2022-2023学年海南省琼海市嘉积中学高二上学期第二次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年海南省琼海市嘉积中学高二上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：集合，而，所以，故选C.

【解析】 集合的运算

【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.

2．在复平面内，复数对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．

【详解】在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．

故选D．

【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是

A．①③ B．①④ C．②③ D．①②

【答案】B

【详解】两个变量的散点图，

若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，

∴两个变量具有线性相关关系的图是①和④，故选B．

【解析】变量间的相关关系

4．已知等差数列中，，，则的值是（    ）

A．4 B．15 C．31 D．64

【答案】B

【分析】利用等差数列的下标和性质即可得解.

【详解】因为是等差数列，

所以，即，

故.

故选：B.

5．直线与圆交于两点，则（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【分析】利用点线距离公式与弦长公式即可得解.

【详解】因为圆可化为，所以圆心，，

因为直线：可化为，所以圆心到直线的距离为，

所以.

故选：C.

6．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.

详解：

因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.

点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.

7．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用倍角公式、两角差的正弦进行化简，即可得到答案.

【详解】，

.

故选：C.

【点睛】本题考查三角函数恒等变换求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.

8．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5,双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线平行,则实数(　　)

A． B．

C．3 D．9

【答案】A

【分析】由题可得，进而可得，即得.

【详解】由题意，

∴，

∴点，

∵双曲线的左顶点为，

∴直线的斜率为，

又双曲线的渐近线的斜率为，

由题意得，

解得．

故选：A．

二、多选题

9．下列四个结论，其中正确的为（    ）

A．方程与方程可表示同一条直线

B．直线在轴上的截距为

C．直线过点，斜率为0，则其方程为

D．过点，且与两坐标轴截距相等的直线方程仅有：

【答案】BC

【分析】根据的范围即可判断A；根据截距的定义即可判断B；根据直线的点斜式方程即可判断C，分直线过原点和不过原点两种情况讨论即可判断D.

【详解】解：对于A，因为方程中，，

而方程中，故两个方程表示不同直线，故A错误；

对于B，令，则，

所以直线在轴上的截距为，故B正确；

对于C，直线过点，斜率为0，则其方程为，故C正确；

对于D，当直线在坐标轴上的截距都为0时，

直线方程为，

当直线在坐标轴上的截距都不为0时，可设其方程为，

则，解得，

所以直线方程为，

综上，过点，且与两坐标轴截距相等的直线方程为或，故D错误.

故选：BC.

10．已知函数则下列各选项正确的是（    ）

A．的最小正周期为

B．是的一条对称轴

C．在区间上单调递减

D．向右平移个单位是一个奇函数.

【答案】AC

【分析】根据周期公式得到A正确；代入验证知B错误C正确；根据平移法则得到，不是奇函数，D错误，得到答案.

【详解】对选项A：，正确；

对选项B：当时，，错误；

对选项C：当时，，函数单调递减，正确；

对选项D：向右平移得到，不是奇函数，D错误.

故选：AC

11．设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则（    ）

A． B．离心率

C．短轴长为2，长轴长为4 D．面积的最大值为1

【答案】AD

【分析】根据题意，求出，然后利用椭圆的定义，逐个选项进行计算并判断答案.

【详解】椭圆

由题意，得，，，

则，故A正确，

因为，，，所以，，故B错误，

由已知得，长轴长为，短轴长为，故C错误，

对于D，当且仅当点在椭圆的短轴端点处有最大值，此时，，故D正确；

故选：AD

12．如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（    ）

A．直线平面 B．

C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成的角为

【答案】ABD

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可；

【详解】解：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，

，，，

所以，即，所以，故B正确；

，，，

设异面直线与所成的角为，则，又，所以，故D正确；

设平面的法向量为，则，即，取，

则，即，又直线平面，所以直线平面，故A正确；

，故C错误；

故选：ABD

【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题.

三、填空题

13．圆心在原点上与直线相切的圆的方程为　　　　　　．

【答案】x2+y2=2

【详解】试题分析：圆心到直线的距离为，圆的方程为x2＋y2＝2

【解析】直线与圆相切的位置关系

14．写出一个“公差为2且前3项之和小于第3项”的等差数列的通项公式：___________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】由得出，设得出通项公式.

【详解】前3项之和小于第3项则，设，，则.

故答案为：（答案不唯一）

15．在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，点在的延长线上，满足，当点在椭圆上运动时，点的轨迹方程为______.

【答案】

【分析】设，根据题意将点的坐标用点表示，再利用相关点法即可得解.

【详解】解：设，

因为轴，，

所以，所以，即，

又点在椭圆上，

所以，

所以点的轨迹方程为.

故答案为：.

16．已知，，动点满足．若双曲线的渐近线与动点的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是__________．

【答案】

【详解】动点的轨迹方程为，双曲线的一条渐近线为，因为它与圆是相离的，故，也就是即，所以双曲线的离心率为．

点睛：关注动点的几何意义，从而求出动点的轨迹方程．

四、解答题

17．记为等差数列的前项和，已知，．

    （1）求的通项公式；

    （2）求，并求的最小值．

【答案】（1）；（2），最小值为–16．

【分析】（1）方法一：根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果；

（2）方法二：根据等差数列前n项和公式得，根据二次函数的性质即可求出.

【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法

设等差数列的公差为，由得，，解得：，所以．

[方法二]：函数+待定系数法

设等差数列通项公式为，易得，由，即，即，解得：，所以．

（2）[方法1]：邻项变号法

由可得．当，即，解得，所以的最小值为，

所以的最小值为．

[方法2]：函数法

由题意知，即，

所以的最小值为，所以的最小值为．

【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解；

方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n项和的性质，用待定系数法解方程组求解；

（2）方法一：利用等差数列前n项和公式求，再利用邻项变号法求最值；

方法二：利用等差数列前n项和公式求，再根据二次函数性质求最值．

18．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B＝bcos A.

(Ⅰ)求角A；

(Ⅱ)若a＝，b＝2，求的面积.

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【分析】(Ⅰ)利用正弦定理的边角互化可得，进而可求解.

（Ⅱ）利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解.

【详解】（Ⅰ）因为，

所以.

∵，∴，，

因为，∴.

（Ⅱ）因为，

所以，，

∴，

∴.

19．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．

（1）求z的值

（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．从这5辆车中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用分层抽样的方法进行求解即可；

（2）分层抽样的方法求得舒适型和标准型的车辆数，然后利用古典概型的概率求解即可.

【详解】（1）由分层抽样的方法可得得：

（2）5辆车中舒适型有=2 辆 ，标准型 =3辆

设2辆舒适型编号为：a，b ，3辆标准型编号为：c，d，f

5辆车中任取2辆取法：（a,b）,（a,c）,（a,d）,（a,f）（b,c）,（b,d）（b,f）,（c,d）,（c,f）,（d,f）共有10种，

其中含有1辆舒适型有（a,c）,（a,d）,（a,f）（b,c）,（b,d）（b,f）共6种，

含有2辆舒适型有（a,b）1种，

则至少有1辆舒适型轿车为.

20．已知抛物线，点在直线上，直线绕点旋转，与交于，两点.当直线垂直于轴时，.

(1)求抛物线的方程；

(2)当点为弦的中点时，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接将代入抛物线中求出焦点的纵坐标，然后通过即可求出值，进而求出抛物线方程；

（2）直接使用点差法求解直线斜率，进而利用点斜式求解出直线方程即可.

【详解】（1）把代入，则，

∴即，

∴抛物线的方程为：.

（2）设，，则…①，…②

②-①得：，，

∴，

则直线的方程为：，即

21．（衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷）如图，在三棱柱中，侧棱底面，且，是棱的中点，点在侧棱上运动.

（1）当是棱的中点时，求证：平面；

（2）当直线与平面所成的角的正切值为时，求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）.

【详解】试题分析：（1）取线段的中点，连结．可得四边形是平行四边形，，即可证明平面；（2）以为原点，，，所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用向量法二面角的余弦值.

试题解析：(1)取线段的中点，连结.

∵,∴，且.

又为的中点，∴,且.

∴,且.∴四边形是平行四边形.

∴.

又平面平面,∴平面.

(2)∵两两垂直，∴以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图,

∵三棱柱中，平面，

∴即为直线与平面所成的角.

设，则由，得.

∴.

∴,

设平面的一个法向量为，

则

令，得，即.

又平面的一个法向量为,∴,

又二面角的平面角为钝角，∴二面角的余弦值为.

22．设椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线交椭圆于，两点，为椭圆上一点，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意可知，，再由离心率即可求得椭圆的方程；（2）根据弦长公式计算出弦的长，再计算出到直线的距离为，即可写出面积的表达式即可求得最大值.

【详解】（1）由题可知，椭圆的离心率，

由得：，，则，

故椭圆的方程为.

（2）联立方程，得，

由，得.

且

所以,弦长

又到直线的距离为，

所以

当且仅当时取等号，所以.

即面积的最大值为.