2022-2023学年河南省商丘市名校高二上学期期中联考数学试题（A）（解析版）

这是一份2022-2023学年河南省商丘市名校高二上学期期中联考数学试题（A）（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省商丘市名校高二上学期期中联考（A）数学试题 一、单选题1．直线的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将直线的一般式化为斜截式即可求解.【详解】由，化为斜截式得，所以直线的斜率为.故选：B.2．双曲线的焦点坐标为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据双曲线的方程确定焦点的位置和的值，进而得到双曲线的焦点坐标，得到答案.【详解】方程可化为，所以双曲线的焦点在轴上，且，，所以，所以双曲线的焦点坐标为，．故选：D．3．直线与直线的交点坐标为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】联立两直线的方程,解方程组即可求出交点坐标.【详解】联立两直线的方程，得 即交点坐标为.直线与直线的交点坐标为.故选:C4．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是(　　)A．3x－4y＋4＝0B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0C．3x－4y＋16＝0D．3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0【答案】D【详解】在直线3x－4y＋1＝0上取点(1,1)．设与直线3x－4y＋1＝0平行的直线方程为3x－4y＋m＝0，则，解得m＝16或m＝－14，即所求直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.选D5．已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】判断出圆心的轨迹，从而求得圆心到原点的距离的最小值.【详解】依题意，半径为2的圆经过点，所以圆心的轨迹是以为圆心，半径为的圆，所以圆心到原点的距离的最小值为.故选：B6．已知圆的直径为4，则（    ）A． B． C．圆心为 D．圆心为【答案】D【分析】将圆转化成标准方程，由直径求出，判断选项即可求解.【详解】根据题意，圆，即，其圆心为，其半径为，若其直径为4，则，解可得，故选：D．7．直线l过点与圆C：交于两点且，则直线l的方程为（    ）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，考虑直线的斜率是否存在，分类讨论，结合弦长和点到直线的距离公式，即可求得答案.【详解】将圆C：的方程化为 ，则圆心C的坐标为，半径为2.当直线l的斜率不存在时，即直线l的方程为时，代入圆的方程得 ，解得 ，此时，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ，由，得圆心C到直线l的距离为 ，故，解得，故此时直线的方程为 ，即，综上可得，直线l的方程为 或，故选：D.8．若圆与圆有且仅有一条公切线，则（    ）A．16 B．25 C．36 D．16或36【答案】C【分析】将圆化成标准方程，求出圆心和半径，由题可判断两圆内切，结合圆心距等于半径差可求.【详解】根据题意，圆，即，其圆心为，半径为1，圆，圆心为，半径为，两圆的圆心距，若两圆有且仅有一条公切线，则两圆内切，则有，又由，解可得，故选：C．9．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点（不妨设为椭圆右焦点）的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，则下列结论不正确的是（    ）A．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁B．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小C．卫星向径的取值范围是D．卫星在右半椭圆弧的运行时间大于其在左半椭圆弧的运行时间【答案】D【分析】根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案【详解】卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则e越大，椭圆轨道越扁，故A正确；因为运行速度是变化的，速度的变化服从卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，故B正确；由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，故C正确；当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，速度更慢，所以运行时间大于在右半椭圆弧的运行时间，故D不正确，故选：D．10．设椭圆的左、右焦点分别为，点M，N在C上（M位于第-象限），且点M，N关于原点O对称，若，则C的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】易判断四边形是矩形，设，由勾股定理得，求得结合椭圆第一定义得与关系，进而得解.【详解】∵四边形是平行四边形，又， ∴四边形是矩形，∴，设，∴，∴，∴，∴．故选：B11．已知分别为双曲线的左，右顶点，点P为双曲线C上异于的任意一点，记直线，直线的斜率分别为．若，则双曲线的离心率为（    ）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】设，由斜率定义求出，得，结合化简，得的齐次式，进而求得.【详解】依题意，设，则，∴，又，∴，故，即．故选：C．12．已知抛物线的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论不正确的是（    ）A． B．F为的中点C． D．【答案】D【分析】设出直线的方程，并与抛物线方程联立，求得两点的坐标，根据求得，求得点的坐标，从而确定正确选项.【详解】依题意，设直线的方程为，由消去并化简得，解得，所以，所以，A选项正确.直线的方程为，令，则，故，由于，，所以是的中点，B选项正确，，，，C选项正确，D选项错误.故选：D 二、填空题13．直线l的一个方向向量为，则它的倾斜角为______．【答案】##【分析】根据直线的方向向量可求出直线的斜率，进而根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】解：设直线l的倾斜角为，因为直线l的一个方向向量为，所以直线l的斜率，又因为，所以．故答案为：.14．已知直线l：x＋y＝0与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为_______．【答案】【分析】双曲线的一条渐近线方程为，由直线与双曲线无公共点，得，进而可得答案．【详解】双曲线的一条渐近线方程为，因为直线与双曲线无公共点，所以，即，所以，又，所以离心率的取值范围为，故答案为：15．已知圆，圆，M、N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，当P点横坐标为时取得最小值，则此时______________．【答案】【分析】分别求出圆心半径，求出点关于x轴的对称点为，则，则，由两点距离公式求出，同时求出方程，进而得到，得解.【详解】的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4．如图所示，设点关于x轴的对称点为，则．，而，所以的方程为：，即，所以，此时．故答案为：16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上一点，满足 (O为坐标原点)．若，则椭圆的离心率为______．【答案】## 【分析】由可得，再结合椭圆的性质可得为直角三角形，由题意设，则，由勾股定理可得，再结合椭圆的定义可求出离心率【详解】因为，所以，所以，因为，所以，所以为直角三角形，即，所以设，则，所以，得，因为则，所以，所以，即离心率为，故答案为： 三、解答题17．在平面直角坐标系中，.(1)若三点共线，求的值；(2)若，求外接圆圆心坐标.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由求出的值；（2）求出线段，的垂直平分线方程，再求它们的交点，即为圆心坐标.【详解】（1）三点共线，则即，所以（2），即，则线段垂直平分线方程为，中点为，线段垂直平分线方程为即，两条中垂线交点坐标为，所以外接圆圆心坐标为18．已知抛物线的焦点为.（1）求.（2）斜率为1的直线过点，且与抛物线交于两点，求线段的长.【答案】（1）4；（2）16.【解析】（1）由题可得，即可求出；（2）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式可求出.【详解】（1），则由抛物线性质得，∴，∴，即的标准方程是.（2）由题意得，抛物线的焦点为，∴的方程为，，，，，，∴.综上所述，线段的长度为16.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.19．已知双曲线的方程为：，直线.（1）求双曲线的渐近线方程、离心率；（2）若直线与双曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围.【答案】⑴，；⑵.【分析】（1）由双曲线方程求得，利用渐近线与离心率公式可得结果；⑵设直线方程为，与双曲线方程联立，利用判别式大于零列不等式可得结果.【详解】⑴由得，∴双曲线的渐近线方程为和 ，∴，∴双曲线的离心率为⑵把代入双曲线得由得解得.【点睛】本题主要考查双曲线的方程，渐近线、离心率，以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．20．已知点，点B为直线上的动点，过B作直线的垂线，线段AB的中垂线与交于点P．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)若过点的直线l与曲线C交于M，N两点，求面积的最小值．（O为坐标原点）【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知可得，根据抛物线的定义可知点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，即可得到轨迹方程；（2）设直线方程为，，，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，则，代入韦达定理，即可求出面积最小值；【详解】（1）解：由已知可得，，即点到定点的距离等于到直线的距离，故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以点的轨迹方程为． （2）解：当直线的倾斜角为时，与曲线只有一个交点，不符合题意；当直线的倾斜角不为时，设直线方程为，，，，，由，可得，，所以，，，，所以当且仅当时取等号，即面积的最小值为；21．已知圆M的圆心在直线上，且圆心在第一象限，半径为3，圆M被直线截得的弦长为4.(1)求圆M的方程；(2)设P是直线上的动点，证明：以MP为直径的圆必过定点，并求所有定点的坐标.【答案】(1)；(2)证明见解析，定点和. 【分析】(1)根据给定条件设出圆心坐标，再结合点到直线距离公式计算作答.(2)设点，求出圆的方程，结合方程求出其定点.【详解】（1）因圆M的圆心在直线上，且圆心在第一象限，设圆心，且，圆心到直线的距离为，又由解得，从而，而，解得，所以圆M的方程为.（2）由(1)知：，设点，，设动圆上任意一点当与点P，M都不重合时，，有，当与点P，M之一重合时，对应为零向量，也成立，，，，化简得：，由，解得或，所以以MP为直径的圆必过定点和.【点睛】方法点睛：待定系数法求圆的方程，由题设条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．22．如图，椭圆经过点，且长轴长是短轴长的倍．(1)求椭圆的方程；(2)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、（均异于点），求证：直线与的斜率之和为定值．【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）根据已知条件求出、的值，即可得出椭圆的方程；（2）分析可知，写出直线的方程，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求出的值，即可证得结论成立.【详解】（1）解：将点的坐标代入椭圆的方程，可得，由已知可得，因此，椭圆的方程为.（2）证明：设点、，直线的方程为，即，由已知可得，联立，消去可得，，可得，由韦达定理可得，，.因此，直线与的斜率之和为定值.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.