2022-2023学年湖南省益阳市高二上学期12月大联考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省益阳市高二上学期12月大联考数学试题

一、单选题

1．已知两点，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据两点间距离公式，直接求解.

【详解】.

故选：D．

2．若直线与垂直，则的值为（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用两条直线垂直的条件列式求解作答.

【详解】直线与的斜率分别为，，依题意，，解得，

所以的值为或.

故选：C

3．已知i为虚数单位，则复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数乘法的运算性质进行求解即可

【详解】，

故选：C

4．设等比数列的前项和为，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】运用基本量法解，，需要分类讨论公比是否为1.

【详解】当时，，不成立；

当时，，即，解得，

故选：A．

5．已知正方形，以，两点为焦点的椭圆恰好过正方形四边的中点，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可设正方形的边长为，从而根据椭圆定义以及勾股定理可得离心率.

【详解】以正方形的中心为原点，以为轴建立坐标系，如图所示：

设正方形的边长为，则，，，，

椭圆中，，

故离心率，

故选：C．

6．南宋数学家在详解九章算法和算法通变本末中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列，其前项分别为，，，，，，，则该数列的第项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由条件判断该高阶等差数列为逐项差数之差成等差数列，进而得到，再利用累加法求得，进而可求得．

【详解】设该数列为，则由，，，，

可知该数列逐项差数之差成等差数列，首项为，公差为，故，

故，则，，，，，

上式相加，得，

即，故

故选：C．

7．已知实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】不等式恒成立，即，由利用基本不等式，求的最大值.

【详解】，，

，当且仅当时等号成立，

，，

，，，

当，时，，

，．

故选：B

8．在平面直角坐标系中，已知圆，，动点在直线上，过点分别作圆，的切线，切点分别为，，若存在点满足，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别求出两圆圆心和半径，利用，可求点轨迹方程为圆，又在直线上，结合圆心到直线的距离小于等于半径可求的取值范围.

【详解】由题意，，，，设，若，，则，

，，即，

圆心坐标为，半径为，

动点在直线上，存在点满足，

直线与圆有交点，

圆心到直线的距离，，

即实数的取值范围是.

故选：C．

二、多选题

9．下列各式中，值为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据诱导公式可判断A；由二倍角的正弦公式可计算B；由二倍角的余弦公式可判断C；由诱导公式可计算D.

【详解】对于A：，所以A正确

对于B：，所以B正确

对于C：，所以C不正确

对于D：，所以D正确，

故选：ABD.

10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，点在双曲线上（异于左右顶点），则下列结论正确的是（    ）

A．该双曲线的离心率为

B．若，则的面积为

C．点到两渐近线的距离乘积为

D．直线和直线的斜率乘积为

【答案】ACD

【分析】根据离心率的公式即可判断A,根据三角形面积公式即可判断B,设出点的坐标，根据点到直线的距离公式以及斜率公式即可判断CD.

【详解】由双曲线方程得，，离心率为，A正确

若，不妨设，将其代入双曲线方程得，所以，，，B错误

设，则，，渐近线方程为，

点到两渐近线的距离乘积为，C正确

，，，D正确

故选:ACD．

11．在矩形中，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列各选项正确的是（    ）

A．四面体外接球的表面积为

B．点B与点D之间的距离为

C．四面体的体积为

D．异面直线与所成的角为

【答案】ACD

【分析】求出，即可判定 A正确；分别作，垂足为E，F，利用向量法求出，即可判定B错误；证明平面，求出，故C正确；利用向量法求出，所以异面直线与所成的角为，故D正确，

【详解】解：如图，因为和都是以为斜边的直角三角形，则为四面体外接球的直径．

因为，则，

所以四面体外接球的表面积为，故A正确；

分别作，垂足为E，F，则．

由已知可得，．因为，则

，所以，故B错误；

因为，

则．同理．又，平面，

则平面，所以，故C正确；

由已知可得，，，

则，则，得，

所以异面直线与所成的角为，故D正确，

故选：ACD．

12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：，，，，，，.该数列的特点如下：前两个数均为，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论中正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BC

【分析】写出的前几项，通过观察可得数列的周期，进而结合数列的性质以及的定义，可判断A、B项；因为，可推得，逐项代入即可得到C项；由，可得，逐项代入即可得到

，从而得到D项错误.

【详解】因为，，，，，，根据数列的性质以及的定义可得，，，，，，.同理可推得，当时，有，，，，，，所以是以为周期的周期数列，所以，所以A项错误；

由周期性可知，，，故B正确；

因为，可推得，逐项代入，可得

，所以C正确；

因为

，所以D错误

故选：BC．

三、填空题

13．圆和圆公切线的条数为__________．

【答案】

【分析】判断两圆的位置关系即可确定公切线条数.

【详解】圆，，

，因此两圆外离，

则有条公切线．

故答案为：4.

14．点关于直线的对称点的坐标为__________．

【答案】

【分析】设点为，根据条件可得以及，解出即可得到.

【详解】设点关于直线对称的点为.

因为直线的斜率为，

由对称关系，两点连线与直线垂直，所以，

又因为两点连线段的中点在直线上，

代入得，

两式联立，即可解得，所以对称点为．

故答案为：．

15．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示.若此正八面体的内切球的半径为，则该正八面体的表面积为___________.

【答案】

【分析】先由正八面体的结构特征求出内切球半径，求出，即可求出正八面体的表面积.

【详解】如图，连接，相交于，连接.取的中点，连接，.

设，可得，

所以.

由，可得，.

又,所以平面.

过点作，可得平面.

由正八面体的结构特征可得的长为内切球半径.

又由，，有，可得，解得，该正八面体的表面积为.

故答案为：.

四、双空题

16．抛物线的焦点为，点，过的直线交抛物线于，两点.设直线，与抛物线的另一个交点分别为，.

（1）当直线垂直于轴时，__________；

（2）记直线，的斜率分别为，，则的值为__________.

【答案】     3     2

【分析】（1）利用抛物线的定义进行求解即可；

（2）利用直线斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.

【详解】空一：直线垂直于轴时，，

空二：设，，，，直线，

由可得，，

由斜率公式可得，，

直线，代入抛物线方程可得，

，所以，同理可得，

所以，即，则．

故答案为：3；2

【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.

五、解答题

17．在锐角中，内角、、所对的边分别为，，，，，向量，的夹角为．

(1)求角；

(2)若，求周长的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积的定义及坐标表示列式求解作答.

（2）由（1）的结论结合正弦定理边化角，利用三角恒等变换及三角函数性质求解作答.

【详解】（1）因，，则，

而，且向量，的夹角为，则，

因此，在锐角中，，则，解得，

所以.

（2）由（1）知，又，由正弦定理得：，

则，，而，由锐角得，，即有，

显然有，于是得，有，，

所以周长的取值范围为.

18．在平面直角坐标系中，已知圆，直线的方程为，点．

(1)若与圆相切，求的值；

(2)若过点的直线截得圆的弦长，求的斜率的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】(1)根据题意，圆与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解；

(2)根据题意得到圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式即可求解.

【详解】（1）由题意知，圆，即圆心，半径为，

圆心到直线的距离，

解得或；

（2）若直线斜率不存在，即的方程为，此时直线与圆相切，不满足题意，舍去，

若直线斜率存在，设其为，则直线的方程为，即，

设圆心到直线的距离为，有，

因为，所以，

即，解得，

故的斜率的取值范围为

19．已知各项为正数的数列的前项和为，若.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，且数列的前项和为，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用公式，时，，代入化简得到数列的递推公式，即可求解通项公式；

（2）由（1）的结果，利用裂项相消法求和，再结合数列的单调性证明不等式.

【详解】（1）当时，，解得；

当时，由，得，

两式相减可得，，又，

，即是首项为，公差为的等差数列，

因此，的通项公式为；

（2）证明：由可知，所以，

，

因为恒成立，所以，

又因为，所以单调递增，所以，

综上可得．

20．在四棱锥中,底面为正方形,平面平面,,,是的中点,点是线段上靠近点的一个三等分点,

(1)证明：;

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)根据勾股定理证明,根据题意可得,从而证明DE平面,因为,所以平面,得到,再根据已知得到,证明平面即可得证.

(2)分别以,,为轴建立空间直角坐标系,计算得到平面的法向量和平面的法向量即可得到结果.

【详解】（1）,,

,

,

又,,平面,平面,

DE平面,

,

平面,

平面,

,

是中点,,

,

又,平面,平面,

平面,

平面,

（2）平面平面,平面平面,,

平面,

平面,

,

如图所示,分别以,,为轴建立空间直角坐标系,

则,,,,,

设平面的法向量为,,

则即,

取,则，

取平面的法向量为,

二面角的平面角为锐角,设大小为,

则,

即二面角的余弦值为.

21．读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图.

(1)由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和75%分位数；

(2)由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数；

(3)从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率.

（注：以各组的区间中点值代表该组的各个值）

【答案】(1)75%分位数是，众数是3

(2)3.6

(3)

【分析】(1)根据频率分布直方图，结合众数、百分位数的求法计算即可；

(2)根据频数分布表直接求出男生一周课外阅读时间平均数，根据频率分布直方图，结合平均数的求法求出女生一周课外阅读时间的平均数，即可求出总样本的平均数；

(3)根据频数分布表与频率分布直方图求出一周课外阅读时间为的男生与女生人数，结合古典概型的概率公式计算即可.

【详解】（1）由女生一周阅读时间的频率分布直方图知，阅读时间的众数是3，

设女生一周阅读时间的75%分位数为，，

解得；

（2）由频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数

由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数

所以估计总样本的平均数

（3）由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有3人，

女生有（人）

若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为，

女生有5人，记为，，，，，

则样本空间，

共有15个样本点.

记事件“恰好一男一女”，则

故所求概率.

22．已知椭圆的右焦点与上下顶点构成一个等腰直角三角形，且直线与椭圆仅有一个公共点．

(1)求椭圆的方程；

(2)斜率不为的直线过点，与椭圆交于，两点，弦的中点为，为坐标原点，直线与椭圆交于点，，求四边形面积的最小值．

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）由题意得，联立直线与椭圆方程得到一元二次方程，根据即可求得结果；

（2）若直线的斜率不存在，可求得；若直线的斜率存在，设，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式求得，利用点差法求斜率并求其方程，与椭圆方程联立，可得M，N两点的坐标，再利用点到直线的距离公式求得到直线的距离之和，进一步求四边形的面积及最值即可．

【详解】（1）由题知，，，即椭圆方程为

联立消去得

由，解得，

则椭圆的方程为．

（2）由（1）知

若直线的斜率不存在，其方程为，可得坐标为，

弦的中点的坐标，可得坐标为，，则

若直线的斜率存在，设，

由得

设，，可知，

则

由在椭圆上得两式相减得

整理得，则

则直线的方程为

由解得或

即的坐标为，

点到直线的距离之和为

显然和在直线的异侧，故和异号

则四边形面积

由恒成立，得

综上，四边形面积的最小值为．