2022-2023学年广东省兴宁市沐彬中学高二上学期第二次月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省兴宁市沐彬中学高二上学期第二次月考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省兴宁市沐彬中学高二上学期第二次月考数学试题 一、单选题1．空间直角坐标系中两点坐标分别为则两点间距离为（    ）A．2 B． C． D．6【答案】C【解析】根据所给的两个点的坐标，代入空间中两点之间的距离的公式，整理成最简结果，得到要求的A与B之间的距离【详解】∵A，B两点的坐标分别是A（2，3，5），B（3，1，4），∴|AB|，故选：C．【点睛】本题考查空间两点之间的距离公式，意在考查计算能力，是一个基础题，2．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】将椭圆方程化为标准形式，然后利用焦点在轴上列出不等式，求出实数的取值范围.【详解】由方程，可得，因为方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得.所以实数的取值范围是.故选：D3．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】解一元二次不等式，求得集合B，根据集合的交集运算即可求得答案.【详解】由，解得或，所以或，所以，故选：D.4．已知中心在原点,焦点在轴上,焦距为4的椭圆被直线：截得的弦的中点的横坐标为-2,则此椭圆的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】因为是弦中点问题,可以用点差法,找到长半轴长和短半轴长之间关系,再根据焦距求出椭圆方程即可.【详解】解:由题设,若椭圆方程为,令直线与椭圆交点分别为,,则有①,②,两式作差可得：,即,易知,弦的中点,所以,,因为直线：,所以,故,所以,又,,解得,,故的方程为.故选:C5．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】不妨设点在第一象限，可求得，以及，求出、的值，由此可求得双曲线的标准方程.【详解】不妨设点在第一象限，由题意可知，由于是等边三角形，则，所以，，由题意可得，解得，因此，该双曲线的标准方程为.故选：D.6．已知函数的图象的相邻两个最高点的距离为，．则（    ）A．B．的图象的对称轴方程为C．的图象的单调递增区间为D．的解集为【答案】D【分析】根据三角函数性质可得函数解析式，进而判断各选项.【详解】因为函数的图象的相邻两个最高点的距离为，所以的图象的最小正周期为，所以，故A错误；因为，所以，因为，所以，所以，令得，即的图象的对称轴方程为，故B错误；令得，即的图象的单调递增区间为，故C错误；令，得，所以，解得，所以不等式的解集为，故D正确．故选：D．7．点到直线的距离为1，且直线与圆相切，若这样的有四条，则的取值范围是（    ）A．（0，2） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，5）【答案】C【分析】直线到点的距离为1等价于直线与圆相切，问题转化为两圆公切线有四条，两圆外离.【详解】由直线到点的距离为1，所以直线与圆相切，直线与圆，圆都相切且这样的有四条，所以圆与圆外离，圆心距大于半径之和，即，解得，故选：C.8．已知双曲线，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线上一点，且位于第一象限，若三角形为锐角三角形，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】因为位于第一象限，所以恒为锐角，由为锐角可得，，由为锐角得，利用平面向量积可得答案.【详解】由得、，因为位于第一象限，所以恒为锐角，因为三角形为锐角三角形，所以为锐角，为锐角，由为锐角得，所以，因为，所以，由为锐角得，所以，所以，所以，又，所以，即，又，所以，综上所述：.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，考查了平面向量数量积，考查了运算求解能力，考查了锐角三角形的概念，属于基础题.9．已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，（其中O为坐标原点），则与面积之和的最小值是（    ）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】设（）且直线，联立抛物线应用韦达定理，结合向量数量积的坐标表示求得，进而可得，最后应用基本不等式求最小值，注意取值条件.【详解】设（）且直线，联立抛物线得，由，而，所以，得或，又A，B位于x轴的两侧，故，故，由，且过定点，又，，所以，当且仅当时等号成立.故与面积之和的最小值是.故选：D 二、多选题10．已知双曲线，则下列说法正确的是（    ）A．m的取值范围是 B．双曲线C的焦点在x轴上C．双曲线C的焦距为6 D．双曲线C的离心率e的取值范围是【答案】ABC【分析】根据双曲线方程的特点分析选项AB，得到选项C，利用双曲线的离心率e，借助m的取值范围求离心率的范围.【详解】因为表示双曲线，所以，解得-5<m<4，故A正确；因为，故双曲线的焦点在x轴上，故B正确；设双曲线的半焦距为c，则，所以，，故C正确；双曲线的离心率，故D错误.故选：ABC11．已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ）A．点到右焦点的距离的最大值为9B．焦距为10C．若，则的面积为9D．的周长为20【答案】AC【分析】对于A选项，由椭圆性质知：当点为椭圆的左右顶点时，点到右焦点的距离分别最大，最小，即可求解；对于B，由椭圆方程可得焦距；对于C，由题意及椭圆定义，结合三角形面积公式即可求解；对于D，结合椭圆的性质可得．【详解】解：由椭圆的方程得：.对A当点为椭圆的左顶点时，点到右焦点的距离的最大，且为9，故A正确；对B.焦距为B错误；对C.由题意得：，①由椭圆定义得：，即，②②-①得：，的面积为，故C正确对D，的周长为，故D错误；故选：AC12．已知e是自然对数的底数，函数，实数满足不等式，则下列结论正确的是（    ）A． B．若则C． D．【答案】ABC【分析】根据函数的单调性和奇偶性性质得到，利用不等式的性质即可一一判断.【详解】的定义域为，，所以是奇函数．因为，在上都单调递减，所以在上是减函数．又，则，即，所以，即．因为在R上是增函数，所以，故A正确；因为，所以，所以，故B正确；因为在上是增函数，所以，即，故C正确；取，，满足，但不成立，故D错误．故选:ABC． 三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满足与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为______.【答案】【分析】根据题设描述易知的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆，即可求扫过的面积.【详解】由题设，，要使与直线所成角的大小为，只需与直线所成角的大小为， ∴绕以夹角旋转为锥体的一部分，如上图示：的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆，∴在上扫过的面积为.故答案为：.14．如图，在平行四边形中，点，分别在，边上，且，，若，，，则______.【答案】【分析】由题知，，再根据数量积的运算律运算求解即可.【详解】解：因为，，所以，，，因为，，，所以.故答案为：15．点在圆上运动，点在直线上运动，若的最小值是1，则______.【答案】10或-10【分析】设圆心为O，要使最短，则O，P，Q三点共线且OQ与直线垂直.据此可得答案.【详解】由题，设圆心为O，要使最短，则O，P，Q三点共线且OQ与直线垂直.则=，其中为圆半径为1，为圆心到直线距离.则，解得m=10或m=-10故答案为:10或-1016．已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是___.【答案】∪【分析】根据题意得出且与不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件求出x的取值范围.【详解】∵与的夹角为钝角，且与不共线，即，且，解得，且，∴x的取值范围是∪.故答案为：∪. 四、解答题17．已知圆C：，直线l：.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=时，求直线l的方程.【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）由题设可得圆心为，半径，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程求参数a的值即可.（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a，即可得直线方程.【详解】（1）由圆：，可得，其圆心为，半径，若直线与圆相切，则圆心到直线距离，即，可得：.（2）由（1）知：圆心到直线的距离，因为，即，解得：， 所以，整理得：，解得：或， 则直线为或.18．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在轴上，长轴长为4，焦距为2；(2)经过两点.(3)经过点，且与椭圆有共同的焦点；【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由定义和椭圆关系式可直接求解；（2）设所求椭圆的方程，将代入即可求解；（3）设出标准方程，将代入，结合相同联立方程可求解.【详解】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设椭圆的方程为（），∵长轴长为4，焦距为2，∴，，∴，，∴，∴椭圆的方程为；（2）设所求椭圆的方程，将代入上式得，解得，所以所求椭圆的标准方程为；（3）椭圆，即，故，焦点为，，设所求椭圆的标准方程，所以，解得，所以所求椭圆的标准方程为.19．每天在业余时间进行慢走与慢跑，可加强人的心脏功能，保持血压稳定，可加速脂质代谢，防止血脂升高，同时，还能提高人体免疫功能，增强防御疾病的能力，有助于身心健康，使人精力充沛.某企业为了了解本企业员工每天慢走与慢跑的情况，对每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工，随机抽取n人进行调查，将既参加慢走又参加慢跑的人称为“H族”，否则称为“非H族”，得如下的统计表以及每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工人数的频率分布直方图（部分）∶组数分组人数本组中“H族”的比例第一组[25，30)2000.6第二组[30，35)3000.65第三组[35，40)2000.5第四组[40，45)1500.4第五组[45，50)a0.3第六组[50，55)500.3 (1)试补全频分布直方图，并求与n的值；(2)从每天慢走时间在[40，50）（分钟）内的“H族”中按时间采用分层抽样法抽取6人参加企业举办的健身沙龙体验活动，再从这6人中选2人作健身技巧与减脂秘籍的发言，求这2人每天慢走的时间恰好1人在[40，45）分钟内，另一个人在[45，50）分钟内的概率.【答案】(1)直方图见解析，，(2) 【分析】(1)利用所有组的频率之和等于1，算出第二组的频率，得到第二组矩形的高，补全频率分布直方图，由第一组的频率和频数计算样本容量，再计算第五组的频数.(2)按分层抽样的法则在两个组中抽取对应人数，从这6人中选2人，列出样本空间，看其中恰好1人在[40，45）分钟内，另一个人在[45，50）分钟内占多少种基本事件，计算相应概率。【详解】（1））第二组的频率为，所以第二组小矩形高为．补全后的频率直方图如下：第一组的频率为，所以．第五组的频率为，所以．（2）因为分钟的“H族”人数为，分钟的“H族”人数为，二者比例为，所以按时间采用分层抽样法抽取6人，分钟内抽取4人，分钟内抽取2人．设这2人每天慢走的时间恰好1人在分钟，另一个人在分钟为事件Q，在分钟内抽取4人记为A，B，C，D，分钟内抽取2人记为a，b，则有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共15种不同的抽取方法，事件Q有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8种，所以，即选出发言的2人每天慢走的时间恰好1人在分钟内，另一个人在分钟内的概率为．20．已知圆.(1)若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；(2)若直线l过点且与圆C相交于M，N两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程.【答案】(1)或；(2)最大值为8，或. 【分析】（1）求出圆的圆心和半径，再由弦长，弦心距和半径的关系求出圆心C到直线l的距离，然后分直线l的斜率不存在和存在两情况讨论求解即可；（2）设直线l的方程为，求出圆心C到直线l的距离，而的面积，从而可求出的面积的最大值，再由的值可求出，进而可求出直线方程.【详解】（1）圆C的圆心坐标为，半径，因为直线l被圆C截得的弦长为，所以由勾股定理得到圆心C到直线l的距离.①当直线l的斜率不存在时，，显然不满足；②当直线l的斜率存在时，设，即，由圆心C到直线l的距离，得，即，解得或，故直线l的方程为或.（2）因为直线l过点且与圆C相交，所以直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为，即，则圆心C到直线l的距离为，又的面积，所以当时，S取最大值8.由，得，解得或，所以直线l的方程为或.21．  如图，在三棱柱中，平面，，，且为线段的中点，连接，，.(1)证明：；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）通过证明面，即可由线面垂直证明线线垂直；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，写出对应点和向量的坐标，求得两个平面的法向量，再求两平面夹角的余弦值即可.【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以；因为，所以；因为，面，所以面；又因为平面，所以.（2）以为原点，建立空间直角坐标系如下所示：则，，，，，，，，，，，.设平面的法向量为，则，所以，不妨取；设平面的法向量为，则，所以，不妨取；设平面与平面夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为.22．在四棱锥中，底面为梯形﹐，平面.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】(1)利用线面垂直，得到面面垂直.(2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法，即可求解【详解】解：由题意知所以平面又知平面所以平面又因为平面所以平面平面由题可知，由知两两互相垂直，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则.则.设平面的法向量为，则即，令则，所以所以直线与平面所成角的正弦值为.