆上电势最高点和最低点。

六、带电粒子在有界磁场中运动的临界问题

从关键词语找突破口，如“恰好”、“最大”、“最小”、“最高”、“至少“等词语，挖掘出题目隐含的信息。

数学方法与物理方法相结合，借助半径与速度和磁感应强度B的关系进行动态轨迹分析，确定轨迹圆与有界磁场边界之间的关系，找出临界点，解决问题。这一类题目甚多也甚难，常常作为高考物理卷的压轴题。

例题4.图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3T,在X轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在Y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不计其重力。

（1）求上述粒子的比荷；

（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；

（3）为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。

【探究过程】审题中，要抓住关键词，本题的关键词是：运动轨迹半径恰好最小。怎样画

图半径才最小？有同学可能先画出如下图，从入射口垂直进入，从出射口垂直射出的圆弧，即以为半径的圆弧。

如果这样画图，往下解就都错了。因为这并不是最小半径，最小半径是以入射口到出射口的连线为直径的圆弧，因为此圆弧的半径为，自然小于。本题典型地说明：图画错一切全错。

 然后，若要使带电粒子“沿y轴正方向做匀速直线运动”，必须在圆弧上画切线，此切线与y轴平行。

最后，具有“最小面积”的矩形磁场区域，就是圆弧的外接长方形，即以直径为一边，以半径为另一边的长方形，如下图所示。

【答案】（1）设粒子在磁场中的运动半径为r。如上图，依题意M、P连线即为该粒子在磁场中作匀速圆周运动的直径，由几何关系得

            ①

由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得

            ②

联立①②并代入数据得

=4.9×C/kg（或5.0×C/kg）   ③

（2）设所加电场的场强大小为E。如图乙，当粒子经过Q点时，速度沿y轴正方向，依题意，在此时加入沿x轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有

           ④

代入数据得

        ⑤

所加电场的场强方向沿x轴正方向。由几何关系可知，圆弧PQ所对应的圆心角为45°，设带点粒子做匀速圆周运动的周期为T，所求时间为t，则有

        ⑥

           ⑦

联立①⑥⑦并代入数据得

       ⑧

（3）如图丙，所求的最小矩形是，该区域面积

           ⑨

联立①⑨并代入数据得

矩形如图中（虚线）

例题5.如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一四象限有磁场，方向垂直于Oxy平面向里。位于极板左侧的粒子源沿x轴向右连续发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子，在0~3t0时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极板边缘的影响）。

已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t0时刻经极板边缘射出磁场。上述m、q、l、l0、B为已知量。（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）

（1）求电压U0的大小。

（2）求t0时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径。

（3）何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间。

【答案】（1）时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，时刻刚好从极板边缘射出，在y轴负方向偏移的距离为，

则有①，②

③

联立以上三式，解得两极板间偏转电压为④。

（2）时刻进入两极板的带电粒子，前时间在电场中偏转，后时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动。

带电粒子沿x轴方向的分速度大小为⑤

带电粒子离开电场时沿y轴负方向的分速度大小为⑥

带电粒子离开电场时的速度大小为⑦

设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R，则有⑧

联立③⑤⑥⑦⑧式解得⑨。

（3）时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短。带电粒子离开磁场时沿y轴正方向的分速度为⑩，

设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为，则，

联立③⑤⑩式解得，带电粒子在磁场运动的轨迹图如图所示，圆弧所对的圆心角为，所求最短时间为,带电粒子在磁场中运动的周期为，联立以上两式解得。

【评说】第3问中，“时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短”，为什么？需要说明。

因为从0时刻进入两极板的带电粒子偏转后沿下边缘射出，在磁场中作圆周运动的轨迹是优弧（大于），如下图所示，运动时间最长，从0到时间内进入两极板的带电粒子偏转后沿偏向下方向射出，在磁场中作圆周运动的轨迹都是优弧，时间大于。

从2到3时间内进入两极板的带电粒子偏转后沿偏向上方向射出，在磁场中作圆周运动的轨迹都是劣弧（小于），时间小于，其中从时刻进入两极板的带电粒子在离开电场时偏转的角最小，在磁场中运动的时间最短。

求带电粒做在圆周运动的时间，必须先求圆周运动轨迹（圆弧）所对的圆心角，此圆心角的度数与360的比（或弧度数与的比），等于时间与周期的比。

例题6.如图，ABCD是边长为的正方形。质量为、电荷量为的电子以大小为的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：

（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；

（2）此匀强磁场区域的最小面积。

【探究过程】根据本题的条件，很容易画出CEA圆弧：以B为圆心以a为半径的圆弧，这样，第1问便可求出。然后猜想从任意点如Q点射入的粒子可能如下图QA圆弧，那么就产生了矛盾：直角三角形ABO’的直角边AB长为a，斜边AO’长也为a（等于CB），所以此图错误。就要把圆心O’左移，可以画出如答案中所画的图，这样带电粒子从Q点不是直接进入磁场，而是先做匀速直线运动到P，再在磁场中做圆周运动，磁场的最小范围不是以B为圆心以a为半径的半圆，而是以AEC弧和AFC弧包围的面积。

【答案】设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨迹。电子所受到的磁场的作用力

应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧的圆心在CB边或其延长线上。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B点即为圆心，圆半径为，按照牛顿定律有

   联立①②式得

（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自点垂直于入射电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨迹只能在BAEC区域中。因而，圆弧是所求的最小磁场区域的一个边界。

为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为（不妨设）的情形。该电子的运动轨迹如上图所示。

图中，圆的圆心为O，pq垂直于BC边 ，由③式知，圆弧的半径仍为，在D为原点、DC为x轴，AD为轴的坐标系中，P点的坐标为

这意味着，在范围内，p点形成以D为圆心、为半径的四分之一圆周，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。

因此，所求的最小匀强磁场区域是分别以和为圆心、为半径的两个四分之一圆周和所围成的，其面积为

七、几何光学中的临界问题

实际上，临界一词的来源是几何光学中的临界角。

例题7.如图所示,OO'为等腰棱镜ABC的对称轴.两束频率不同的单色光a、b关于OO'对称,垂直AB面射向棱镜,经棱镜折射后射出并相交于P点.则此棱镜对光线a的折射率      (选填“大于”、“等于”或“小于”)对光线b的折射率；这两束光从同一介质射向真空时,光束a发生全反射时的临界角      (选填“大于”、“等于”或“小于”)光束b发生全反射时的临界角.

【答案】小于，大于

【解析】从图可以看出，等腰棱镜ABC对光束a比对光束b折射小，所以折射率。因为临界角C，，所以。

例题8.一个半圆柱形玻璃砖，其横截面是半径为R的半圆，AB为半圆的直径，O为圆心，如图所示。玻璃的折射率为n=。

（i）一束平行光垂直射向玻璃砖的下表面，若光线到达上表面后，都能从该表面射出，则入射光束在AB上的最大宽度为多少？

（ii）一细束光线在O点左侧与O相距处垂直于AB从下方入射，求此光线从玻璃砖射出点的位置。

（i）【解析】：在O点左侧，设从E点射入的光线进入玻璃砖后在上表面的入射角恰好等于全反射的临界角，则OE区域的入射光线经上表面折射后都能从玻璃砖射出，如图。由全反射条件有

Sin=        由几何关系有   OE=Rsin     

由对称可知，若光线都能从上表面射出，光束的宽度最大为l=2OE      

联立式，代入已知数据得   l=R  

（ii）

【解析】：设光线在距O点的C点射入后，在上表面的入射角为，由几何关系及式和已知条件得         =60°＞     

光线在玻璃砖内会发生三次全反射，最后由G点射出，如图。由反射定律和几何关系得 OG=OC=

射到G点的光有一部分被反射，沿原路返回到达C点射出。