2022-2023学年广东省湛江市雷州市白沙中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省湛江市雷州市白沙中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省湛江市雷州市白沙中学高二上学期第一次月考数学试题 一、单选题1．已知，如果与为共线向量，则（　　）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由与为共线向量则求解即可.【详解】因为与为共线向量，所以，即，解得，故选：D2．已知，若，则（    ）A．4 B．6 C．5 D．3【答案】A【分析】等价转化为,利用空间向量的坐标运算得到关于的方程，解之即可.【详解】由得，又∵，，,解得,故选：A.3．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用集合交集的运算求解即可．【详解】集合，则故选：B4．如图，在平行六面体中，（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.【详解】解：；故选：C5．已知，分别是平面的法向量，则平面的位置关系为（    ）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合【答案】B【分析】利用空间向量垂直的坐标表示即可解决问题.【详解】因为，，所以，故，所以.故选：B.6．已知角的终边经过点，则 （       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据题意求出，再根据正弦函数的定义即可求出的值.【详解】，.故选：C7．在棱长为的正方体中，设，，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空间向量垂直的数量积表示可求得结果.【详解】由题意可知，，因此，.故选：D.8．为空间任意一点，若，若四点共面，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由A，B，C，P四点共面的充要条件得到，用向量的差整理成与O共起点的向量表示式，结合已知由空间向量的基本定理列出方程组，解出即可.【详解】若A，B，C，P四点共面，则存在有序实数对，使，所以，整理得：，又由题知，由空间向量的基本定理知：解得所以.故选：C. 二、多选题9．正方体的棱长为，点，分别在棱，上，且，，下列命题正确的是（    ）A．异面直线与垂直；B．；C．三棱锥的体积为D．点到平面的距离等于【答案】AC【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法分别判断ABD选项及到平面的距离，进而可得三棱锥的体积.【详解】连接，，，以O为原点建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，，，，A选项：，所以，即，A选项正确；B选项：，所以与不垂直，B选项错误；C选项：，C选项正确；D选项：设平面的法向量为，则，令，则，所以点到平面的距离，D选项错误；故选：AC.10．已知点，，在平面内，则下列向量为的法向量的是（     ）．A． B．C． D．【答案】BC【分析】由题先得到平面内的两个相交向量的坐标，再通过法向量的定义得到中x、y、z的关系式，选取与选项中相同的x，即可得到答案．【详解】由题得：，，设平面的法向量为，则有 ，故平面的一个法向量可以为，.故选：BC．11．如图，平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（    ）A．B．C．向量与的夹角是.D．异面直线与所成的角的余弦值为.【答案】AB【分析】根据题意，引入基向量，分别用基向量表示，利用向量求长度的计算公式，计算可得A正确；利用向量证垂直的结论，计算可得B正确；利用向量求夹角公式，计算可得CD错误.【详解】设，因为各条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，所以，因为，所以，，故A正确；由，所以，所以，故B正确；因为，且，所以，所以其夹角为，故C错误；因为，，，，所以，故D错误.故选：AB.12．下列等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用辅助角公式以及二倍角公式即可求解.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：ABD 三、填空题13．计算：________．【答案】1【分析】根据诱导公式化简即可得解.【详解】，故答案为：114．已知向量则在上的投影向量的模为___________.【答案】【分析】直接利用向量的夹角运算的应用求出结果．【详解】因为，，所以；所以向量在向量上的投影向量的模．故答案为：．15．已知直线斜率等于1，则该直线的倾斜角为___________.【答案】【分析】利用斜率公式与特殊角的三角函数值求解即可.【详解】设直线的倾斜角为，则由得，又因为，所以.故答案为：.16．已知，若与平行，则___________.【答案】【分析】根据空间平行向量的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为，所以，，因为与平行，所以有，故答案为： 四、解答题17．已知空间中三点，设.(1)求向量与向量的坐标；(2)若与互相垂直，求实数的值.【答案】(1)，；(2)或． 【分析】（1）根据空间向量坐标的定义计算；（2）由空间向量垂直得其数量积为0，从而可得值．【详解】（1）由题意，；（2）由已知，，∴，解得或．18．如图所示，在平行六面体中，为的中点.设.(1)用表示；(2)设是棱上的点，且，用表示.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由为的中点，结合平行六面体的性质可得，然后利用向量的加法法则可求得结果，（2）根据向量的加减法法则结合已知条件求解.【详解】（1）因为为的中点，，所以，所以（2）因为，所以19．长方体中，，，(1)求对角线的长度；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求对角线的长度直接用勾股定理即可；（2）建立空间直角坐标系，利用点到面的距离公式即可求得.【详解】（1）解：连接，长方体中，，因为，，所以，所以，（2）解：在长方体中，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，因为，，，，，，，设平面的法向量则 即 解得 取平面的一个法向量取，点到平面的距离20．已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，，.(1)证明：平面平面；(2)求异面直线与所成的角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先建系利用向量法证明，再结合已知条件证明即可；（2）利用异面直线的向量法即可.【详解】（1）证明：由题可知，，分别以为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，.所以，，，，，又，且与是平面内的两条相交直线，所以，，又在面上，故.（2）解：由（1）可知，，所以，与所成的角的余弦值为.21．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，高为4.(1)证明：(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明向量数量积等于零来证明；(2)计算平面的法向量，根据与法向量的夹角与与平面所成角互余求解.【详解】（1）（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，,，，=,,即 .（2）由(1)得，，设平面的一个法向量为，则取因为与法向量所成的角和与平面所成的角互余，所以，直线与平面所成角的正弦值为.22．如图，在三棱锥中，平面平面，，O为的中点．(1)证明：；(2)若是边长为1的等边三角形，点E在棱上，，求二面角的大小．【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】(1)根据给定条件证得平面即可得解.(2)在线段上取点F，使，过F作交BC于点G，再证明是二面角的平面角即可计算作答.【详解】（1）在三棱锥中，因O为的中点，且，则，又平面平面，平面平面，平面，于是得平面，而平面，所以.（2）在线段上取点F，使，连接EF，如图，因点E在棱上，且，则，因此，，由(1)知平面，则有平面，而平面，从而有因是边长为1的等边三角形，且O为的中点，即，则是直角三角形，，过F作交BC于点G，连接EG，则有，因，平面，于是得平面，而平面，因此，，即有是二面角的平面角，因，则，而，，，于是得，而有，因此得，所以二面角的大小.