2022-2023学年河南省安阳县实验中学高二上学期收心考数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年河南省安阳县实验中学高二上学期收心考数学（理）试题

一、单选题

1．若，，是任意三个空间向量，，则下列关系式中不成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据向量加法的交换律、结合律，对数乘的分配律判断ABC，由向量共线的条件判断D.

【详解】对于A，根据向量加法的交换律知成立，故A正确；

对于B，根据向量数乘的分配律知成立，故B正确；

对于C，根据向量加法的结合律知成立，故C正确；

对于D，当共线，且或时，才有，故D错误.

故选：D

2．已知,则向量与的夹角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量的坐标即可求出,从而得出,这样即可得出与的夹角．

【详解】解：，，

∴,

∴,

∴与的夹角为90°．

故选A．

【点睛】本题考查了空间向量数量积的坐标运算,向量垂直的充要条件,向量夹角的定义,考查了计算能力,属于基础题．

3．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：，则（    ）

A．四点O，A，B，C必共面

B．四点P，A，B，C必共面

C．四点O，P，B，C必共面

D．五点O，P，A，B，C必共面

【答案】B

【解析】根据空间向量的共面定理求解.

【详解】因为,

所以，

所以，

即，

所以四点、、、共面．

故选：B

【点睛】本题主要考查空间向量共面定理，属于基础题.

4．在三棱锥中，是棱的中点，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据空间向量的基本定理，结合向量的线性运算，即可得出结果.

【详解】因为是棱的中点，，

所以

.

故选：D.

【点睛】本题主要考查用基底表示空间向量，熟记空间向量基本定理即可，属于常考题型.

5．如图，已知正三棱柱的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是                                                                           

A． B． C． D．0

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.

【详解】以AC的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则：

,，，，

向量,，

.

本题选择C选项.

【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

6．如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，线段AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】，

，

故选

7．已知四棱锥中，，，，则点到底面的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出平面的一个法向量，然后求与法向量夹角的余弦值，利用点到面的距离公式即可求解.

【详解】设是平面的一个法向量，

则由题设，即

令，可得， ，所以 ，    

，

，，

，

故点到平面的距离为

故点到平面的距离为，

故选：D．

【点睛】方法点睛：向量方法求点到面的距离

设是平面的一条斜线，是平面的一个法向量，则点到平面的距离为

8．正四棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出和平面的法向量，直线与平面所成角的正弦值即为与的夹角的余弦值的绝对值，利用夹角公式求出即可.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系.

有图知，

由题得、、、.

，，.

设平面的一个法向量，

则，，

令，得，，

.

设直线与平面所成的角为，则.

故选：C.

【点睛】本题考查线面角的求解，利用向量法可简化分析过程，直接用计算的方式解决问题，是基础题.

二、多选题

9．已知向量，下列等式中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据条件可得出，然后可看出选项A的等式的左边是向量，右边是实数，显然该等式不成立；进行数量积的运算即可判断选项B，C都正确；根据和即可判断选项D正确．

【详解】，

∴，

A：，∴该等式错误；

B：，，∴该等式正确；

C：，∴该等式正确；

D：，

，

∴，∴该等式正确．

故选：BCD．

10．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】根据“时，若则点与点共面”，分别判断各选项是否为充分条件.

【详解】当时，可知点与点共面，

所以，

所以，

所以，

不妨令，，，且此时，

因为，，，，

由上可知：BD满足要求.

故选：BD.

【点睛】本题考查利用空间向量证明空间中的四点共面，难度一般.常见的证明空间中四点共面的方法有：(1)证明；(2)对于空间中任意一点，证明；(3) 对于空间中任意一点，证明.

11．(多选)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论中正确的是（    ）

A．A1M∥D1P

B．A1M∥B1Q

C．A1M∥平面DCC1D1

D．A1M∥平面D1PQB1

【答案】ACD

【分析】利用向量运算求得，由此判断出正确结论.

【详解】依题意可知，所以四点共面.

因为，

，

所以，则，结合线面平行的判定定理可知ACD正确.

而与不平行，所以B不正确.

故选：ACD

12．已知菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD相交于点O．将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是（    ）

A．BD⊥CM

B．存在一个位置，使△CDM为等边三角形

C．DM与BC不可能垂直

D．直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°

【答案】ABD

【解析】画出图形，利用直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系判断选项的正误即可．

【详解】对A，菱形中，，与相交于点．将沿折起，使顶点至点，如图：取的中点，连接，，可知，，所以平面，可知，故A正确；

对B，由题意可知，三棱锥是正四面体时，为等边三角形，故B正确；

对C，三棱锥是正四面体时，与垂直，故C不正确；

对D，平面与平面垂直时，直线与平面所成的角的最大值为，故D正确．

故选：ABD．

【点睛】本题考查空间几何体的直线与直线、直线与平面的位置关系的综合判断、命题的真假的判断，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．

三、填空题

13．在直三棱柱中，若，则=____________.(用表示)

【答案】

【分析】连接根据直三棱柱的结构特征及空间向量减法的几何意义可得，结合已知即可求表达式.

【详解】连接则.

故答案为：

14．如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点（包括边界），且，则的最小值为____．

【答案】

【分析】根据题意，可知，即求的最小值.在侧面内找到满足平面且最小的点即可.

【详解】由题得，取中点H，中点G，连结，，GH，，平面，，平面，平面平面，平面，故平面，又平面，则点F在两平面交线直线GH上，那么的最小值是时，，则为最小值.

【点睛】本题考查空间向量以及平面之间的位置关系，有一定的综合性.

15．在矩形中，，，沿对角线把矩形折成二面角的平面角为时，则__________.

【答案】

【分析】画出图形，分别过两点作，，垂足为,利用勾股定理求出相应线段的长，再利用空间向量的线性关系表示求出，求出它的模．

【详解】分别过两点作，，垂足为,如下图所示：

根据勾股定理可求出：，

沿对角线把矩形折成二面角的平面角为时，

则，

.

【点睛】本题考查了利用空间向量求两点之间的距离．

四、双空题

16．在棱长为6的正方体中，M是BC的中点，点是正方形内（包括边界）的动点，且满足，则______，当三棱锥的体积取得最大值时，此时______.

【答案】     2    

【解析】建立如图所示坐标系，设点坐标为，由，利用正弦值相等求得，进一步得到点的轨迹为圆，再利用圆的方程得到取最大值时，三棱锥的体积取得最大值，从而求得的值.

【详解】建立如图所示坐标系，设点坐标为，

因为，所以，

所以，即.

因为，，

所以，

所以，

即；

点的轨迹是以为圆心，以4为半径的圆，又因为，，

若三棱锥P-BCD的体积得最大值，则三棱锥的高最大，即最大，

当时，最大值为，

所以.

故答案为： 2；.

【点睛】本题考查空间中点的轨迹问题、三棱锥体积的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法思想的运用.

五、解答题

17．已知向量=(1,-3,2),=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).

(1)求|2+|;

(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得⊥ ?(O为原点)

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据空间向量的坐标运算相应公式计算即可．

（2）假设存在点E，则+t，再根据⊥b,建立方程可求出t=．

【详解】(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),

故|2a+b|==5.

(2)+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),

若⊥b,则·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,因此存在点E,使得⊥b,此时点E的坐标为E.

【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标表示，向量的模及向量垂直等，属于中档题．

18．已知空间中三点，设，．

(1)若，且，求向量；

(2)求向量与向量的夹角的余弦值．

【答案】(1)或；

(2)

【分析】（1）根据向量的模和向量共线的坐标表示，求解即可；

（2）利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．

【详解】（1）根据题意，，

因为，则，

又，则，则，

则或；

（2）因为

，

所以．

19．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线都等于1，点分别是的中点，设为空间向量的一组基底，计算：（1）;（2）.

【答案】(1) ；（2） .

【分析】（1）先根据条件确定的模以及相互之间的夹角，再根据向量共线以及加减法表示，最后根据向量数量积求结果，（2）根据向量减法表示，再根据向量模的定义以及向量数量积求结果.

【详解】(1）    因为空间四边形的每条边和对角线都等于1，

所以 ，

因为点分别是的中点，所以，

（2）因为，所以

【点睛】本题考查向量表示以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.

20．如图，在三棱柱中，底面，，，，，点E，F分别为与AB的中点．

证明：平面；

求与平面AEF所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；(2)．

【分析】连接，利用中位线性质即可得证；

建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，再带入公式即可求解．

【详解】证明：如图，连接，在三棱柱中，E为的中点．

又因为F为AB的中点，所以；

又平面，平面，

所以：平面．

解：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，4，，0，，2，，

所以，0，，2，．

设平面AEF的法向量为y，，

则且，令，得0，．

记与平面AEF所成，则．

【点睛】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置关系，利于建立空间之间坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离以及线面的位置关系等问题，属于中档题．

21．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA．

(I)求证：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；

(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）2/3；（3）1/3

【详解】在中，，

22．如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）.

【详解】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．

由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD．

又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．

（2）在平面内作，垂足为，

由（1）可知，平面，故，可得平面.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.

由（1）及已知可得，，，.

所以，，，.

设是平面的法向量，则

即

可取.

设是平面的法向量，则

即可取.

则，

所以二面角的余弦值为.

【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：

①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；

②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；

③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.