2022-2023学年广东省惠州市龙门县高级中学高二上学期11月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省惠州市龙门县高级中学高二上学期11月月考数学试题

一、单选题

1．已知，，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接由向量的坐标运算即可得出答案.

【详解】，

故选：C.

2．若图中的直线、、的斜率分别为、、则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由直线的倾斜角与斜率的变化关系可得选项.

【详解】由于直线的倾斜角为钝角，所以；

由于直线的倾斜角为锐角，且的倾斜角小于的倾斜角，所以，

所以.

故选：A.

【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题.

3．如图，在直三棱柱中，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】结合向量的加法和减法运算直接化简即可.

【详解】由题意可得.

故选：B

4．若点在圆的内部，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】点在圆的内部，求解即可

【详解】由题意，点在圆的内部

故，即

解得：

则a的取值范围是

故选：D

5．直线kx＋y＋1＝2k，当k变动时，所有直线都通过定点（    ）

A．(2，－1) B．(－2，－1)

C．(2，1) D．(－2，1)

【答案】A

【分析】把直线化成点斜式即可得出答案.

【详解】由，得，

所以所有直线都通过定点.

故选：A.

6．设直线的方程为，直线的方程为，则直线与的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】将直线的方程化为，利用平行线间的距离公式可求出直线与的距离.

【详解】直线的方程可化为，因此，直线与的距离为.

故选：C.

【点睛】本题考查平行线间距离的计算，考查计算能力，属于基础题.

7．已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可

【详解】因为，

所以，

因为平面的法向量，

所以点到平面的距离.

故选：B

【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题

8．已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】作出图形，可知点、在直线的同侧，并求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出的最小值为.

【详解】如下图所示：

由图形可知，点、在直线的同侧，且直线的斜率为，

设点关于直线的对称点为点，则，

解得，，即点，

由对称性可知，

故选：D.

【点睛】本题考查位于直线同侧线段和的最小值的计算，一般利用对称思想结合三点共线求得，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

二、多选题

9．下列说法中，正确的有（    ）

A．过点且在轴截距相等的直线方程为

B．直线在y轴上的截距是；

C．直线的倾斜角是

D．过点并且倾斜角为的直线方程为

【答案】BD

【分析】求出截距相等的直线方程判断A，求出直线的纵截距判断B，由直线方程求得倾斜角判断C，根据倾斜角得出直线方程判断D．

【详解】解：对A：过点且在x，y轴截距相等的直线方程，要分直线过原点和不过原点两种情况讨论，当直线过原点时，直线方程为；当直线不过原点时，直线方程为，所以A错误.

对B：直线在y轴上的截距，令，得，所以直线在y轴上的截距为，所以B正确.

对C：直线的斜率为，设倾斜角为，则，所以，所以C错误.

对D：过点并且倾斜角为，斜率不存在，所以直线方程为，即，所以D正确.

故选：BD.

10．已知方程表示一个圆，则实数可能的取值为（    ）

A． B．0 C． D．

【答案】BC

【分析】根据时表示一个圆列方程，解方程即可判断的可能取值.

【详解】因为方程表示一个圆，所以，化简得，解得.

故选：BC.

11．直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是

A． B． C．1 D．

【答案】ACD

【解析】分别计算直线过点A，B的斜率，数形结合，即得解

【详解】

当直线过点B时，设直线的倾斜角为，则

当直线过点A时，设直线的倾斜角为，则

故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为：或

故选：ACD

【点睛】本题考查了过定点的直线与线段相交的直线的取值范围问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于中档题

12．在长方体中，，，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（    ）

A．的坐标为(2，2，3) B．=(-2，0，3)

C．平面的一个法向量为(-3，3，-2) D．二面角的余弦值为

【答案】ABD

【解析】根据空间直角坐标系得出各点坐标，根据空间向量在立体几何中的应用逐一判断即可.

【详解】因为，，

所以，，，，所以，

,

即A，B正确；

设平面的法向量，

所以，即，令，则，，

即平面的一个法向量为，故C错误；

由几何体易得面的一个法向量为，

由于，

结合图形可知二面角的余弦值为，故D正确；

故选：ABD.

【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之法向量的求法以及在面面角中的应用，属于基础题.

三、填空题

13．已知空间向量与满足，且，若与的夹角为，则________．

【答案】

【分析】利用空间向量数量积的定义进行求解即可.

【详解】因为，与的夹角为，

所以由，

故答案为：

14．若直线mx+4y-2＝0与直线2x-5y-12＝0垂直，则实数m=______．

【答案】10

【分析】根据直线垂直的条件即可直接求出的值.

【详解】因为直线mx+4y-2＝0与直线2x-5y-12＝0垂直，

所以，所以.

故答案为：10.

15．若点是圆内一点，则过点的最长的弦所在的直线方程是__________.

【答案】

【分析】根据圆的方程得到圆心坐标，结合圆的特点得到过点的弦经过圆心时，弦长最长，然后利用圆心坐标、点坐标求直线方程即可.

【详解】圆可整理为，所以圆心，，

当过点的弦经过圆心时，弦长最长，所以过点的最长的弦所在的直线方程为，整理得.

故答案为：.

16．已知圆，当圆的面积最小时，直线与圆相切，则__________.

【答案】

【分析】利用圆的面积最小得圆的半径最小，可得，再根据圆心到直线的距离等于半径可得答案.

【详解】将化为标准方程为，

所以圆的半径为，

当圆面积最小时，圆的半径最小，此时，圆的方程为，

因为直线与圆相切，所以，解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查了由圆的标准方程求圆心坐标和半径，考查了直线与圆相切的位置关系，考查了点到直线的距离，属于基础题.

四、解答题

17．已知，.

（1）若，求实数的值.

（2）若，求实数的值.

【答案】（1）（2）

【解析】(1)直接根据向量平行得到关于k的方程,然后解出k即可;

(2)直接根据向量垂直得到关于k的方程,然后解出k即可;

【详解】解:,.

(1)∵,∴,∴.

(2)∵,∴,

∴.

【点睛】本题考查了向量平行和向量垂直求参数值,考查了方程思想,属基础题.

18．已知的顶点为.

(1)求边上的中线所在的直线方程并化为一般式方程；

(2)求边上的高所在的直线方程并化为一般式方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据的坐标得到中点的坐标为，然后利用斜率公式得到，利用点斜式写直线的方程，最后整理为一般式即可；

（2）根据边上的高与垂直得到边上的高的斜率，然后利用点斜式写直线方程，最后整理为一般式即可.

【详解】（1）因为，，所以中点的坐标为，所以，直线的方程为，整理得.

（2）因为，所以边上的高的斜率为，

所以边上的高所在的直线方程为，整理得.

19．已知向量=(1,-3,2),=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).

(1)求|2+|;

(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得⊥ ?(O为原点)

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据空间向量的坐标运算相应公式计算即可．

（2）假设存在点E，则+t，再根据⊥b,建立方程可求出t=．

【详解】(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),

故|2a+b|==5.

(2)+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),

若⊥b,则·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,因此存在点E,使得⊥b,此时点E的坐标为E.

【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标表示，向量的模及向量垂直等，属于中档题．

20．在直三棱柱中，，，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；

（2）由（1）可得：到平面的距离就等于点到平面的距离，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，用空间向量的方法求点到面的距离即可.

【详解】（1）证明：连接交于点，连接，则点为中点，

又是的中点，所以，

因为平面，平面，

所以平面；

（2）解：因为平面，所以到平面的距离就等于点到平面的距离.

以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

，，.

设平面的法向量为，

所以，即，即

令，则.

所求距离为.

【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及求点到面的距离，熟记线面平行的判定定理，灵活运用空间向量的方法求点到面的距离即可，属于常考题型.

21．问题：平面直角坐标系xOy中，圆C过点A（6，0），且___________.

（在以下三个条件中任选一个，补充在横线上.）

①圆心C在直线上，圆C过点B（1，5）；②圆C过点和；③圆C过直线和圆的交点.

(1)求圆C的标准方程；

(2)求过点A的圆C的切线方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选①条件,设出圆方程，将圆心坐标代入直线方程、点的坐标代入圆方程，利用待定系数法求解；选②条件，点的坐标代入圆方程，利用待定系数法求解；选③条件，设圆C的方程为，将点A的坐标代入方程，解得即可；

（2）求得，过点A的切线斜率为，利用点斜式得答案.

【详解】（1）选①条件

设所求圆的方程为，由题意得

解得，，，

所以所求圆的方程是.

选②条件

设圆C的方程为，

因为圆C过点A，B，C，所以有，

解得，，，所以圆C的方程是.

即

选③条件

因为圆C过直线和圆的交点，所以设圆C的方程为

，

因为圆C过点A（6，0），将点A的坐标代入方程，解得，

所以圆C的方程是，即

（2）∵A在圆C上，，所以过点A的切线斜率为，

∴过点A的切线方程是即.

22．如图所示，在五面体中，平面为的中点，.

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用直线与的方向向量求异面直线与所成角即可.

（2）求出平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，利用公式即可求出答案.

【详解】因为平面，所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

设，则，

（1）所以，

所以，所以，

因为，所以，

所以异面直线与所成角为.

（2）因为，所以，

设平面的一个法向量为，

则，即，取，则，所以，

取平面的一个法向量为，

设平面与平面夹角为，则

则，

所以平面与平面夹角的余弦值为.