2022-2023学年江苏省淮安市盱眙县第二高级中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省淮安市盱眙县第二高级中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．若直线经过第一、二、四象限，则有（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】由一次函数的性质判断

【详解】直线即，经过第一、二、四象限，

则，得，

故选：B

2．已知两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为（    ）

A．-7 B．-5 C．-2 D．2

【答案】A

【分析】根据两点坐标，列出斜率表达式，然后根据倾斜角得到斜率，列出方程求解即可.

【详解】因为两点所在直线的倾斜角为，

则，即

故选:A.

3．抛物线的焦点为F，点P是C上一点，若，则点P到y轴的距离为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】设出，由抛物线定义得到方程，求出，从而得到答案.

【详解】设，由抛物线定义知：，

所以，

即点P到y轴的距离为4

故选：C

4．等差数列的前项和为，满足：，则（    ）

A．72 B．75 C．60 D．100

【答案】B

【分析】由，代入即得解.

【详解】由可得：

，

故选：B

5．在平面直角坐标系中， 以点(0，1)为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由条件利用点到直线的距离公式求得半径，可得要求的圆的标准方程．

【详解】由题意可得圆心为点(0，1)，半径为，

要求的圆的标准方程为，

故选：A．

6．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由渐近线判断与的关系，进而得到与的关系，从而得到离心率.

【详解】由双曲线方程得知：双曲线的焦点在轴上，由渐近线方程知：

即：，即：，又，∴，

，∴.

故选：B.

7．正项等比数列中，，则（    ）

A．4 B．8 C．32 D．64

【答案】D

【分析】利用等比数列的性质运算即可.

【详解】因为是等比数列，

所以.

故选：D.

8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B为平面上两点，且，M为线段AB中点，其坐标为，若，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知可得以为直径的圆过点O，对条件变形得到，从几何意义出发得到圆M与直线相切，从而得到圆M的半径最小值为点到直线的距离的一半，利用点到直线距离公式进行求解.

【详解】因为，所以，即以为直径的圆过点O，

因为M为线段AB中点，坐标为，，

则，

几何意义为圆M的半径与点M到直线的距离相等，

即圆M与直线相切，

则圆M的半径最小值为点到直线的距离的一半，

即.

故选：B

二、多选题

9．下列说法中，正确的是（    ）

A．过两点的直线方程为

B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8

C．过点且与直线相互平行的直线方程是

D．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为

【答案】BC

【分析】由x2＝x1或y2＝y1时，式子无意义可判断A；求解直线与两个轴交点坐标，计算面积可判断B；设平行的直线为，代入点坐标求解可判断C；过原点的直线在两个坐标轴上截距也相等，分析可判断D.

【详解】对A，当x2＝x1或y2＝y1时，式子＝无意义，故A不正确；

对B，直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴交点坐标为，故围成的三角形的面积是×4×4＝8，故B正确；

对C，与直线平行，所求直线设为，将点代入得，所以所求直线为，即，故C正确；

对D，斜率为-1以及过原点的直线在两个坐标轴上截距都相等，故经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0或y＝2x，故D错误.

故选：BC.

10．圆和圆的交点为，则有（    ）

A．公共弦所在直线方程为

B．公共弦的长为

C．线段中垂线方程为

D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为

【答案】ABC

【分析】对于A，两圆方程作差即可求出公共弦方程；

对于B，求出一个圆的圆心到公共弦的距离，利用垂径定理计算即可；

对于C，线段的中垂线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；

对于D，求出到公共弦的距离，加上半径即可求出最大值.

【详解】对于A，因为圆：和圆：的交点为，

作差得，所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为，故A正确；

对于B，圆：的圆心为，半径，则圆心到直线的距离，

所以圆与圆的公共弦的长为，故B正确；

对于C，因为圆心，，所在直线斜率为，

所以线段的中垂线的方程为，即，故C正确；

对于D，由选项B易得，到直线的距离的最大值为，故D错误.

故选：ABC.

11．下列说法错误的有（    ）

A．若a，b，c成等差数列，则成等差数列

B．若a，b，c成等差数列，则成等差数列

C．若a，b，c成等差数列，则成等差数列

D．若a，b，c成等差数列，则成等差数列

【答案】ABD

【分析】根据等差数列的定义，结合特例法进行判断即可.

【详解】A：显然成等差数列，但是显然不成等差数列，因此本说法不正确；

B：显然成等差数列，但是这三个式子没有意义，因此本说法不正确；

C：因为a，b，c成等差数列，所以，因为，

所以成等差数列，因此本说法正确；

D：显然成等差数列，但是，显然不成等差数列，因此本说法不正确；

故选：ABD

12．椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，给出以下四个命题，正确的是（    ）

A．过点的直线与椭圆交于两点，则△的周长为8；

B．椭圆上不存在点，使得；

C．椭圆离心率为；

D．为椭圆一点，为圆上一点，则点的最大距离为4.

【答案】AC

【分析】根据椭圆方程写出a、b、c及焦点坐标，由椭圆定义求焦点三角形的周长判断A；根据椭圆的性质及余弦定理求的最大值，进而确定其范围判断B；直接法求离心率判断C；根据圆的方程确定与椭圆的位置关系，进而判断的距离范围，即可判断D.

【详解】由题设椭圆参数为，且、，

对A：由椭圆定义知：，则△的周长为8，A正确；

对B：当在y轴上时，，而，

此时，且，易知，

故，则存在点使得，

故存在点使得，B错误；

对C：椭圆的离心率为，C正确；

对D：由椭圆和圆的方程知：它们在y轴上的交点为椭圆上下顶点，而圆在x轴上的交点为，所以，

故的最大距离为3，D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．若焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则___________．

【答案】4

【分析】根据椭圆中基本量的关系得到关于m的方程，解方程得到m的值.

【详解】因为椭圆的焦点在x轴上且焦距为4，

所以，

解得.

故答案为：4.

14．已知的顶点，边上的高所在直线为，直线的方程为___________.

【答案】

【分析】由直线垂直可知直线的斜率，根据点斜式即可得出方程.

【详解】因为，而直线的斜率为，

所以直线的斜率为，

所以直线的方程为：，

即.

故答案为：.

15．已知数列的前项和，则______.

【答案】7

【分析】将代入根据可得出答案；当时由，求出，从而可得出答案.

【详解】当时，；

当时，.

所以，所以.

故答案为：

16．若函数的图象与直线有公共点，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】作出的图象，由直线与圆的位置关系来求解即可.

【详解】由得：且，

表示以为圆心，为半径的圆在轴及其下方的部分，

函数的图象如图所示

由图象知：当直线过点时，；

当直线与半圆相切时，圆心到直线距离，解得：或（舍）；

函数的图象与直线有公共点，

实数的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

17．在等差数列中，已知 且.

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)，；

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意得到关于、的方程组，解得即可；

（2）根据等差数列求和公式计算可得.

【详解】（1）解：由题意，设等差数列的公差为，

则，，

解得，，

，；

（2）解：因为，

所以.

18．已知直线.

(1)当a=1时，求两直线的距离；

(2)写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值.

【答案】(1)

(2)；

【分析】（1）直接根据两直线的距离公式计算得到答案.

（2）直接根据点到直线的距离公式得到答案.

【详解】（1）当a=1时，，

所以两直线的距离为.

（2）原点到直线的距离为，当时，

19．已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)经过椭圆C的右焦点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求的长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意可确定c,结合离心率求得a,继而求得b，即得答案.

（2）写出直线l的方程，联立椭圆方程，得根与系数的关系，利用弦长公式即可求得答案.

【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，

又，所以椭圆方程为;

（2）过且斜率为1的直线为，将代入，

可得，整理得，设，

则，

∴

.

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-4x=0及点A（-1，0），B（1，2）．

(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，且MN=AB，求直线l的方程；

(2)圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12?若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)x-y=0或x-y-4=0

(2)存在，点P的个数为2

【分析】（1）根据l∥AB，可得直线l的斜率为1，设直线l的方程为x-y+m=0，根据圆的弦长公式，结合题意，即可求得m值，即可得答案.

（2）设P（x，y），则，根据题意，化简可得x2+（y-1）2=4，根据圆心距可得两圆的位置关系，即可得答案.

【详解】（1）圆C的标准方程为，所以圆心C（2，0），半径为2．

因为l∥AB，且A（-1，0），B（1，2），

所以直线l的斜率为．

设直线l的方程为x-y+m=0，

则圆心C到直线l的距离为．

因为，

而，所以，

解得m=0或m=-4，

所以直线l的方程为x-y=0或x-y-4=0．

（2）假设圆C上存在点P，设P（x，y），则，

所以PA2+PB2=，

整理得x2+y2-2y-3=0，即x2+（y-1）2=4．

因为，

所以圆（x-2）2+y2=4与圆x2+（y-1）2=4相交，

所以点P的个数为2．

21．已知数列{an}的各项为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1.

【答案】证明见解析

【分析】首先确定条件和结论，然后结合等差数列的通项公式和前项和公式证明结论即可．

【详解】选择①③为条件，②结论．

证明过程如下：

由题意可得：，，

数列的前项和：，

故，

据此可得数列 是等差数列．

选择①②为条件，③结论：

设数列的公差为，则：

，

数列 为等差数列，则：，

即：，整理可得：，．

选择③②为条件，①结论：

由题意可得：，，

则数列 的公差为，

通项公式为：，

据此可得，当时，，

当时上式也成立，故数列的通项公式为：，

由，可知数列是等差数列．

22．已知双曲线C1：，抛物线C2：（），F为C2的焦点，过F垂直于x轴的直线l被抛物线C2截得的弦长等于双曲线C1的实轴长．

(1)求抛物线C2的方程；

(2)过焦点F作互相垂直的两条直线，与抛物线C2分别相交于点A、B和C、D，点P、Q分别为AB、CD的中点，求△FPQ面积的最小值．

【答案】(1)；

(2)16.

【分析】（1）由题设有直线l为，联立抛物线求相交弦长有，即可写出抛物线方程.

（2）由题意，可设直线AB为且，联立抛物线应用韦达定理求、坐标，再由两点距离公式求、，进而得到关于k的表达式，结合基本不等式求最小值，注意等号成立条件.

【详解】（1）由题意，双曲线实轴长，直线l方程为，

由，得，则过F垂直于x轴的直线l被抛物线C2的弦长为2p，

所以，故抛物线的方程为.

（2）因为，若直线AB、CD分别与两坐标轴垂直，则其中有一条与抛物线只有一个交点，不合题意；

所以，直线AB，CD的斜率均存在且不为0，

设直线AB的斜率为，则直线AB的方程为

联立，得，则，

设，则．

设，则，则即，同理得，

故，，又，

所以

当且仅当，即时等号成立，故△FPQ面积的最小值为16．