2022-2023学年广东省揭阳市惠来县第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省揭阳市惠来县第一中学高二上学期期中数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，概念填空，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省揭阳市惠来县第一中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．如图，全集，集合，则阴影部分表示的集合为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据韦恩图，得到阴影部分的集合表示，根据集合之间的运算，可得答案.【详解】根据韦恩图，可得阴影部分所表示的是，由，则，故选：D.2．设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则（　　）A．0 B． C．1 D．【答案】B【分析】利用复数乘法化简复数，根据其对应点在实轴上有，即可得答案.【详解】∵复数在复平面内对应的点位于实轴上，∴，即．故选：B3．已知，，，则下列结论正确的是（    ）A．， B．，C．， D．以上都不对【答案】C【分析】直接由空间向量平行和垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：，，故，.故选：C.4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么等于（　　）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【答案】A【分析】根据题意得到，再结合函数的奇偶性，得到，即可求解.【详解】因为时，，可得，又因为函数是定义在上的奇函数，可得.故选：A.5．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是（   ）A．与 B．与C．与 D．【答案】D【分析】由可知四边形是平行四边形，根据相等向量的定义即可判断.【详解】因为，则四边形是平行四边形，结合题图，，A错误；，B错误；与方向不相同，C错误；，D正确.故选：D6．△ABC中，·<0，·<0，则该三角形为(　　)A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【答案】C【详解】为锐角，为钝角．故选C7．关于空间向量，以下说法不正确的是（        ）A．若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，则B．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l//αC．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面D．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线【答案】B【分析】由面面垂直的向量表示可判断A；由线面平行的向量表示可判断B；根据向量共线定理，可判断C；由空间向量基底的表示可判断D.【详解】对于A，，所以，A正确；对于B， ，所以，B错误对于C，对空间中任意一点O，有，满足，则P，A，B，C四点共面，可知C正确；对于D，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D正确.故选：B.8．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75°，30°，若河流的宽度是60，则此时气球的高度等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，利用正弦定理求出，再根据气球的高度等于即可得解.【详解】解：在中，，则,,因为，所以，所以气球的高度为.故选：B. 二、多选题9．下列函数中在区间内单调递减的是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据函数解析式直接判断出函数的单调性，判断出AC选项，根据图象判断出D选项，根据同增异减判断B选项.【详解】在上单调递增，故A错误；可以看出，的复合，由同增异减可知在区间内单调递减，B正确；定义域为，由同增异减可知在上单调递增，故C错误；的图象如图所示，可以看出：在上单调递减，D正确.故选：BD10．已知，分别为直线l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中，正确的是（    ）A．⇔l1//l2 B．⊥⇔l1⊥l2C．⇔α//β D．⊥⇔α⊥β【答案】ABCD【分析】根据方向向量的关系和法向量的关系可判断线线关系和面面关系，即可得到答案．【详解】解：若两条直线不重合，则空间中直线与直线平行（或垂直）的充要条件是它们的方向向量平行（或垂直），故选项A，B正确；若两个平面不重合，则空间中面面平行（或垂直）的充要条件是它们的法向量平行（或垂直），故选项C，D正确．故选：ABCD．11．若向量{，，}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（　　）A．，，2 B．，，C．，， D．2，，【答案】ABD【分析】直接利用向量的基底和向量的线性运算的应用判断A、B、C、D的结论．【详解】解：对于A：由于向量{，，}构成空间的一个基底，且满足，故A正确；对于B：由于，故B正确；对于C：由于，故C错误；对于D：由于，故D正确．故选：ABD．12．下列说法正确的是（    ）A．抛掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是3的概率为B．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，，则题被解出的概率是C．某小组由5名学生组成，其中3名男生，2名女生，现从中任选两名学生参加演讲比赛，至少有一名男生与至少有一名女生是互斥事件D．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是【答案】AD【分析】结合古典概型概率公式求得概率判断AD，由独立事件同时发生的概率公式结合对立事件概率公式求解后判断B，根据互斥事件的定义判断C．【详解】A．至少有一枚骰子的点数是3，即只有一枚骰子的点数是3，或两枚骰子的点数都是3，概率为，A正确；B．由独立事件同时发生的概率公式得题被解出的概率为，B错；C．如果选出的两名学生是一男一女，则两个事件同时发生，它们不是互斥事件，C错；D．两位男生和两位女生随机排成一列，总排法为，两位女生不相邻的排法为，概率为，D正确．故选：AD． 三、填空题13．已知角的终边经过点，则的值等于______．【答案】##【分析】由任意角的三角函数的定义求解即可【详解】因为角的终边经过点，所以，故答案为：14．若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是______．【答案】【分析】根据给定条件，结合平行平面距离的意义，利用空间向量计算作答.【详解】依题意，平行平面间的距离即为点O到平面的距离，而，所以平行平面、间的距离.故答案为： 四、概念填空15．已知两平面，的法向量分别为，，则平面，的位置关系为_________．【答案】垂直【详解】由题可知：，所以所以平面，的位置关系为垂直故答案为：垂直 五、双空题16．每年的月日是世界读书日，为了了解学生的阅读情况，某校随机抽取了名学生，统计到他们某一周课外阅读时间（单位：小时）分别为、、、、、、、，则这组数据的极差是______，第40百分位数是______．【答案】     ##     ##【分析】将数据由由小到大排列，利用极差和百分位数的定义可求得结果.【详解】将这组数据从小到大排列为：、、、、、、、，所以这组数据的极差为，因为，所以这组数据的第百分位数为第项数据，即．故答案为：；. 六、解答题17．如图，在正方体中，点E，F分别是上底面和侧面的中心，求下列各题中m，n的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2) 【分析】利用空间向量的运算法则进行计算m，n的值【详解】（1）因为点E 是正方形的中心，所以，且，故所以（2）因为点F 是正方形的中心，所以，且，故故18．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用可求时的解析式，当时，利用奇偶性可求得时的的解析式，由此可得结果；（2）作出图象，将问题转化为与有个交点，数形结合可得结果.【详解】（1）由图象知：，即，解得：，当时，；当时，，，为上的偶函数，当时，；综上所述：；（2）为偶函数，图象关于轴对称，可得图象如下图所示，有个不相等的实数根，等价于与有个不同的交点，由图象可知：，即实数的取值范围为.19．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题．分组频数频率40.08 0.16 0.2016   合计501.00 (1)填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；(2)补全频数分布直方图；(3)若成绩在75.5~85.5分的学生获得二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？【答案】(1)填表见解析；(2)作图见解析；(3)234人. 【分析】（1）根据表中的数据和频率的求解公式求解即可.（2）由（1）中表格中的数据完成频数分布直方图.（3）根据频率分布表可求出成绩在75.5～80.5分的学生频率为0.10，成绩在80.5～85.5分的学生频率为0.16，从而可得成绩在75.5～85.5分的学生频率为0.26，进而可求得获得二等奖的人数.【详解】（1）补全频率分布表如下：分组频数频率40.0880.16100.20160.32120.24合计501.00 （2）频数分布直方图如下图所示：（3）成绩在75.5～80.5分的学生占70.5～80.5分的学生的，因为成绩在70.5～80.5分的学生频率为0.20，所以成绩在75.5～80.5分的学生频率为0.10．成绩在80.5～85.5分的学生占80.5～90.5分的学生的．因为成绩在80.5～90.5分的学生频率为0.32，所以成绩在80.5～85.5分的学生频率为0.16，所以成绩在75.5～85.5分的学生频率为0.26．∵有900名学生参加了这次竞赛，∴该校获得二等奖的学生有：0.26×900＝234，∴该校获得二等奖的学生有234人.20．已知函数的最小正周期为.(1)求的值和函数的单调递减区间；(2)求函数图像的对称轴方程和对称中心坐标.【答案】(1)；单调递减区间为，.(2)对称轴方程为，；对称中心坐标为，. 【分析】（1）先利用二倍角公式、辅助角公式将函数表达式化为，再利用周期公式求出值，再利用求其单调递减区间；（2）分别令、进行求解即可.【详解】（1）因为，因为函数的最小正周期为，所以，解得，即，令，，解得，，即的单调递减区间为，.（2）令，，解得，，所以函数图像的对称轴方程为，；令，，解得，，所以函数图像的对称中心坐标为，.21．已知四棱锥中，底面是矩形，且，是正三角形，平面，、、、分别是、、、的中点．(1)求平面与平面所成角的大小；(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在， 【分析】（1）证明出平面，，设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得结果；（2）设，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，结合可求得的值，即可得出结论.【详解】（1）解：因为是正三角形，为的中点，所以，因为平面，平面，，平面，平面，因为且，、分别为、的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，，则，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则，、、、、、、，，，设平面的法向量为，则有，可取，易知平面的一个法向量为，则，即平面与平面所成的锐二面角得余弦值为，因此平面与平面所成的锐二面角为；（2）解：假设线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的大小为，设，其中，，由题意可得，整理可得，因为，解得，因此在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的大小为，且.22．已知的内角的对边分别为，         ，若，     .请从下面的三个条件中任选一个，两个结论中任选一个，组成一个完整的问题，并给出解答.条件：① ；② ；③ 结论：① 求的周长的取值范围；②求的面积的最大值.【答案】答案见解析.【分析】根据正弦定理，余弦定理及三角恒等变换可得，然后利用余弦定理，基本不等式结合条件即得.【详解】若选条件①，则由正弦定理得，因为的内角，，所以，所以，即，又因为，所以，因此；若选条件②，则由正弦定理可得，∴，∴，可得.又，因此；若选条件③，则由余弦定理，即，∴，所以，又，所以，又，因此；若选择结论①，因，所以由余弦定理可得：，所以，解得（当且仅当时取等号）又，所以，即，故的周长的取值范围是；若选择结论②，，因，所以由余弦定理可得：，即（当且仅当时取等），故，所以的面积，即的面积的最大值为