2022-2023学年广东省珠海市实验中学高二上学期第一次段考数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省珠海市实验中学高二上学期第一次段考数学试题

一、单选题

1．若直线l方向向量为，平面的法向量为，且，则m为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．

【答案】C

【分析】由可知l的方向向量为与平面的法向量平行，再利用向量共线定理即可得出．

【详解】，的方向向量为与平面的法向量平行，

．

，解得．

故选：C．

2．在天气预报中，有“降水概率预报”.例如，预报“明天降水概率为85%”，这是指（    ）

A．明天该地区有的地区降水，其他地区不降水

B．明天该地区约有的时间降水，其他时间不降水

C．气象台的专家中，有的人认为会降水，另外的专家认为不降水

D．明天该地区降水的可能性为

【答案】D

【分析】根据概率的定义，逐项分析，即可求解.

【详解】由题意，在天气预报中预报“明天降水概率为”，

对于A中，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为，并不是说其他地区不降水，故A错误；

对于B中，明天该地的每个地区都有的降水的可能性，并不是说其他时间不降水，故B错误；

对于C中，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为，并不是说有的人认为会降水，另外的专家认为不降水，故C错误；

对于D中，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为，故D正确.

故选：D.

3．已知，，且，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】求出和的坐标，根据空间向量共线的充要条件即可得，的值.

【详解】因为，，所以，

，

因为，所以，解得：，，

故选：B.

4．若“A＋B”发生(A，B中至少有一个发生)的概率为0.6，则同时发生的概率为(　　)

A．0.6 B．0.36 C．0.24 D．0.4

【答案】D

【分析】利用对立事件概率计算公式求解．

【详解】∵发生的概率为

∴，同时发生的概率：

故选：D

5．若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，，…，的平均数为4，则下列说法错误的是（    ）

A．的值为 B．乙组样本数据的方差为36

C．两组样本数据的样本中位数一定相同 D．两组样本数据的样本极差不同

【答案】C

【分析】结合平均数公式、方差公式、中位数和极差的定义，逐个选项判断即可.

【详解】甲组样本数据，，，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，

又乙组样本数据，，，的平均数为4，

，解得，故A正确，

乙组样本数据方差为，故B正确，

设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为，

两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C错误，

甲组数据的极差为，则乙组数据的极差为，

两组样本数据的样本极差不同，故D正确．

故选：C．

6．要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续.则第四袋牛奶的标号是（    ）

（下面摘取了某随机数表的第7行至第9行）

A．358 B．301 C．071 D．206

【答案】C

【分析】根据题意，按照所提供的随机数表和读数规则依次读取有效数据，注意删除重复数据即可得出第四袋牛奶的标号.

【详解】由题意可知，读取的第一个数据是583，不符合条件，第二个数据是921，不符合条件，第三个数据是206，符合条件；

即随机选取的第一袋牛奶标号是206；

以下数据依次是766，301，647，859，169，555，671，998，301，其中符合题意的数据只有301，169，301三个数据，但是301属于重复数据，继续往后计数；

下一个数是071，符合条件，即前四袋牛奶的标号依次为206，301，169，071；

所以，第四袋牛奶的标号为071.

故选：C.

7．已知，，与的夹角为120°，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出空间向量的坐标，利用向量数量积和向量的夹角求出结果．

【详解】因为，0，，，，，，

所以，，，

所以，

所以，且，解得：．

故选：A．

8．从甲袋中摸出1个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则可能是（    ）

A．2个球不都是红球的概率 B．2个球都是红球的概率

C．至少有1个红球的概率 D．2个球中恰有1个红球的概率

【答案】C

【分析】运用概率计算公式分别计算四个选项中事件的概率即可.

【详解】记4个选项中的事件依次分别为A，B，C，D，

则，故A错误；

，故B错误；

，故C正确；

．故D错误.

故选：C．

二、多选题

9．（多选题）已知直线l过点，平行于向量，平面过直线l与点，则平面的法向量可能是（   ）

A．(1，－4，2) B． C． D．(0，－1，1)

【答案】ABC

【分析】由题可知所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，所以利用向量垂直的判定验证即可

【详解】解：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，

而，

选项A，满足垂直，故正确；

选项B，满足垂直，故正确；

选项C，满足垂直，故正确；

选项D，，但，故错误．

故选：ABC

【点睛】此题考查平面的法向量，向量的数量积运算，属于基础题.

10．某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中（    ）

A．女生人数多于男生人数

B．D层次男生人数多于女生人数

C．B层次男生人数为24人

D．A层次人数最少

【答案】AC

【分析】根据表中数据依次讨论各选项即可求解.

【详解】解：对于A选项，由题可知，女生层次的有18人，层次的有48人，层次的有30人，层次的有18人，层次的有6人，故女生共有人，男生有人，所以女生人数多于男生人数，故A选项正确；

对于B选项，由扇形图知，男生层次的有人，而女生有18人，故女生多于男生，错误；

对于C选项，层次的有人人，故正确；

对于D选项，层次的有人，层次的有人，故层次的人数不是最少的.

故选：AC

11．下列说法正确的是（    ）

A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行；

B．已知空间任意两向量，，则向量，共面；

C．已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得；

D．若A，B，C，D是空间任意四点，则有.

【答案】BD

【分析】由共线向量的定义可知，向量，所在的直线可以重合，可判断A；空间中任意两个向量都是共面的，可判断B；若空间中的三个向量，，共面，并不存在实数，，，使得，所以C并不成立；根据向量运算法则可判断D.

【详解】对于A，若向量，共线，则向量，所在的直线可以重合，并不一定平行，所以A错误；

对于B，根据共面向量的定义可知，空间中的任意两个向量都是共面的，所以B正确；

对于C，只有当空间的三个向量，，不共面时，对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得成立；若空间中的三个向量共面，此说法并不成立，所以C错误；

对于D，根据向量的加法法则即可判断D正确.

12．把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，下列各组事件不是独立事件的组数为（    ）

A．掷出偶数点， 掷出奇数点

B．掷出偶数点，掷出3点

C．掷出偶数点，掷出3的倍数点

D．掷出偶数点，掷出的点数小于4

【答案】ABD

【分析】根据独立事件的概念可知，若事件与事件相互独立，则必须满足，根据此公式对选项逐一判断即可得出结果.

【详解】对于A，因为，而，

此时，所以事件与事件不是相互独立的；

对于B，因为，而，

此时，所以事件与事件不是相互独立的；

对于C，因为，而，

此时满足，所以事件与事件是相互独立的；

对于D，因为，而，

此时，所以事件与事件不是相互独立的；

综上可知，不是独立事件的组数为ABD.

故选：ABD.

三、填空题

13．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为________．

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，按照空间中两点的距离公式求解即可.

【详解】解析：以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，可得

所以，所以＝

所以|EF|＝

故答案为：

14．一枚硬币连掷三次，事件A为“三次反面向上”，事件B为“恰有一次正面向上”，事件C为“至少两次正面向上”，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝__________________.

【答案】1

【分析】由题事件A，B，C之间是互斥的，且又是一枚硬币连掷三次的所有结果，可得结论

【详解】事件A，B，C之间是互斥的，且又是一枚硬币连掷三次的所有结果，所以P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.

【点睛】本题考查互斥事件的概率，属基础题.

15．已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③向量与向量的夹角是60°；④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是________．

【答案】①②

【分析】①利用空间向量线性运算求解判断；②易证平面，得到判断；③易知向量与向量的夹角为判断；④由判断.

【详解】由题意得正方体ABCD-A1B1C1D1 如下图所示：

①∵，故正确.

②平面，所以，又，,

所以平面，所以，

所以，故正确.

③向量与向量的夹角为，故错误.

④∵，而··.故错误.

故答案为：①②

四、双空题

16．在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，若只知道抽取了男生24人，其平均数和方差分别为170.5和12.96，抽取了女生26人，其平均数和方差分别为160.5和36.96，则据此可得高一年级全体学生的身高平均数为___________，方差的估计值为___________.

（参考数据：，，）.

【答案】     165.3     50.4

【分析】样本中男生的身高平均数，方差，女生身高平均数，方差，由平均数和方差的计算公式计算样本平均数和样本方差．

【详解】把样本中男生的身高记为，，，，其平均数记为，方差记为，

把样本中女生身高记为，，，，其平均数记为，方差记为，

样本平均数记为，方差记为，

则，

．

故答案为：165.3；50.4．

五、解答题

17．一家水果店店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下：83，91，75，94，80，80，80，75，89，74，94，84，85，87，93，85，75，86，85，85..

(1)请计算该水果店过去20天苹果日销售量的平均数.

(2)一次进货太多，水果会变的不新鲜；进货太少，不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，第80百分位数是比较理想的进货需求，请问，每天应该进多少千克苹果？

【答案】(1)84

(2)90

【分析】（1）根据题意，利用平均数计算公式将20天苹果的日销售量求和再除以20即可得出结果；（2）根据百分位数的概念可知，将这20个数按照从小到大的顺序排列，第80百分位数是第16个数和第17个数的平均值，计算可得结果.

【详解】（1）根据题意，设过去20天苹果日销售量的平均数为，

则

经计算得

所以，该水果店过去20天苹果日销售量的平均数为84.

（2）将过去20天苹果的日销售量数据按照从小到大的顺序排列如下：

74，75，75，75，80，80，80，83，84，85，85，85，85，86，87，89，91，93，94，97;

因为，所以第80百分位数是第16位和第17位数的平均值；

即；

所以，每天应该进90千克苹果.

18．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，求：

（１）甲被选中的概率；

（２）丁没被选中的概率.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先确定从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表总事件数，再确定甲被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率（2）先确定从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表总事件数，再确定丁没被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.

【详解】（1）从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表共有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁、丙丁共6种基本事件，其中甲被选中包括甲乙，甲丙，甲丁三种基本事件，所以甲被选中的概率为 .

（2）丁没被选中包括甲乙，甲丙，乙丙三种基本事件，

所以丁没被选中的概率为.

点睛：古典概型中基本事件数的探求方法

(1)列举法.

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.

(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.

(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

19．如图，在平行六面体中，设，，，分别是，，的中点.

(1)试用，，表示以下列向量：.

(2)，，求证：平面

【答案】(1)；

(2)见解析；

【分析】(1)根据向量的加法法则分别表示出向量，即可求得；

(2)根据向量的数量积可得，，即有，，从而即可证明平面.

【详解】（1）解：因为分别是，，的中点，，，，

所以，

，

所以=；

（2）证明：设，

则有==

因为,

,,

又因为

所以，

即有，

同理可证，

又因为，

所以平面.

20．随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过三小时.

（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（2）求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）甲、乙两人所付费用相同即同为2，4，6元，都付2元的概率，都付4元的概率，都付6元的概率，由此利用互斥事件概率加法公式能求出所付费用相同的概率．

（2）设两人费用之和8、10、12的事件分别为、、， ， ， ，设两人费用之和大于或等于8的事件为，则，由此能求出两人费用之和大于或等于8的概率．

【详解】解：（1）甲、乙两人所付费用相同即同为2，4，6元.

都付2元的概率为；

都付4元的概率为；

都付6元的概率为；

故所付费用相同的概率为.

（2）设两人费用之和为8、10、12的事件分别为、、

；

；.

设两人费用之和大于或等于8的事件为，则

所以，两人费用之和大于或等于8的概率

【点睛】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

21．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E为BC的中点.

(1)证明：平面ABCD

(2)在线段AN上是否存在点S，使得平面AMN，如果存在，求出线段AS的长度.

【答案】(1)证明过程见详解

(2)

【分析】(1)连接，由题意可知：四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定即可证明；

(2)根据题意，建立如图所示空间直角坐标系，得到相关点的坐标，假设在线段上存在点，

使得平面，求得的坐标，可设，由平面可得关于的方程组，

解得的值，可得的坐标以及的值，从而得出结论.

【详解】（1）证明，连接，

因为平面ABCD，平面ABCD，

所以，又因为，所以四边形为平行四边形，

所以,平面,,所以平面ABCD.

（2）由题意知：两两垂直，以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则，

假设在线段上存在点，使得平面，连接，设，

因为，，

所以，则，

由平面可得，，即，解得：，

此时，，

故当时，平面.

22．习近平总书记指出:“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级:

并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.

（1）求的值及频率分布直方图中的值；

（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?

（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是:以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)

【答案】（1）2000，；（2）；（3）只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见解析.

【解析】（1）由调查评分在的市民为人及频率可得样本容量；根据频率和为1可得t；

（2）由（1）知，根据调查评分在有人，有人，计算出

心理等级均达不到良好的概率，由对立事件的概率可得答案；

（3）由频率分布直方图估计市民心理健康问卷调查的平均评分及平均值与0.8作比较可得答案.

【详解】（1）由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，

所以，解得.

（2）由（1）知，

所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，

若按分层抽样抽取人，

则调查评分在有人，有人，

因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，

所以选出的人经过心理疏导后，

心理等级均达不到良好的概率为，

所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为.

（3）由频率分布直方图可得，

，

估计市民心理健康问卷调查的平均评分为，

所以市民心理健康指数平均值为，

所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.

【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用及相互独立事件概率的求解，由频率分布直方图中是没有样本数据的，平均值等于每个小长方形面积乘每组横坐标的中点，然后相加求和，且所有矩形的面积之和为1，考查了学生分析数据处理问题的能力.