2023届四川省德阳市高三上学期高考第一次诊断考试文科数学试题

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说明：
1.本试卷分第1卷和第Ⅱ卷，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回.
2.本试卷满分150分,120分钟完卷.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合P={x∈N|x²≤9},Q={1,3},则P∩Q=
A.Q B.{-3,-2,-1 ,0,1 ,3}
C.P D.{-3,-2,-1,2}
2.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是
A.样本数据9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位数是8或9
B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化
C.利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高
D.调查影院中观众观后感时，从15排(每排人数相同)每排任意抽取一人进行调查是系统抽样法
3.复数 5i−2的共轭复数为
A.2+ i B.-2 + i C.-2-i D.2-i
4.已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且S₅=5,S₁₀=30,则 S₁₅=
A.90 B.125 C.155 D.180
yx+2的最小值为
5.已知x、y满足约束条件
x+2y≤12x+y+1≥0x−y≤0,
A.1 B. 17 C.−13 D.−15
6.已知 OA=a,OB=b, 点M关于A的对称点为S，点S关于B的对称点为N，那么 MN=
C.-2a-2b
A.2a-2b
B.2a+2b
7.德阳市文庙广场设置了一些石凳供游人休息，这些石凳是由正方体形石料(如图1)截去8个一样的四面体得到的(如图2)，则下列对石凳的两条边AB与CD所在直线的描述中正确的是
①直线AB与CD是异面直线
②直线AB与CD是相交直线
③直线AB与CD成60°角
D.-2a+2b
数学一诊(文史类) 第1页.(共4页)
④直线AB与CD垂直
A.①③. B.①④ C.②③ D.②④
8.已知某曲线方程为 x2m+3−y2m−1=1,则下列描述中不正确的是
A.若该曲线为双曲线，且焦点在x轴上，则 m∈12+∞
B.若该曲线为圆，则m=4
C.若该曲线为椭圆，则其焦点可以在x轴上，也可以在y轴上
D.若该曲线为双曲线，且焦点在y轴上，则m∈(-∞，-3)
9.函数 fx=x+12+sinxx2+1的大致图象为
10.如图是旌湖边上常见的设施，从两个高为1米的悬柱上放置一根均匀铁链，让其自然下垂轻触地面(视为相切)形成的曲线称为悬链线(又称最速降线).建立恰当的直角坐标系后，其方程可以是y=12ex+e−x+t,那么两悬柱间的距离大致为(可能会用到的数据 e1.25≈3.49,e1.35≈3.86)
A.2.5米 B.2.6米 C.2.8米 D.2.9米
11.已知奇函数f(x)的定义域为R，其图象是一条连续不断的曲线.若f(-2)=f(1)≠0，则函数f(x)在区间(-2，2)内的零点个数至少为
A.4 B.3 C.2 D.I
12.已知a、b、c是正实数,且e²ᵃ−2eᵃ⁺ᵇ+eᵇ⁺ᶜ=0,则a、b、c的大小关系不可能为
A.a=b=c B.a>b>c C.b>c>a D.b>a>c
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.
13.设函数 fx=1+lg22−x,x−12x−1,x≥1,则f[f(0)]=
数学一诊(文史类) 第2页(共4页)
14.已知a,b是单位向量,且a·b=0,若c=λa+(1-λ)b,那么当c⊥(a-b)时,λ= .
15.已知函数fx=sinωx+ω0,||<π2) 的部分图象如图所示,则f(x)= .
的取值范围为 .
16.如图,矩形ABCD中,AC是对角线,设∠BAC=α,已知正方形S₁和正方形S₂分别内
接于Rt△ACD和Rt△ABC,则正方形S1的周长正方形S2的周长
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分12分)
已知等差数列{aₙ}的首项为1，公差d≠0，前n项和为Sₙ，且SnS2n为常数.
(1)求数列{aₙ}的通项公式;
(2)若bₙ=2ⁿ⁻¹⋅aₙ,求数列{bₙ}的前n项和Tₙ.
18.(本题满分12分)
在△ABC中,边a、b、c对应角分别为A、B、C,且ba=csB+13sinA.
(1)求角B的大小;
(2)从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知条件，使得△ABC存在且唯一，求AC边上的高.
条件① :csA=33,b=1;
条件② :b=2,c=23;
条件③:a=3,c=2.
注：若选多个条件分别作答，则按第一个解答给分，
19.(本题满分12分)
买盲盒是当下年轻人的潮流之一，每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性，某礼品店2022年1月到8月售出的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：
(1)求出月利润y(千元)关于月销售量x(百个)的回归方程(精确到0.01)；
(2)2022年“一诊”考试结束后，某班数学老师购买了装有“五年高考三年模拟”和“教材全
数学一诊(文史类) 第3页(共4页)
解“玩偶的两款盲盒各3个，从中随机选出3个作为礼物赠送给同学，求3个盲盒中装有“五年高考三年模拟“玩偶的个数至少为2个的概率.
参考公式：回归方程 y=â+bx 中斜率租截距最小二乘估计公式分别为：
b=∑i=1nxi−xyi−y∑i=1nxi−x2=∑i=1nxiyi−nxy∑i=1nxi2−nx2，， â=y−bx.
参考数据： ∑xi2=580,∑xiyi=459.5.
20.(本题满分12分)
已知函数fx=13x3+12a−1x2−axa0).
(1)求函数f(x)的极值;
(2)当a＞1时,记f(x)在区间[-1,2]的最大值为M,最小值为m.已知M+m∈ 1323. 设f(x)的三个零点为x₁,x₂,x₃,求f(x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁)的取值范围.
21.(本题满分12分)
已知函数 fx=xex−1,x∈0+∞.
(1)判断函数f(x)的单调性;
(2)证明: 1ex+1请考生在22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.(本题满分10分)
在平面直角坐标系中，曲线C₁的方程为x−12+y−32=1,曲线C₂的参数方程为 x=3t2y=3t (t为参数)，直线l过原点O且与曲线C₁交于A、B两点，点P在曲线C₂上且OP⊥AB.以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)写出曲线C₁的极坐标方程并证明|OA|·JOB|为常数；
(2)若直线l平分曲线C₁,求△PAB的面积.
23.(本题满分10分)
已知函数f(x)=|x|.
(1)画出y=f(x-1)-f(x+5)的图象,并根据图象写出不等式f(x-1)-f(x+5)≤-4的解集;
(2)若f(x-1)-f(x+5)+kf(x+2)≥0恒成立,求实数k的取值范围.
数学一诊(文史类) 第4页(共4页)月份／月
1
2
3
4
5
6
7
8
月销售量／百个
4
5
6
7
8
10
11
13
月利润／千元
4.1
4.6
4.9
5.7
6.7
8.0
8.4
9.6