2022-2023学年黑龙江省伊春市伊美区第二中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年黑龙江省伊春市伊美区第二中学高二上学期期中考试数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省伊春市伊美区第二中学高二上学期期中考试数学试题 一、单选题1．下面的四个问题中，可以用抽样调查方法的是（    ）A．检验10件产品的质量B．银行对公司10万元存款的现钞的真假检验C．跳伞运动员检查20个伞包及伞的质量D．检验一批汽车的防碰撞性能【答案】D【分析】根据抽样与普查的概念，分析即可得答案.【详解】根据抽样与普查的概念可得，A、B、C一般采用普查方法，需逐一检验，D采用抽样调查的方法.故选：D2．从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间内的影视作品数量.【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间内的影视作品数量为.故选：D.3．电影《长津湖之水门桥》于2022年2月1日上映．某新闻机构想了解市民对《长津湖之水门桥》的评价，决定从某市3个区按人口数用分层随机抽样的方法抽取一个样本．若3个区人口数之比为2：3：5，且人口最多的一个区抽出了100人，则这个样本的容量为（    ）.A．100 B．160 C．200 D．240【答案】C【分析】根据分层抽样的抽取比例相同求解即可.【详解】解：由3个区人口数之比为2：3：5，得第三个区所抽取的人数最多，所占比例为50%．又因为此区抽取了100人，所以3个区所抽取的总人数为100÷50%=200，即这个样本的容量为200．故选： C．4．某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为，，，则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式即可求解．【详解】解：由题意，该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为，故选：D.5．如果且，那么直线不经过（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】通过直线经过的点来判断象限.【详解】由且，可得同号，异号，所以也是异号；令，得；令，得；所以直线不经过第三象限.故选：C.6．已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（    ）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】利用平均数和方差公式，即可计算.【详解】设数据，，，，的平均数是，方差是，，方差 .故选：C7．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论错误的是（    ）注：后指年及以后出生，后指年之间出生，前指年及以前出生.A．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的C．互联网行业中从事运营岗位的人数后一定比前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数后一定比后多【答案】D【解析】根据整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、后从事互联网行业岗位分布条形图，对四个选项逐一分析，即可得出正确选项.【详解】对于选项A，因为互联网行业从业人员中，“后”占比为，其中从事技术和运营岗位的人数占的比分别为和，则“后”从事技术和运营岗位的人数占总人数的.“前”和“后”中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总的占比一定超过三成，故选项A正确；对于选项B，因为互联网行业从业人员中，“后”占比为，其中从事技术岗位的人数占的比为，则“后”从事技术岗位的人数占总人数的.“前”和“后”中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过，故选项B正确；对于选项C，“后”从事运营岗位的人数占总人数的比为，大于“前”的总人数所占比，故选项C正确；选项D，“后”从事技术岗位的人数占总人数的，“后”的总人数所占比为，条件中未给出从事技术岗位的占比，故不能判断，所以选项D错误.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用扇形统计图和条形统计图解决实际问题，解本题的关键就是利用条形统计图中“后”事互联网行业岗位的占比乘以“后”所占总人数的占比，再对各选项逐一分析即可.8．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键. 二、多选题9．在第一次全市高三年级统考后，某数学老师为了解本班学生的本次数学考试情况，将全班50名学生的数学成绩绘制成频率分布直方图.已知该班级学生的数学成绩全部介于65到145之间(满分150分)，将数学成绩按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，如图所示，则下列结论正确的是（ ）A．第七组的频率为0.008B．该班级数学成绩的中位数的估计值为101C．该班级数学成绩的平均分的估计值大于95D．该班级数学成绩的方差的估计值大于26【答案】BCD【分析】由频率直方图中的数据，根据频率之和为1直接求第七组的频率，由中位数、平均数、方差的求法，判断判断各项的正误.【详解】A：设第七组的频率为，则，得，错误；B：由知：中位数在区间，若中位数为，则：，解得，正确；C：由图知：，正确；D：，正确；故选：BCD.10．已知直线和圆，则（    ）A．直线l恒过定点B．存在k使得直线l与直线垂直C．直线l与圆O相交D．若，直线l被圆O截得的弦长为4【答案】BC【分析】利用直线系方程求出直线所过定点坐标判断A、C；求出使得直线与直线垂直的值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D.【详解】解：对于A、C，由，得，令，解得，所以直线恒过定点，故A错误；因为直线恒过定点，而，即在圆内，所以直线l与圆O相交，故C正确；对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.故选：BC.11．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（    ）A． B．事件B与事件相互独立C．事件B与事件相互独立 D．，互斥【答案】AD【分析】先画出树状图，然后求得， ，的值，得A正确；利用 判断B错误，同理C错误；由，不可能同时发生得D正确.【详解】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：因此，，，A正确；又，因此，B错误；同理可以求得，C错误；，不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确，故选：AD．【点睛】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的判断及其概率，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属基础题.12．已知椭圆，若P在椭圆上，、是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（    ）A．若，则 B．面积的最大值为C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点有个【答案】ABC【分析】利用余弦定理可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用椭圆的定义可判断C选项；利用平面向量的数量积可判断D选项.【详解】在椭圆中，，，，且，对于A选项，当时，则，由余弦定理可得，因为，所以，，A对；对于B选项，当点为椭圆的短轴顶点时，点到轴的距离最大，所以，面积的最大值为，B对；对于C选项，因为，即，所以，，C对；对于D选项，当或时，为直角三角形，此时满足条件的点有个，当为直角顶点时，设点，则，，，，所以，，，此时，满足条件的点有个，综上所述，满足是直角三角形的点有个，D错.故选：ABC. 三、填空题13．一个总体中含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的可能性为________.【答案】#0.05【详解】因为是简单随机抽样，故每个个体被抽到的机会相等，所以指定的某个个体被抽到的可能性为.14．高一（11）班班主任准备安排A，B，C三位同学参与某一周的班级值日工作，其中周一周二安排一位同学，周三周四安排一位同学，周五安排一位同学，周六周日不安排，则A同学周三在值日的可能性是___________.【答案】【分析】用列举法列出A，B，C三位同学参与一周的班级值日工作根据古典概型概率计算公式可得答案.【详解】周一周二安排一位同学，周三周四安排一位同学，周五安排一位同学，周六周日不安排共有周一周二，周三周四，周五；周一周二，周三周四，周五；周一周二，周三周四，周五；周一周二，周三周四，周五；周一周二，周三周四，周五；周一周二，周三周四，周五，种方法，其中A同学在周三值日有周一周二，周三周四，周五；周一周二，周三周四，周五，种方法，则A同学周三在值日的可能性是.故答案为：.15．给出下列4个说法：①现有一批产品，次品率为0.05，则从中选取200件，必有10件是次品；②做100次抛掷一枚硬币的试验，结果有51次出现正面向上，因此，出现正面向上的概率是；③抛掷一枚骰子100次，有18次出现1点，则出现1点的频率是；④随机事件的概率一定等于这个事件发生的频率．其中正确的说法是________．(填序号)【答案】③【分析】对于①，由次品率为0.05，可知出现次品的概率是0.05，从而可对①进行判断；对于②，由题意可知出现正面向上的频率是；对于③，由频率的定义判断即可；对于④，由概率与频率的关系判断即可【详解】次品率为0.05，即出现次品的概率(可能性)是0.05，所以200件产品中可能有10件是次品，并非“必有”，故①错；在100次具体的试验中，正面向上的次数与试验的总次数之比是频率，而不是概率，故②错；③由频率的定义可知出现1点的频率是，所以③正确；由概率的定义知，概率是频率的稳定值，频率在概率附近摆动，故随机事件的概率不一定等于该事件发生的频率，故④错．故答案为：③16．已知抛物线：的焦点为，过点斜率为（）的直线与抛物线交于、两点，的中点到轴的距离为，若是直线上的一个动点，，则的最大值为________．【答案】【分析】根据题意直线的方程为，设，，，，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得，进而可得点的坐标，由的中点到轴的距离为3，得，，解得，进而可得直线的方程，设点关于直线的对称点为，求出坐标，则，当在射线与直线的交点时，取等号即可得出答案．【详解】解：设直线的方程为（），，联立，得，所以，所以，所以，因为的中点到轴的距离为3，所以，，所以，则直线的方程为，设点关于直线的对称点为，所以，且，解得，，所以点关于直线的对称点为，所以，当在射线与直线的交点时，取等号，故答案为：1． 四、解答题17．在中，已知，，.（1）求边所在的直线方程；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由直线方程的两点式可得；（2）先求直线方程，再求到的距离，最后用面积公式计算即可.【详解】（1），，边所在的直线方程为，即；（2）设到的距离为，则，，方程为：即：..18．某校1200名高三年级学生参加了一次数学测验（满分为100分），为了分析这次数学测验的成绩，从这1200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：  成绩分组频数频率[0，20）30.015[20，40）ab[40，60）250.125[60，80）c0.5[80，100]620.31 (1)求a，b，c的值；(2)如果从这1200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率.（注：60分及60分以上为及格）【答案】(1)，，(2) 【分析】（1）根据频率和为1即可得，根据频率与频数关系即可得，；（2）根据题意，求出成绩在和的频率和，即可得概率.【详解】（1）由题意可得，，（2）由统计表可得，成绩在和的频率和为所以，从这1200名学生中随机抽取一人，估计这名学生该次数学测验及格的概率19．某企业招聘，一共有名应聘者参加笔试他们的笔试成绩都在内，按照，，…，分组，得到如下频率分布直方图：(1)求图中的值；(2)求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）(3)该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取人，估计应该把录取的分数线定为多少.【答案】(1)(2)(3)65分 【分析】（1）由所有频率和为1，列方程求出的值，（2）由平均数公式求解即可，（3）设分数线定为，根据频率分布直方图可知，列出方程估计录取的分线【详解】（1）由题意得，解得（2）这些应聘者笔试成绩的平均数为（3）根据题意，录取的比例为，设分数线定为，根据频率分布直方图可知，则，解得，所以估计应该把录取的分数线定为65分20．已知抛物线C：的焦点与椭圆：的一个焦点重合．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l：交抛物线C于，两点，O为原点，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）由椭圆的焦点得出的值，进而得出抛物线C的方程；（2）联立直线和抛物线方程，利用韦达定理结合数量积公式证明即可.【详解】（1）∵椭圆：的焦点坐标为，∴，即．∴抛物线C的方程为：．（2）联立方程组消去x，整理得．∴．∴，即,∴,∴．21．某停车场临时停车按停车时长收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费3元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲､乙两人在该停车场临时停车，两人停车时长互不影响且都不超过2.5小时.(1)若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲､乙两人停车付费之和为6元的概率；(2)若甲､乙停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为，，停车1.5小时以上且不超过2.5小时的概率分别为，，求甲､乙两人临时停车付费不相同的概率.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据已知条件及列举法写出基本事件，结合古典概型的计算公式即可求解；（2）根据互斥事件及相互独立事件的概率公式，结合对立事件的概率计算公式即可求解.【详解】（1）设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，.所以甲､乙两人停车付费（a，b）的所有可能情况为：（0，0），（0，3），（0，6），（3，0），（3，3），（3，6），（6，0），（6，3），（6，6），共9种.其中事件“甲､乙两人停车付费之和为6元”包含（0，6），（3，3），（6，0），共3种情况，故甲､乙两人停车付费之和为6元的概率为.（2）设甲停车的时长不超过半小时､乙停车的时长不超过半小时分别为事件，，甲停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时､乙停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时分别为事件，，甲停车的时长为1.5小时以上且不超过2.5小时､乙停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时分别为事件，，则，，所以甲､乙两人临时停车付费相同的概率为.所以甲､乙两人临时停车付费不相同的概率为.22．已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，.（i）证明：；（ii）证明：直线AB过定点.【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用，结合三角形的面积公式，求出，即可求椭圆的方程.(2) （i）设直线的方程为，直线的方程为，由题意可知，可得是方程的两根，利用韦达定理即可证明.（ii）设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合，可得与的关系式，即可证明直线过定点.【详解】（1）解：由题知，，的面积等于，所以，解得，，所以，椭圆C的方程为.（2）（i）设直线PA的方程为，直线PB的方程为，由题知，所以，所以，同理，，所以，是方程的两根，所以.（ii）设，，设直线AB的方程为，将代入得，所以，①，②所以，③，④又因为，⑤将①②③④代入⑤，化简得，所以，所以，若，则直线，此时AB过点P，舍去.若，则直线，此时AB恒过点，所以直线AB过定点.