2022-2023学年江苏省连云港市高二上学期期末调研（七）数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省连云港市高二上学期期末调研（七）数学试题

一、单选题

1．若经过两点和的直线的斜率是12，则实数m的值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】由两点间连线的斜率公式即可求解．

【详解】解：因为直线经过两点、且直线的斜率是，

所以，解得

故选：D．

2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数的和为（    ）

A．28 B．26 C．24 D．20

【答案】A

【分析】根据题意利用等差等比中项公式得到方程组，解之即可；

【详解】依题意，设这四个数分别为，

则，解得或，

所以这四个数为0、4、8、16或15、9、3、1，则这四个数的和为28．

故选：A．

3．已知直线l过点且与抛物线只有一个公共点，则直线l的方程是（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】D

【分析】先判断点在抛物线上，再分直线的斜率不存在，直线的斜率为0和直线的斜率存在且不为0，三种情况讨论求解即可.

【详解】将点（1，2）的坐标代入抛物线方程得，即该点在抛物线上．

①若直线的斜率不存在，直线l的方程为，当直线l与抛物线有两个交点，不合题意；

②若直线的斜率为0，则直线平行于x轴，则满足题意；

③若直线的斜率存在且不为0，设，

联立方程组，

将代入化简得，

则，

此时．  

综上，直线的方程为或．

故选：D．

4．如图，圆内有一点，为过点的弦，若弦被点平分时，则直线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意得到直线与直线垂直,求出直线的斜率,

可得直线的斜率,点斜式即可确定的方程.

【详解】当弦被点平分时，直线与直线垂直，

因为，所以，

则直线AB的方程为，即．

故选:.

5．求双曲线以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的方程是   （    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据椭圆方程，可得出其焦点坐标、顶点坐标，进而得到双曲线的焦点坐标、顶点坐标，即可得到双曲线的方程.

【详解】在椭圆中，，椭圆的焦点坐标为，，左右顶点坐标分别为，，

则双曲线的顶点坐标为，，焦点坐标为，，且双曲线的焦点在轴上，

所以，，，

所以双曲线的方程为：．

故选：A.

6．已知f(x)＝xlnx，若，则x0＝（    ）

A．e2 B．e C． D．ln2

【答案】B

【分析】对函数进行求导，然后代入求值即可.

【详解】因为f(x)＝xlnx，所以，

由，解得.

故选：B.

7．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积3升，下面3节的容积之积为9升，则第5节的容积为(　　)

A．2升 B．升 C．3升 D．升

【答案】D

【详解】现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，

上面3节的容积之积3升，下面3节的容积之积为9升，

，

解得，，

第5节的容积为：．

故选：．

8．已知函数有最大值，则a的值为（    ）

A．1 B． C．4 D．

【答案】B

【解析】根据函数，求导，然后根据开区间上唯一的极值点为最值点，结合函数在区间上的最大值为求解.

【详解】因为函数，

所以，

令，解得或（舍去）.

若函数在区间上有最大值，则最大值必然在处取得，

所以，解得，

此时，

当时，，当时，，

所以当时y取得最大值，

故选：B.

二、多选题

9．若圆的半径为，且直线与圆相切于点，则圆的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】由直线与圆相切及点在圆上，结合待定系数法得到方程组，解之即可.

【详解】根据题意，设圆的标准方程为，圆心坐标为，

过圆心且过切点的直线与直线垂直，得，即①，

由点在圆上得②，

将①②联立得，解得或，

故所求圆的方程为或．

故选：BD．

10．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且，则（    ）

A．d＜0 B．a10＝0 C．S18＜0 D．S8＜S9

【答案】BC

【分析】由，得 ，判断出A,B选项，再结合，判断C选项，再根据等式性质判断D选项

【详解】 ， ，所以B正确

又 , , ,所以A错误

，故C正确

,故D错误

故选：BC

11．已知方程，下列说法错误的是（    ）

A．当时，此方程表示椭圆 B．此方程不可能表示圆

C．若此方程表示双曲线，则 D．当时，此方程表示双曲线

【答案】ABC

【分析】分别列出方程表示椭圆，圆，双曲线的条件，推出 m的范围与取值，判断选项的正误即可.

【详解】若该方程表示椭圆，则，，故A错误;

若该方程表示是圆，则，，即当时，此方程表示圆，故B错误;

若该方程表示是双曲线，则，或，故C错误；

当时，，方程表示焦点在轴上的双曲线，故D正确；

故选：ABC.

12．下列说法正确的是（    ）

A．截距相等的直线都可以用方程表示

B．方程能表示平行y轴的直线

C．经过点，倾斜角为的直线方程为

D．经过两点，的直线方程

【答案】BD

【分析】．当直线过原点时，无法表示；．当时，满足条件；．当倾斜角为时，无法表示；．结合两点式方程进行判断即可.

【详解】解：对于A，截距相等为0的直线都不可以用方程表示，故错误；

对于B，当时，方程能表示平行y轴的直线，故正确；

对于C，经过点，倾斜角为的直线方程不能写成，故错；

对于D，经过两点，的直线均可写成，故正确．

故选：BD．

三、填空题

13．设k为实数，若直线不经过第四象限，则k的取值范围为______．

【答案】

【分析】根据直线不经过第四象限，得到不等关系，求出k的取值范围.

【详解】直线经过定点，当时，此时直线，符合要求；当时，直线，要想不经过第四象限，则满足，解得：，综上：

故答案为：

14．方程表示双曲线，则实数的取值范围是________.

【答案】或

【分析】根据方程表示双曲线，可知，从而可求实数的取值范围

【详解】∵方程表示双曲线，

∴，解得或，

∴实数的取值范围是或，

故答案为：或

15．我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？通过计算可知，塔顶的灯数为_____________．

【答案】3

【分析】设第层塔的红灯盏数为，由题意知为公比为的等比数列，根据求出首项得通项公式，再计算可得答案.

【详解】设第层塔的红灯盏数为，由题意知，为公比为的等比数列，

且，则，即，解得，

则，

从而可知塔顶有3盏灯．

故答案为：3.

16．对于函数，若，则_____．

【答案】4

【分析】由导数定义构造计算可以得到结果.

【详解】

又，

故答案为:4.

四、解答题

17．已知等差数列满足，的前项和为.

（1）求及；

（2）记，求

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）利用等差数列的通项公式，结合，可以得到两个关于首项和公差的二元一次方程，解这个方程组即可求出首项和公差，最后利用等差数列的通项公式 和前项和公式求出及；

（2）利用裂项相消法可以求出.

【详解】1）设等差数列的公差为，

（2）由（1）知：

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，考查了裂项相消法求数列前项和，考查了数学运算能力.

18．在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，且.直线 与椭圆C相交于两点.

（1）当时，求实数的取值范围；

（2）当时，的面积为4，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）直线的方程为.

【解析】（1）先根据题中已知条件求出椭圆的方程，再与联立，令即可求解；

（2）椭圆方程与直线联立，由根与系数的关系求出和，利用弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出点到直线距离，将面积表示出，解方程即可得得值，进而得出直线的方程.

【详解】由题意可得 ，解得：

所以椭圆，

设，

由 得：，

（1）当时，，若直线与椭圆有2个交点，则

，解得：，

所以实数的取值范围为，

（2）当时，即

，，

，

点到直线距离为 ，

所以的面积为，

即，

即，两边同时平方得，解得，所以，

且时，即为满足直线与椭圆有2个交点，所以直线的方程为：.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正确求出椭圆的标准方程，直线与椭圆交于两点等价于直线与椭圆方程联立消元后的一元二次方程判别式，关键是正确求出弦长和点到直线距离，化简运算得过程要仔细认真，属于中档题.

19．已知等差数列的前n项和为，且，，

(1)求数列的通项公式；

(2)若，令，求数列的前n项和

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由等差数列的通项公式与求和公式求解即可；

（2）由错位相减法求解即可

【详解】（1）设等差数列的公差为d，

则由，，，

可得

解得

因此，；

（2）由（1）知，

，①

，②

①-②得

，

20．已知函数

（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；

（2）若函数有两个不同的极值点，，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题意得出对恒成立，即对恒成立，求出的最大值，得出的取值范围；

（2）根据一元二次方程根的分布求出，，结合得出，构造函数，利用导数得出，从而得出实数的取值范围.

【详解】解（1）对恒成立，即对恒成立，

令，，即在上递增，

，

故的取值范围为；

（2）

若有两极值点，即在上有两根，，，

则.

，，

，，，，

，

令，，

令，，

，，，

，即在递减，，，

 故的取值范围为.

21．已知抛物线上的点M到焦点F的距离为5，点M到x轴的距离为．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若抛物线C的准线l与x轴交于点Q，过点Q作直线交抛物线C于A，B两点，设直线FA，FB的斜率分别为，．求的值．

【答案】(1)

(2)0

【分析】（1）由焦半径公式求C的方程；

（2）设直线AB方程，与抛物线方程联立，由韦达定理表示出，，代入中化简求值即可.

【详解】（1）设点，则，所以，解得．

因为，所以．所以抛物线C的方程为．

（2）由题知，，，直线AB的斜率必存在，且不为零．

设，，直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为，

由，得．

所以，，

且，即．

所以

所以的值为0．

22．已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）

【分析】(1)求出的导数，分当，当的情况讨论，可得的单调性；

(2)可构造函数，利用，判断单调性，即可得出的取值范围.

【详解】解：（1），

当时，，所以在上单调递增；

当时，由得，，

则函数在上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）设，

，设，

上恒成立，

所以在为增函数，，

若在上单调递增，

所以恒成立，即对任意恒成立；

若，

，

存在，使得，

单调递减，所以，

此时不等式不成立，不合题意，

所以实数取值范围是.

【点睛】证明不等式恒成立要注意端点函数值，尤其是端点取等号时的端点效应，经常作为解题的突破口.