2022-2023学年广东省惠州市惠州中学等四校高二上学期联考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省惠州市惠州中学等四校高二上学期联考数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省惠州市惠州中学等四校高二上学期联考数学试题

一、单选题
1．设全集为R，集合，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解：由题意可得：，
结合交集的定义可得：.
本题选择B选项.
点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．法国数学家棣莫弗（1667—1754）发现的公式推动了复数领域的研究.根据该公式，可得（    ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根据题目公式结合复数乘法计算即可.
【详解】，，
故选：A
3．已知双曲线E：的一条渐近线方程为，则双曲线的焦距为（    ）
A．4 B．6 C． D．13
【答案】C
【分析】由渐近线方程求得m的值，再由 求得c的值，进而可得焦距2c的值.
【详解】由可得，即，所以，，
故选：C.
4．如图.空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由M，N在线段OA，BC上的位置，用，，表示，，进而表示出.
【详解】因为，所以，
又因为点N为BC的中点，所以，
所以.
故选：D.
5．已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为（    ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出点关于直线的对称点，则即为的最小值.
【详解】根据题意画出图形，如图所示：

设点关于直线的对称点，
连接，则即为的最小值，且.
故选：.
【点睛】本题考查了动点到定点距离之和最小值问题，解题方法是求出定点关于直线对称的点坐标，然后运用两点之间的距离公式求出最值.
6．在棱长为2的正方体中，分别取棱，的中点E，F，点G为EF上一个动点，则点G到平面的距离为（    ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】利用等体积法或向量法进行计算即可求解.
【详解】
如图所示，点E，F分别是，的中点，
因为该正方体的棱长为2，所以，，
∴平面，点G到平面的距离即为点E或F到平面的距离．
方法1：等体积法
∵为等边三角形，∴，，
设F到平面的距离为d，
∵，∴，解得．
方法2：向量法

建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
设平面的法向量为，则有，得，
可求得平面的法向量为，，
∴．
故选：D
7．如图所示,该曲线W是由4个圆:,,,的一部分所构成,则下列叙述错误的是（    ）

A．曲线W围成的封闭图形面积为
B．若圆与曲线W有4个交点,则或
C．与的公切线方程为
D．曲线上的点到直线的距离的最小值为
【答案】D
【分析】对于A,将曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的相同的半圆构成计算即可;对于B,结合图像分情况讨论即可;对于C,设公切线方程为,根据直线和圆相切的条件列出方程求解即可得到结果;对于D,根据选项C中的方法,求得,的公切线方程,再利用两条平行线间的距离公式计算即可.
【详解】曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的相同的半圆构成,所以其面积为,故A正确;
当时,交点为B,D,F,H;当时,交点为A,C,E,G;当或时,没有交点;当时,交点个数为个,故B正确;
设与的公切线方程为,
由直线和圆相切的条件可得,
解得,(舍去)，
则其公切线方程为,即,故C正确;
同理可得,的公切线方程为,
则两平行线的距离为,故D错误.
故选:D.
8．已知点在抛物线上，过作圆的两条切线，分别交抛物线于点，，若直线的斜率为，则抛物线的方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知得，设，，，求得，，进而得到，从而求得，利用，求点坐标，代入抛物线方程即可求解.
【详解】由题意可知过所作圆的两条切线关于直线对称，所以，
设，，，则，
同理可得，，
则，得，得，
所以，故，
将代入抛物线方程，得，得，故抛物线方程为．
故选：A
【点睛】结论点睛：本题考查圆的切线的对称性，及抛物线的性质，有关抛物线的重要结论：过抛物线上任意一点（不与原点重合）作两条倾斜角互补的直线，分别交抛物线于点，，连接，则．

二、多选题
9．已知空间向量，，下列结论正确的是（    ）
A．
B．，夹角的余弦值为
C．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数
D．在上的投影向量为
【答案】BCD
【分析】根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可.
【详解】对于A，，，故A错误；
对于B，因为，，所以，，
，设与的夹角为，则，故B正确；
对于C，因为，所以，则，解得，故C正确；
对于D，在上的投影向量为，D正确．
故选:BCD．
10．已知直线：，：，下列选项正确的是（    ）
A．过点且垂直于直线的直线方程为
B．直线过定点
C．当时，
D．当时，两直线之间的距离为1
【答案】AD
【分析】由垂直直线系方程可设直线的直线方程为，再将代入即可判断A；由题意得，解方程可判断B；时有可判断C；当时，，求出的值，再由两平行线的距离公式可判断D.
【详解】对于A，垂直于直线的直线方程为，
将点代入得，故所求直线方程为，A正确；
对于B，直线化为：，由，
求得直线过定点，故B错误；
对于C，时有：，解得，故C错误；
对于D，当时，，解得，
此时直线：，：，
两平行线间的距离为，故D正确．
故选:AD．
11．已知椭圆C：的左、右两焦点分别是、，其中.过左焦点的直线与椭圆交于A，B两点.则下列说法中正确的有（    ）
A．的周长为
B．若AB的中点为M，AB所在直线斜率为k，则
C．若的最小值为，则椭圆的离心率
D．若，则椭圆的离心率的取值范围是
【答案】AD
【分析】对A，由椭圆定义可知；
对B，设，，分别写出中点M，k，，点A、B在椭圆上的两程作差整理可得；
对C，当轴时，最小，由坐标求出即可建立齐次方程，求出离心率；
对D，，，结合椭圆方程化简得，由，可得，即可由齐次方程解出离心率范围.
【详解】对A，∵直线AB过左焦点，∴的周长为，A对；
对B，设，，则，点，∴．
由，①-②得，∴，∴，B错；
对C，当轴时，最小，令，由解得，∴，
整理得，即，解得或（舍），C错；
对D，，，∴，
∵，∴，即，即，可得，
则椭圆的离心率的取值范围是，D对．
故选：AD．
12．在棱长为1的正方体中,已知E为线段的中点,点F和点P分别满足,,其中,则下列说法正确的是（    ）
A．当时,平面与平面FAC的夹角余弦值为
B．当时,四棱锥的外接球的表面积是
C．的最小值为
D．存在唯一的实数对,使得平面PDF
【答案】ABD
【分析】对于A,当时,F为线段的中点,建立空间直角坐标系,分别求出平面和平面ACF的法向量,计算的值即可;对于B,根据正棱锥外接球的求法,构造外接球的半径的方程即可得到结果;对于C,将C中问题转化为在平面内求解的最小值,作关于线段的对称点,将问题转化为长度的求解,根据角度和长度关系可确定C正确;对于D,以点为坐标原点建立空间直角坐标系,假设线面垂直可构造方程组求得,可判断D的正误.
【详解】对于A,当时,F为线段的中点,
以D为坐标原点,DA所在的直线为轴,DC所在的直线为轴,所在的直线为轴,建立空间直角坐标系，


,,,.
,,,
设平面的法向量为,平面ACF的法向量为,
由,即,令，得,
同理，即，令，得,
所以,故A正确;
对于B,当时,点P为正方体的中心,设四棱锥的外接球的半径为,由,解得,
故四棱锥的外接球的表面积为,故选项B正确;
对于C,把问题转化为在平面内求点P使得最小,如图,作点E关于线段的对称点,过点作、AB的垂线,垂足分别为F和H,交于点P.
则,设,
结合,,，
,
故,故,故选项C错误;

对于D,如图建立空间直角坐标系，

,,,,,
故,,,
若平面PDF,
则即,
解得（舍）或,
故存在唯一的实数对,使得平面PDF,故选项D正确,
故选:ABD．

三、填空题
13．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x的非负半轴重合，终边过点，则______________．
【答案】；
【分析】由题意 角的终边过点，求得，利用三角函数的定义，求得的值，再利用倍角公式，即可求解.
【详解】由题意，角的终边过点，求得，
利用三角函数的定义，求得，
又由.
【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14．如图所示，已知抛物线，过焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，若，则点A的坐标为______．

【答案】
【分析】设出点A的坐标，利用抛物线的定义即可求解.
【详解】设点A的坐标为，由题意可得，∵，
∴由抛物线定义可得，解得．
代入抛物线方程可得或，
∵点A在第二象限，
∴点A的坐标为，
故答案为：.
15．如图所示，在平面直角坐标系中，已知直线l：与圆C：相交于M，N两点，且为锐角，则实数m的取值范围为______．

【答案】
【分析】先求出圆心和半径，由为锐角，可得，即，进而得到关于m的不等式组，求出答案即可.
【详解】圆C：，即，圆心为，半径为2，
取MN中点H，直线l：过定点，且为锐角，
则，即，
又直线与圆相交，所以，
圆心到直线l：的距离，所以，
化简得，解得或．
故答案为：

四、双空题
16．函数的定义域为，若存在常数，使得对一切实数x均成立，则称为“圆锥托底型”函数．（1）若是“圆锥托底型”函数，则M的最大值为______；（2）当k，b满足条件______时，是“圆锥托底型”函数．
【答案】     2；     ，.
【分析】（1）当时显然成立；当时，原式等价于恒成立，根据基本不等式求出的最小值即可求得的值；
（2）讨论与0的关系，结合特殊值即可推出k，b满足的条件.
【详解】由题意，对一切实数x均成立．
当时显然成立，
当时，原式可转化为恒成立，又，
当且仅当时取等号，故M的最大值为2．
若是“圆锥托底型”函数，则：
①当时，恒成立，即即可，故当时，即可满足条件；
②当时，若，则为常数，不满足恒成立．
若时，可知有解.
令，解得，此时无解，
故当时，不是“圆锥托底型”函数.
综上，当，时，是“圆锥托底型”函数．
故答案为：2；，.

五、解答题
17．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且
．
(1)求A；
(2)若，的面积为，求的周长．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）根据正弦定理边化角，然后利用三角恒等变换公式化简可得，可以求得的值；
（2）根据三角形面积公式以及余弦定理即可求得.
【详解】（1）由及正弦定理得，
，
，
，
所以，
又，所以．
可得，
所以．
又，所以，
所以，所以．
（2）由题意，，所以.
由余弦定理，得，
得，
即，
又，则，又，，所以.
所以的周长为．
18．一动点到两定点距离的比值为非零常数，当时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆已知两定点、的坐标分别为：、，动点满足．
（1）求动点的阿波罗尼斯圆的方程；
（2）过作该圆的切线，求的方程．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）设，直接用坐标表示并化简即可；
（2）分类斜率不存在和斜率存在，斜率存在时设出直线方程，由圆心到切线距离等于半径求得参数，得切线方程．
【详解】（1）设动点坐标为，则，，
又知，则，得．
（2）当的斜率存在为时，则的方程为：，与圆相切，
则，得：，
此时的方程为：；
当的斜率不存在时，此时的方程为：，
综上：的方程为或．
【点睛】本题考查求圆的方程，考查求圆的切线方程．求圆的方程采取直接法，即把已知关系用坐标表示化简即可，而求圆的切线方程必须分类讨论，即分斜率不存在和斜率存在两类，斜率存在时设出切线方程，由圆心到切线距离等于半径求参数．
19．如图所示，三棱柱中，，，，，，，N是AB中点．

(1)若点M是棱所在直线上的点，设，，当时，求实数的值；
(2)求异面直线CB与所成角的余弦值．
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)由题意可得，又因为，所以，再结合已知条件求解即可；
(2)则题意可得，，根据向量的数量积求出的值即可得答案.
【详解】（1）解：由，，
知，
由，得，
所以，
即，
因为，，，
所以，
解得．
（2）解：．
因为，，，
所以，，，
故，
，，
故，
所以异面直线CB与所成角的余弦值为．
20．如图所示的折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如，用圆形纸片按如下步骤折纸：

步骤1：设圆心是O，在圆内（除去圆心）取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过F；
步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕．
这些折痕围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心O的距离为2，按上述方法折纸，如图所示．

(1)以FO所在的直线为x轴，FO的中点M为原点建立平面直角坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；
(2)求经过点F，且与直线FO夹角为的直线交椭圆于C，D两点，求的面积．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）设为椭圆上一点，得到，根据椭圆的定义即可求解；
（2）设直线：，联立椭圆的方程，得到；有两个方法求得弦长，法一：解方程得到、的坐标，由两点间的距离公式得到弦长；法二：利用韦达定理和弦长公式求得弦长，再求得点到直线CD：的距离，即可求解.
【详解】（1）如图，设为椭圆上一点，

由题意可知且，
所以点是以F，O为椭圆的左、右焦点，长轴长的椭圆，
即，，所以，，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）经过F且与直线FO夹角为的直线的倾斜角为或，
由椭圆的对称性，不妨设直线的倾斜角为，即直线的斜率，
又，则直线CD：．
设，，
联立，消去y得．
方法一：解得，不妨取，，
将，的值分别代入，得，，
所以，，
所以．
点到直线CD：的距离，
故的面积．
方法二：，则，，
所以．
点到直线CD：的距离，
故的面积．
【点睛】方法点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．
21．如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，，．

(1)求证：平面ACF；
(2)在线段PB上是否存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的正弦值为？若存在，求出线段PH的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，的长为或，理由见解析.

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.
（2）设，求出，根据与平面所成角的正弦值列方程，由此求得，进而求得的长.
【详解】（1）依题意，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，
底面ABCD为直角梯形，其中，，，，
以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
由于，
所以平面.
（2）存在，理由如下：
设，，
，
，
依题意与平面所成角的正弦值为，
即，
，解得或.
，即的长为或，使与平面所成角的正弦值为.

22．已知双曲线的右焦点为，离心率为2，直线与双曲线的一条渐近线交于点，且．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设为双曲线右支上的一个动点，证明：在x轴上存在定点，使得．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意得，，再根据，求解即可；
（2）假设存在点满足条件．设为双曲线右支上的一点，则，进而先根据时得或都满足条件，再讨论当时，猜想定点为或，进而先讨论当点在轴负半轴上时，，，再结合正切的二倍角公式分，两种情况说明满足条件，不满足条件即可.
【详解】（1）解：由离心率可得，即①，
利用得②，
根据双曲线的对称性，不妨设直线与渐近线的交点为P．
联立，得，
由可得，③，
由①②③解得，，．
所以双曲线的标准方程为．
（2）证明：假设存在点满足条件．
由（1）知，双曲线的右焦点为．
设为双曲线右支上的一点，则．
①当时，，
因为，
所以，
所以，
所以或5．即或都满足条件．
②当时，根据①我们猜想定点为或，
当点在轴负半轴上时，，．
因为，
所以．
（i）当时，上式化简为：．
又，即，代入上式得．
所以，解得，即．
（ii）当时，，即也能满足．
当点M在x轴正半轴上时，，．
因为，
所以．
所以，当时，上式化简为：．
又，即，代入上式得．
所以， 显然不能满足条件．
综上所述，在轴上存在定点，使得．
【点睛】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.