2022-2023学年湖南省邵阳市邵东市第四中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖南省邵阳市邵东市第四中学高二上学期期中数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省邵阳市邵东市第四中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．直线的倾斜角为（    ）A．30° B．45° C．120° D．150°【答案】A【分析】将直线的一般式改写成斜截式，再由斜率公式可求得结果.【详解】∵ ∴ ∴ 又∵ ∴故选：A.2．已知向量，，若与互相垂直，则的值为（    ）A．－1 B．2 C． D．1【答案】B【分析】根据与互相垂直，可得，再根据数量积的坐标运算即可得解.【详解】解：因为与互相垂直，所以，即，解得.故选：B.3．已知向量，分别为平面的法向量，则平面与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据两平面夹角的向量求法可直接求得结果.【详解】，又平面与平面的夹角的取值范围为，平面与的夹角为.故选：C.4．若圆与圆恰有2条公切线，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由两圆相交可得参数范围．【详解】因为圆与圆恰有2条公切线，所以解得故选：B．5．在平行六面体中，设，，，M，P分别是，的中点，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据空间向量的基底表示以及线性运算表示向量.【详解】由题意，，分别是，的中点，如图，所以.故选：C6．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 (　　)A． B．C． D．【答案】B【详解】试题分析：不妨设直线，即椭圆中心到的距离，故选B.【解析】1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线，即椭圆中心到的距离，利用方程思想和数形结合思想建立方程是本题的关键节点. 7．椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一点，若，那么的面积为A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，设有本题选择D选项.点睛：椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．8．已知椭圆与轴交于点A，B，把线段AB分成6等份，过每个分点做的垂线交椭圆的上半部分于点，，，，，是椭圆C的右焦点，则（    ）A．20 B． C．36 D．30【答案】D【分析】由题意知与，与分别关于y轴对称，设椭圆的左焦点为，从而，，利用即可求解．【详解】由题意，知与，与分别关于y轴对称设椭圆的左焦点为，由已知a=6,则，同时∴故选：D． 二、多选题9．下列说法正确的是（    ）A．直线在y轴上的截距为－2B．经过定点A（0，2）的直线都可以用方程y=kx+2表示C．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1D．直线的倾斜角θ的取值范围是【答案】AD【分析】根据直线的截距、直线方程、平行直线、倾斜角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，直线的纵截距为，所以A选项正确.B选项，过且倾斜角为的直线不能用方程表示，B选项错误.C选项，由于直线与直线平行，所以，解得，直线即，直线与直线的距离为，C选项错误.D选项，直线的斜率为.所以倾斜角θ的取值范围是，D选项正确.故选：AD10．对于任意非零向量，，以下说法错误的有（    ）A．已知向量，，若，则为钝角B．若，则C．若空间四个点，则三点共线D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线【答案】ABD【分析】利用特例判断A、B，根据空间向量线性运算法求出，即可判断C，根据空间向量数量积的坐标运算判断D；【详解】解：对于A：当时，，，即，可得、共线反向，故A错误；对于B：当、时，成立，而不成立，故B错误；对于C：根据题意可得，即有，则、、三点共线，故C正确；对于D：，，所以或，故D错误；故选：ABD.11．若圆：与圆：的交点为，，则（    ）A．公共弦所在直线方程为B．线段中垂线方程为C．公共弦的长为D．在过，两点的所有圆中，面积最小的圆是圆【答案】AD【解析】根据题意，依次分析选项：对于，联立两个圆的方程，分析可得公共弦所在直线方程，可判断，对于，有两个圆的方程求出两圆的圆心坐标，分析可得直线的方程，即可得线段中垂线方程，可判断，对于，分析圆的圆心和半径，分析可得圆心在公共弦上，即可得公共弦的长为圆的直径，可判断，对于，由于圆心在公共弦上，在过，两点的所有圆中，即可判断．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于，圆与圆，联立两个圆的方程可得，即公共弦所在直线方程为，正确，对于，圆，其圆心为，，圆，其圆心为，直线的方程为，即线段中垂线方程，错误，对于，圆，即，其圆心为，，半径，圆心，在公共弦上，则公共弦的长为，错误，对于，圆心，在公共弦上，在过，两点的所有圆中，面积最小的圆是圆，正确，故选：．12．如图，在棱长为的正方体中，下列结论成立的是（    ）A．若点是平面的中心，则点到直线的距离为B．二面角的正切值为C．直线与平面所成的角为D．若是平面的中心，点是平面的中心，则面【答案】ABD【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用点到直线距离、二面角、线面角的向量求法可判断ABC正误；根据可证得D正确.【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，对于A，，，，，点到直线的距离，A正确；对于B，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；轴平面，平面的一个法向量，，，，由图形可知：二面角为锐二面角，二面角的正切值为，B正确；对于C，平面，平面，，又，，平面，平面，平面的一个法向量为，又，，即直线与平面所成的角为，C错误；对于D，平面的法向量，，，即，面，D正确.故选：ABD. 三、填空题13．已知空间向量，则___________.【答案】【分析】由空间向量的减法法则求得向量的坐标，然后由模的定义计算．【详解】因为，所以.故答案为：．14．无论为何值，直线必过定点坐标为__【答案】【分析】把直线方程变形可得，联立方程组，即可求解.【详解】根据题意，直线，即，变形可得，联立方程组，解得，即直线必过定点.故答案为：.15．已知为圆上任意一点，则的最大值是______.【答案】【解析】由题意，表示圆上的点与圆外的点连线的斜率.当过点的直线与圆相切时，取最值，即得最大值.【详解】把圆化为标准式，圆心，半径.则表示圆上的点与圆外的点连线的斜率.设过点的直线方程为，即.当直线与圆相切时，斜率取最值.由，解得或.的最大值是.故答案为：.【点睛】本题考查斜率的几何意义，考查直线与圆的位置关系，属于中档题.16．已知F是椭圆E：的左焦点，经过原点O的直线与椭圆E交于P，Q两点，若且，则椭圆E的离心率为______．【答案】【分析】取椭圆的右焦点，由直线过原点及椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，由及椭圆的性质可得，，余弦定理可得离心率的值.【详解】取椭圆的右焦点，连接，，由椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形，则，，，而，所以，所以，在中，，整理，得，即，由解得.故答案为：. 四、解答题17．已知，，，.(1)求实数的值；(2)若，求实数的值.【答案】(1)2(2) 【分析】（1）向量坐标化，根据向量平行的坐标表示得到使得，列式得结果即可；（2）向量坐标化，根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.【详解】（1），， 使得列式得到（2）若， 由向量垂直的坐标表示得到：解得.18．已知直线;直线.(1)若，求实数的值;(2)若，且它们之间的距离为，求直线的斜截式方程.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）由，得到，即可求解；（2）由，求得，再结合两平行线间的距离公式，求得的值即可求解.【详解】（1）由题意，直线，，因为，可得，解得.（2）由直线，，因为，可得，可得，此时直线，又由间的距离为，根据两平行线间的距离公式，可得，解得或.所以直线的斜截式方程为或.19．已知△ABC的内A、B、C所对的边分别是、、，若.（1）求角的值；（2）求△ABC的面积取得最大值时，边的长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）将已知等式利用正弦定理角化边，然后再利用余弦定理即可求解；（2）由（1）有，利用基本不等式求出最大值，再根据三角形的面积公式即可求解.【详解】解：（1）由正弦定理可化为，即，由余弦定理可得，因为，所以；（2）因为，所以，又，所以，当且仅当时，取最大值为，即有，解得.20．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是以∠C为直角的等腰直角三角形，BC＝AC＝2，AA1＝3，D为AC的中点．（1）求证：AB1//平面BDC1；（2）求平面C1BD与平面CBD夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）连接，与相交于，连接，利用中位线性质可得，即可证明；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角余弦即可.【详解】（1）证明：连接，与相交于，连接，∵四边形是矩形，∴是的中点，又是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．则，，，，，设是平面的一个法向量，则，即，令，则，，∴，又是平面的一个法向量，即是平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．21．已知圆C经过点和，且圆心C在直线上．(1)求圆C的方程；(2)设直线l经过点，且l与圆C相切，求直线l的方程．【答案】(1)(2)和． 【分析】（1）求出圆心坐标和半径后可得圆标准方程；（2）分类讨论，斜率不存在的直线说明它是圆切线，斜率存在时，设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数后得直线方程．【详解】（1）由题意，设圆心坐标为，则，解得，所以圆心为，半径为，圆方程为；（2）过且斜率不存在的直线为，它与圆相切，斜率存在的切线设其方程为，则，解得，直线方程为，综上切线方程为和．22．已知椭圆的长轴长是，焦点坐标分别是，.（1）求这个椭圆的标准方程；（2）如果直线与这个椭圆交于､两不同的点，若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由和即可求，则方程可求（2）将直线代入椭圆方程，由韦达定理求的两根关系再结合弦长公式即可求得的值.【详解】（1）由已知得，则又因为， 所以椭圆的标准方程（2）由消除得因为有两个不同的交点，所以得的取值范围为 由韦达定理得： ，所以解得【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．