2022-2023学年河北省沧州市任丘市第一中学高二上学期第一次阶段考数学试题（解析版）

2022-2023学年河北省沧州市任丘市第一中学高二上学期第一次阶段考数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出直线的斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，结合倾斜角的范围即可求解.

【详解】由可得，

所以直线的斜率为，

设直线的倾斜角为，则，

因为，所以，

故选：D.

2．过点，，且圆心在上的圆的方程是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先根据圆心在，设圆心坐标为,再根据即可计算出圆的标准方程.

【详解】由圆心在，设圆心坐标为,

因为点，在圆上

所以

所以圆心为，半径为.

因此圆的方程是

故选C．

3．直线：，：，则“”是“”的（    ）条件

A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】B

【分析】先求出两直线垂直时a的值，进而可判断充分必要条件．

【详解】直线：，：，

当时,有，解得或.

所以“”时“”成立，“”时“”不一定成立，

则“”是“”的充分不必要条件.

故选：B

4．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，＝，，，则下列向量中与相等的向量是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据空间向量的线性运算用表示出即可得．

【详解】)-()＝．

故选：C．

5．两平行直线：，：之间的距离为（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】A

【分析】利用两平行直线之间的距离公式求解即可．

【详解】由题意得：

直线，，

，，两直线为平行直线，

直线，

两平行直线之间的距离为．

故选：A

6．已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用斜率的几何意义求出取值范围.

【详解】∵圆的方程为，

过点作圆的切线方程，设切线方程为，即.

则，解得：.

则的取值范围为.

故选：C.

7．已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ）

A．

B．或

C．或

D．或

【答案】B

【分析】根据斜率的公式结合的范围求解出倾斜角的正切值取值范围，由此确定出倾斜角的取值范围.

【详解】根据题意，直线的斜率，

由，得的取值范围为，

即的取值范围为．

又，则或．

故选：B．

8．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】把两圆的方程作差即可得出公共弦所在直线方程，再利用直线系方程求出x,y的值，即a,b的值，然后代入直线方程，由重要不等式求的取值范围．

【详解】由圆，圆，

两式相减，得圆与圆的公共弦所在直线方程为：，

联立，解得，即，，

又在直线上，

，即．

有，得．当且仅当时取等，

的取值范围是.

故选：C．

二、多选题

9．设，，是空间一个基底，下列选项中正确的是（    ）

A．若，，则；

B．则，，两两共面，但，，不可能共面；

C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使；

D．则，，一定能构成空间的一个基底

【答案】BC

【分析】所成角不一定为，A错误，，，共面不能构成空间的一个基底，B正确，根据空间向量基本定理得到C正确，，，向量共面，D错误

【详解】，，则所成角不一定为，A错误；

若，，共面，则不能构成空间的一个基底，B正确；

根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组，使，C正确；

，故，，向量共面，不能构成空间的基底向量，D错误.

故选：BC

10．下列说法正确的是（    ）

A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示

B．方程表示的直线斜率一定存在

C．经过点，倾斜角为的直线方程为

D．经过两点的直线方程为

【答案】BD

【分析】根据直线方程、倾斜角、斜率等知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.

【详解】A选项中直线在两坐标轴上的截距相等，但不能用表示，所以A选项错误；

B选项，方程表示的直线斜率为，所以B选项正确.

C选项中若则直线斜率不存在，直线不能用点斜式表示，故C错.

D选项，结合直线方程两点式可知，D选项正确.

故选：BD

11．直线与曲线恰有两个交点，则实数m的值可能是（    ）

A． B． C．4 D．5

【答案】BC

【分析】由曲线表示圆在轴的上半部分，利用直线与圆相切求出的值，结合图形即可得答案.

【详解】解：曲线表示圆在轴的上半部分，

当直线与圆相切时，，解得，

当点在直线上时，，

所以由图可知实数m的取值范围为，

故选：BC.

12．已知曲线C的方程为，圆，则（    ）

A．C表示一条直线

B．当时，C与圆M有3个公共点

C．当时，存在圆N，使得圆N与圆M相切，且圆N与C有4个公共点

D．当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是

【答案】BC

【分析】对于A，由，得，则表示两条直线；对于B，C，利用点到直线的距离公式进行判断；对于D，举反例判断即可

【详解】由，得，即，

则表示两条直线，其方程分别为与，所以A错误；

因为到直线的距离，所以当时，直线与圆相切，易知直线与圆相交，与圆有3个公共点，所以B正确；

当时，存在圆，使得圆内切于圆，且圆与这两条直线都相交，即与有4个公共点与圆的公共点的个数的最大值为4，所以C正确；

当时，圆与直线、 交于一点，所以公共点的个数为3，所以D错误，

故选：BC

【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是对方程得，即，从而可得曲线表示的是直线与，从而进行分析即可，考查计算能力，属于中档题

三、填空题

13．若圆与圆（）相内切，则_________．

【答案】1

【分析】由两圆相内切知圆心距等于半径差的绝对值，列方程求解即可.

【详解】解：圆的圆心为，半径为2；

圆的圆心为，半径为1．

所以两圆圆心间的距离为，

由两圆相内切得，解得：．

由于，所以.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系，属于基础题.

14．已知，，直线与直线平行，则的最小值是______.

【答案】9

【分析】由两直线平行，求得，再利用基本不等式求的最小值

【详解】直线与直线平行，有，即，

，

当，即时，等号成立，

所以的最小值为9.

故答案为：9

15．已知平面内点一定点，点M、N分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值为______．

【答案】##

【分析】利用对称性，作点关于轴的对称点，，

利用数形结合求的的最小值.

【详解】作出点关于轴的对称点,则,

最小值即为到直线的距离,

所以的最小值为.

故答案为：.

四、双空题

16．已知直角坐标系中，动点满足，则动点的轨迹方程为______；的坐标为，的中点轨迹方程是______.

【答案】         

【分析】空1：设出P点坐标，由可得关于x,y的等式，整理得答案；空2：设出M点坐标，由为的中点，得到P点坐标，代入点P的轨迹方程得答案.

【详解】空1：设，由，得，

两边平方并整理得：.

∴点P的轨迹方程是.

空2：设，由为的中点，则有，可得，

代入点P的轨迹方程，得，整理得，

即轨迹方程是.

故答案为：；

五、解答题

17．已知直线经过直线与直线的交点.

（1）若直线垂直于，求直线的方程；

（2）若直线与经过两点，的直线平行，求直线的方程.

【答案】(1)；(2).

【详解】试题分析:（1）易得点的坐标为，利用垂直关系得到斜率即可求出直线的方程；（2）利用平行关系得到斜率即可求出直线的方程.

试题解析：

由，解得

∴点的坐标为.

（1）∵直线的斜率为，

∴与该直线垂直的直线的斜率为，

∴直线的方程为，即.

（2）直线的斜率为，

∵直线与直线平行，

∴，

∴直线的方程为，即.

18．已知圆：，圆：.

(1)证明：圆与圆相交；

(2)若圆与圆相交于A，B两点，求.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）写出两圆的标准方程，进而确定圆心坐标、半径，判断圆心距离与两圆半径之间的关系即可证结论.

（2）根据（1）的结论，将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系求即可.

【详解】（1）圆的标准方程为，圆心为，半径为2，

圆的标准方程为，圆心为，半径为，

∴圆和圆的圆心之间的距离为，

由，可知：圆和圆相交，得证.

（2）由（1）结论，将圆与圆作差，得：直线AB的方程为，

圆的圆心到直线AB的距离为，

∴.

19．如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）在菱形中证明，再由已知的线面垂直得线线垂直，从而可证得线面垂直．

（2）以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．

【详解】（1）证明：连

∵底面为菱形，∴

∵，，∴

∵平面，平面，∴

∵，，，平面，

∴平面

（2）由（1）知，又由，

可得，可得、、两两垂直

令，可得，，

以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系

可得点的坐标为，点的坐标为，

点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为

，，

由（1）可知为平面的法向量

设平面的法向量为，

有，取，，

可得

由，，，

有

故平面与平面所成二面角的正弦值为.

【点睛】方法点睛：本题考查用空间向量法求二面角．求二面角的方法：

（1）几何法，通过作证算三个步骤求解，即作出二面角的平面角，并证明，然后计算出这个角．

（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，用空间向量法求角，即求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补得解．

20．已知圆：.

（1）求过点且与圆相切的直线的方程；

（2）已知点，，是圆上的动点，求面积的最大值.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）将圆化为标准式，求出圆心与半径，讨论直线的斜率存在或不存在，当不存在时，设出点斜式，利用点到直线的距离等于半径即可求解.

（2）将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值即可求解.

【详解】（1）当直线的斜率不存在时：，此时圆心到直线的距离等于半径，满足题意，

当直线的斜率存在时，设直线方程为：，圆：，

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，

即，∴

所以直线方程为：.

（2）∵，，

∴，直线的方程为：，

圆心到直线AB的距离为：，

所以点P到直线AB的距离的最大值为，

所以.

21．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面，二面角的大小为60°.

（1）求证：平面；

（2）已知，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，G为线段AB的中点.

【分析】（1）由二面角定义知，进而得到，再利用线面平行的判定定理证得结论；

（2）设，取的中点，以为坐标原点，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，再利用空间向量求得线面角即可得到结果.

【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面

，，

为二面角的平面角，，

又，.

又平面，平面，

所以平面.

（2）存在点G为线段AB的中点.

设，取的中点，以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

则，，，

设，得，所以，

设平面的法向量为，则，即，

不妨令，可得为平面的一个法向量，

设直线与平面所成的角为，

则，解得，

所以当G为线段AB的中点时，直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】方法点睛：本题考查线面平行，及线面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：

设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则

①两直线所成的角为(),；

②直线与平面所成的角为(),；

③二面角的大小为(),

22．已知圆过点，且与直线相切于点．

(1)求圆的方程；

(2)过点的直线与圆交于两点，若为直角三角形，求直线的方程；

(3)在直线上是否存在一点，过点向圆引两切线，切点为，使为正三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)或

(3)存在点或，使为正三角形

【分析】（1）设圆心为，根据圆心和切点连线与切线垂直、圆心到圆上两点的距离相等可构造方程组求得圆心坐标，进而得到半径，由此可得圆的方程；

（2）由等腰直角三角形性质可知圆心到直线的距离；分别在直线斜率不存在和存在的情况下，根据构造方程求得结果；

（3）由等边三角形性质可知，设，利用两点间距离公式可构造方程求得，进而得到点坐标.

【详解】（1）设圆心坐标为，则，解得：，

圆的半径，

圆的方程为：.

（2）为直角三角形，，，

则圆心到直线的距离；

当直线斜率不存在，即时，满足圆心到直线的距离；

当直线斜率存在时，可设，即，

，解得：，

，即；

综上所述：直线的方程为或.

（3）假设在直线存在点，使为正三角形，，，

设，，解得：或，

存在点或，使为正三角形.