2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第四中学校高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第四中学校高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件， 那么事件与的关系正确的是（    ）

A．A与B相互独立 B．A与B互为对立

C．A与B互斥 D．以上说法都不正确

【答案】A

【分析】根据独立事件的定义，可得答案.

【详解】明显地，根据独立事件的定义，直接得到A正确.

故选：A

2．与空间向量共线的一个向量的坐标是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据空间向量共线的坐标表示即可得出结果.

【详解】.

故选：C.

3．通过模拟试验，产生了20组随机数（       ）

7130 3013 7055 7430 7740 4122 7884 2604 3346 0952

6107 9706 5774 5725 6576 5929 1768 6071 9138 6254

每组随机数中，如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据古典概型的计算公式可得.

【详解】20组随机数中恰有三个数在1,2,3,4,5,6中,有3013， 2604，5725，6576四组，

因此四次射击中恰有三次击中目标的概率约为

故选：B.

4．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形．若，且，则的长为（    ）

A． B． C． D．5

【答案】A

【分析】利用空间向量的线性运算及数量积运算即可求解.

【详解】根据空间向量的运算法则，易得，

又因为，

故.

故选：A．

5．从甲､乙､丙､丁4名选手中选取2人组队参加奥林匹克竟赛，其中甲被选中的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据古典概型计算公式进行求解即可.

【详解】甲被选中的概率为，

故选：B

6．甲､乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是，从乙盒中摸出一个红球的概率是，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列说法中正确的是（    ）

A．小明得6分的概率为

B．小明得分低于6分的概率为

C．小明得分不少于3分的概率为

D．小明恰好得3分的概率为

【答案】B

【分析】设小明从甲盒中摸出一个红球为事件，从乙盒中摸出一个红球为事件，由条件得到，，则，，再根据相互独立事件的乘法公式逐一求解即可.

【详解】设小明从甲盒中摸出一个红球为事件，从乙盒中摸出一个红球为事件，

由题意得：，，则，.

对于A选项，小明得6分的概率，所以A选项错误；

对于B选项，小明得分低于6分的概率，所以B选项正确；

对于C选项，小明得分不少于3分的概率，所以C选项错误；

对于D选项，小明恰好得3分的概率，所以D选项错误；

故选：B.

7．已知正三棱柱的各棱长都等于2，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意，根据正三棱柱的性质，求得对应线段的长，结合异面直线夹角的定义以及余弦定理，可得答案.

【详解】如图，设的中点为的中点为，的中点为，连接，则可得，

在中，由，则，

在中，由，

由三棱柱中，易知在等边中，，

在中，，

所以异面直线与所成的角是或它的补角，由余弦定理得，

则异面直线与所成的角的余弦值为.

故选：A.

8．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，计算判断A，B，D；分析事件与所含事件判断C作答.

【详解】依题意，，，而，A不正确；

，，B不正确；

事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件是含有1个白球与没有白球的两个互斥事件和，

事件是必然事件，因此，C正确；

因，，则，即D不正确.

故选：C

二、多选题

9．某教育局对全区高一年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表如下，则下列结论正确的是（    ）.

A．男生人数为80人

B．B层次男女生人数差值最大

C．D层次男生人数多于女生人数

D．E层次女生人数最少

【答案】ABD

【分析】根据条形图求出抽取女生人，得出抽取男生人，再对照图表判断选项中的命题是否正确即可．

【详解】解：由条形图知，抽取女生学生有（人），

所以抽取男生有（人），选项正确；

层次的男生有（人，A，B，C，D，E五个层次男生人数分别：8，24，20，16，12（人），与女生各层次差值分别为：10，24，10，2，6，选项正确；

层次的男生有（人），女生有18人，男生人数少于女生，选项错误；

层次的女生人数最少，选项正确．

故选：ABD．

10．给出下列命题：其中假命题的是（    ）

A．若空间向量 满足， 则

B．空间任意两个单位向量必相等

C．若空间向量 满足，则

D．向量的模为

【答案】ABC

【分析】根据向量相等的定义，单位向量的定义，以及向量的模的定义，逐个选项进行判断即可.

【详解】对于A，取，，此时，，但是，故A为假命题；

对于B，由A知，取单位向量和，此时，故B为假命题；

对于C，若空间向量 取，，取为零向量，此时，满足，但是 ，故C为假命题；

对于D，，故模为，故D为真命题.

故选：ABC

11．已知两组数据，第一组，，…，和第二组，，…，，，其中，，第一组数据不全相同，则这两组数据相比，下列说法正确的是（    ）

A．平均数一定相等 B．中位数一定相等

C．极差一定相等 D．第一组数据的方差大于第二组数据的方差

【答案】ACD

【分析】根据平均数，中位数，极差和方差的定义结合已知条件计算分析即可

【详解】对于A，因为，

所以，所以，

所以，，

所以，所以A正确，

对于B，因为第一组数的中位数为，第二组数的中位数为，，但不一定等于，所以两组数的中位数不一定相等，所以B错误，

对于C，由选项A的计算可知，，所以第一组数据的最大值和最小值与第二组数据的最大值和最小值分别相等，所以两组数据有极差相等，所以C正确，

对于D，第一组数据的方差为，

第二组数据的方差为

，

所以，即第一组数据的方差大于第二组数据的方差，所以D正确，

故选：ACD

12．已知空间中三点，，，则（    ）

A．与是共线向量

B．与向量方向相同的单位向量坐标是

C．与夹角的余弦值是

D．在上的投影向量的模为

【答案】BD

【分析】求出向量坐标，，，由空间向量共线定理判断A，求出判断B，根据向量夹角公式计算判断C，求出在上的投影，其绝对值为投影向量的模，判断D．

【详解】由已知，，，

，因此与不共线，A错；

，所以与向量方向相同的单位向量坐标是，B正确；

，，

，C错；

在上的投影是，所以投影向量的模为，D正确

故选：BD．

三、填空题

13．某单位有员工人，其中女员工有人，为做某项调查，拟采用分层抽样的方法抽取容量为的样本，则应抽取的男员工人数是_______________________．

【答案】

【分析】按照分层抽样的定义，按照比例抽取即可

【详解】由题意，设应抽取的男员工人数是

则

解得：

故答案为：90

14．若三个原件A，B，C按照如图的方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为______

【答案】0.686

【分析】根据题意，先求得与至少有一个正常工作的概率，再结合独立事件概率的乘法公式，即可求解.

【详解】由题意，系统正常工作的情况分成两个步骤，A正常工作且B，C至少有一个正常工作的情况，其中正常工作的概率为0.7；正常工作的概率为0.8, 正常工作的概率为0.9，

则与至少有一个正常工作的概率为，

所以这个系统正常工作的概率为：0.7×0.98＝0.686；

故答案为：0.686；

【点睛】本题主要考查了对立事件和相互独立事件的概率的计算，其中解答中熟记相互独立事件的概率的计算公式，结合对立事件的概率计算公式求解是的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

15．如图所示，在正方体中，棱长为2，、、、、、、、、、、、分别为各棱的中点，则的不同值有______个．

【答案】3

【分析】建立空间直角坐标系，然后得到各点坐标，算出和，利用数量积即可得到答案

【详解】解：以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，，，，，，，，

所以，，，，，，，，，，，，，

所以则有3个不同的值，

故答案为：3

16．已知空间直角坐标系中ΔABC三个顶点坐标分别为:，AD是边BC上的高，则AD的长为__________．

【答案】##

【分析】根据点在边上，且AD是边BC上的高，可求得的坐标，然后根据空间向量的模长公式，即可得到结果.

【详解】因为，

则，，因为点在边上，

设

且

由AD是边BC上的高可得，解得

所以

则

故答案为:

四、解答题

17．从甲､乙､丙三个厂家生产的同一种产品中抽取8件产品，对其使用寿命（单位：年）进行追踪调查，结果如下：

甲：5，5，6，6，8，8，8，10；

乙：4，5，6，7，8，9，12，13；

丙：3，3，4，7，9，10，11，12.

(1)三个厂家的广告中都称该产品的使用寿命是8年，请指出___________（从“甲､乙､丙”三厂家中选择一个）厂家在广告中依据了统计数据中的哪个特征数？

(2)计算甲厂家抽取的8件产品的方差.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）分别利用众数、平均数、中位数进行分析可得答案；

（2）利用平均数、方差公式进行计算即可.

【详解】（1）选择甲厂家，

因为甲厂家抽取的8件产品的众数是8，所以甲厂家的广告依据了统计数据中的众数；

选择乙厂家，

因为乙厂家抽取的8件产品的平均数是8，所以乙厂家的广告依据了统计数据中的平均数；

选择丙厂家，

因为丙厂家抽取的8件产品的中位数是8，所以丙厂家的广告依据了统计数据中的中位数.

（2）甲厂家抽取的8件产品的使用寿命为5，5，6，6，8，8，8，10，

其平均数为，

方差为.

18．已知向量，．

(1)求；

(2)求；

(3)若（），求的值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示即可得解；

（2）求出，再根据空间向量的模的坐标表示即可得解；

（3）由，可得，再根据数量积的运算律即可得解.

【详解】（1）解：；

（2）解：

；

（3）解：因为，

所以，

即，

解得.

19．统计某公司名推销员的月销售额（单位：千元）得到如下频率分布直方图．

（1）同一组数据用该区间的中间值作代表，求这名推销员的月销售额的平均数与方差；

（2）请根据这组数据提出使的推销员能够完成销售指标的建议；

（3）现有两种奖励机制：

方案一：设，销售额落在左侧，每人每月奖励千元；销售额落在内，每人每月奖励千元；销售额落在右侧，每人每月奖励千元．

方案二：每人每月奖励其月销售额的．

用统计的频率进行估算，选择哪一种方案公司需提供更多的奖励金？（参考数据：）

记：（其中为对应的频率）．

【答案】（1）（万元）；方差为；（2）将销售指标定为千元时，才能够使的推销员完成销售指标；（3）选择方案一，公司需提供更多的奖励金．

【分析】（1）根据频率分布直方图得到频率求均值与方差即可；

（2）设月销售额为时，计算对应概率0.3，即可求解；

（3）分别计算不同方案需提供的奖金，比较即可求解.

【详解】（1）由频率分布直方图可得，这名推销员的月销售额的平均数为

（万元）

方差为

（2），

设月销售额为，则，

则，解得，

故根据这组数据可知：将销售指标定为千元时，才能够使的推销员完成销售指标．

（3）方案一：由（1）可得，，，

则当时，，

当时，，

当时，，

共计（千元），

方案二：（千元），

因为，所以选择方案一，公司需提供更多的奖励金．

20．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，M为BC的中点，，，．

(1)证明：A1B∥平面AMC1；

(2)求异面直线与所成的角．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)取的中点G，证明平面和平面平行，可得A1B∥平面AMC1

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角即可

【详解】（1）取的中点G，连接，和GM，由直三棱柱ABC-A1B1C1，和都是中点，

可得四边形和是平行四边形，，，又

，，平面平面，而平面，

A1B∥平面AMC1

（2），，，由余弦定理得，

解得，在中满足，，

如图建立空间直角坐标系，，，，，，

，，因为异面直线的夹角范围在，

所以异面直线与所成的角为.

21．某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,表示购机的同时购买的易损零件数.

（Ⅰ）若=19,求y与x的函数解析式；

（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5,求的最小值；

（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

【答案】(1);(2)19;(3) 购买1台机器的同时应购买19个易损零件.

【详解】试题分析：（Ⅰ）分x19及x＞19，分别求解析式；（Ⅱ）通过频率大小进行比较；（Ⅲ）分别求出n=19，n=20时所需费用的平均数来确定.

试题解析：（Ⅰ）当时，；当时，，所以与的函数解析式为.

（Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故的最小值为19.

（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300，10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为.

若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为.

比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.

【解析】函数解析式、概率与统计

【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解的关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.

22．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，且，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱上的点．

(1)证明：；

(2)在棱A1B1上是否存在一点M，使得异面直线MF与AC所成的角为30°？ 若存在，指出M的位置；若不存在，说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在；M是A1B1中点

【分析】(1)以B为原点建立空间直角坐标系，证得即可得出结论.

(2)先设出M的坐标，利用空间向量求异面直线夹角公式可以解得M的位置.

【详解】（1）证明：由直三棱柱ABC-A1B1C1可得平面，且，故以为原点，

，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，设，且，

则，，，由，

（2）可设，且，则，，，

由异面直线MF与AC所成的角为30°可得，

整理得，即或（舍），

所以存在点M，M是A1B1中点.