2022-2023学年江苏省连云港市灌南高级中学高二上学期期中模拟数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省连云港市灌南高级中学高二上学期期中模拟数学试题

一、单选题

1．若圆关于直线2x-y+3=0对称，则k等于（    ）

A． B．- C．3 D．-3

【答案】B

【分析】由题意可求得圆心坐标，圆关于直线对称，即直线过圆心，代入坐标，即可求解.

【详解】由题意知，圆的圆心为(k，0)，

圆关于直线2x-y+3=0对称，即直线2x-y+3=0过圆心(k，0)，

所以2k+3=0，k=-.

答案：B

【点睛】本题考查圆的对称性，考查分析理解，数形结合的能力，属基础题.

2．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与

A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直

【答案】A

【解析】根据两点求出直线的斜率，根据倾斜角求出直线的斜率；可知斜率乘积为，从而得到垂直关系.

【详解】直线经过，两点    直线的斜率：

直线的倾斜角为    直线的斜率：

本题正确选项：

【点睛】本题考查直线位置关系的判定，关键是利用两点连线斜率公式和倾斜角求出两条直线的斜率，根据斜率关系求得位置关系.

3．设、是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于　　

A．4 B．6 C． D．

【答案】A

【分析】根据椭圆方程，求出及椭圆的焦点坐标．由椭圆的定义结合，得，，结合勾股定理的逆定理得是以为直角顶点的直角三角形，由此不难得到的面积．

【详解】解：椭圆，

，，，所以椭圆的焦点为，，

，且，

，可得，

因此是以为直角顶点的直角三角形，

所以的面积，

故选：A．

4．如图，已知、分别是椭圆的左、右焦点，点、在椭圆上，四边形是梯形，，且，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设点关于原点的对称点为点，连接、，分析可知、、三点共线，设点、，设直线的方程为，分析可知，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出的值，可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.

【详解】设点关于原点的对称点为点，连接、，如下图所示：

因为为、的中点，则四边形为平行四边形，可得且，

因为，故、、三点共线，设、，

易知点，，，

由题意可知，，可得，

若直线与轴重合，设，，则，不合乎题意；

设直线的方程为，联立，可得，

由韦达定理可得，得，

，则，可得，故，

因此，.

故选：A.

5．设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得．

详解：由题可知

在中，

在中,

故选B.

点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．

6．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）．

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】A

【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.

【详解】设圆心，则，

化简得，

所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

所以，所以，

当且仅当在线段上时取得等号，

故选：A.

【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.

7．已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】D

【分析】圆的最长弦是直径，过定点的最短弦是与过定点的最长弦垂直的，对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半.

【详解】圆

由题意可得

最长弦为直径等于6，

最短的弦由垂径定理可得，

则四边形的面积为.

故选：D.

【点睛】本题考查过圆内定点求圆的弦长最值问题，考查求解运算能力，是基础题.

8．过抛物线上定点作圆的两条切线，分别交抛物线于另外两点、，则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设过点且与圆相切的直线的方程为，根据该直线与圆相切求出的值，设点、，求出、的值，求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.

【详解】圆的圆心为，半径为，易知轴，所以，直线、的斜率必然存在，

设过点且与圆相切的直线的方程为，即，

由题意可得，解得，

设点、，不妨设直线、的斜率分别为、，

则，可得，

同理，可得，

直线的斜率为，

易知点的坐标为，

所以，直线的方程为，即.

故选：B.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2

B．点关于直线的对称点为

C．过，两点的直线方程为

D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为

【答案】AB

【分析】对选项A，分别令和，求出直线与坐标轴交点，再结合面积公式判断即可；对选项B，求出对称点坐标即可判断；对选项C特殊情况不成立；对选项D，缺少过原点的直线．

【详解】A．令得，令得，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积，正确；

B．设关于直线对称点坐标为，则，解得，正确；

C．两点式使用的前提是，错误；

D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线还有过原点的直线，错误．

故选：AB．

10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，成为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，、，点Р满足，设点Р所构成的曲线为C，下列结论正确的是（    ）

A．C的方程为

B．在C上存在点D，使得

C．在C上存在点M，使M在直线上

D．在C上存在点N，使得

【答案】AD

【分析】通过设出点P的坐标，利用，即可求出曲线C的轨迹方程，然后假设曲线C上一点坐标，根据BCD三个选项逐一列出所满足条件，然后与C的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案.

【详解】设点，由，

得，化简得，即，故A选项正确；

对于B选项，设，由得，

又，联立方程可知无解，故B选项错误；

对于C选项，设，由M在直线上得，

又，联立方程可知无解，故C选项错误；

对于D选项，设，由，得，又，联立方程可知有解，故D选项正确.

故选：AD.

11．（多选题）已知抛物线的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点、，点在上的射影为，则 （    ）

A．若，则

B．以为直径的圆与准线相切

C．设，则

D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条

【答案】ABC

【分析】利用抛物线焦点弦长公式可判断AB选项；利用抛物线的定义结合三点共线可判断C选项；求出过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线的方程，可判断D选项.

【详解】对于选项A，因为，所以，则，故A正确；

对于选项B，线段的中点为，抛物线的准线的方程为，

点到直线的距离为，

所以，以为直径的圆与准线相切，B对；

对于选项C，因为，所以，

当且仅当点、、三点共线，且点为线段与抛物线的交点时，等号成立，故C正确；

对于选项D，显然直线，与抛物线只有一个公共点，

设过且斜率不为零的直线为，

联立，可得，令，则，

所以直线与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误.

故选：ABC.

12．已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点、，则（    ）

A．若、同在双曲线的右支，则的斜率大于

B．若在双曲线的右支，则最短长度为

C．的最短长度为

D．满足的直线有4条

【答案】BD

【分析】设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，利用判别式、韦达定理、弦长公式可判断各选项的正误.

【详解】易知双曲线的右焦点为，

设点、，设直线的方程为，

当时，直线的斜率为，

联立，消去并整理得.

则，解得.

对于A选项，当时，直线轴，则、两点都在双曲线的右支上，此时直线的斜率不存在，A选项错误；

对于B选项，，B选项正确；

对于C选项，当直线与轴重合时，，C选项错误；

对于D选项，当直线与轴重合时，；

当直线与轴不重合时，由韦达定理得，，

由弦长公式可得，解得或.

故满足的直线有条，D选项正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查直线与双曲线的综合问题，考查了直线与双曲线的交点个数，弦长的计算，考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.

三、填空题

13．双曲线的其中一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为_______

【答案】

【分析】由双曲线的渐近线方程可得，再由焦点到渐近线的距离为可得，即可得答案；

【详解】由题意得：，

双曲线的方程为，

故答案为：.

【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程和焦点到渐近线的距离为，考查运算求解能力，属于基础题.

14．一束光线从点射出，经y轴反射后，与圆相交，则反射光线所在直线的斜率k的取值范围是_______________．

【答案】

【分析】将圆写成标准式，求出圆心半径，求出关于轴的对称点，设出过的直线方程，结合圆心到直线距离公式即可求解.

【详解】由可得，即圆心为，半径为1，关于轴的对称点，可设过的直线方程为，

即，由反射光线与圆相交可得，，

化简得，即.

故答案为：

15．在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程______.

【答案】

【分析】先利用点差法求得直线的斜率，再利用点斜式即可求得所求直线方程.

【详解】因为，所以点在椭圆内，

设以点为中点的弦的两端的坐标分别为，则，，

两式相减，得，则，

设以点为中点的弦所在直线斜率为，则，

所以所求直线方程为：，即.

故答案为：.

四、双空题

16．已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，，设直线与交于点，则___________，面积的最小值为___________.

【答案】     ;    

【分析】设，，先根据导数几何意义求得两切线方程，然后联立两切线方程可求得交点坐标.因为，所以将弦长和点P到直线AB的距离带入即可求得面积的最小值.

【详解】解：抛物线方程为，

抛物线的焦点

由题意，直线AB的斜率存在，设，，，

联立，得，

，，

由，得，求导得，

，即 ①

同理 ②

由①②得，.

点P到直线AB的距离，

，

易知，即时，，

故面积的最小值为4.

故答案为：；4.

【点睛】思路点睛：设出A，B两点的坐标，由导数几何意义求出两切线方程，然后联立求解交点坐标；设出直线AB方程，并联立抛物线方程，由弦长公式可得，由点到直线距离公式可得点P到直线AB的距离，从而求得，进而易得面积的最小值.

五、解答题

17．设椭圆过点，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且斜率为的直线交椭圆于、两点，求弦的中点坐标及．

【答案】（1）；（2）中点坐标为，．

【分析】（1）依题意求出，再由离心率及，求出，即可求出椭圆方程；

（2）首先求出直线的方程，设直线与的交点为，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可求出中点坐标，再利用弦长公式求出弦长；

【详解】解：（1）将点代入椭圆的方程得，

所以．

又由，

得，

即，

所以．

所以椭圆的方程为．

（2）过点且斜率为的直线方程为，

设直线与的交点为，，

联立方程

消去得，

得，．

设线段的中点坐标为，

则，

，

即中点坐标为

由弦长公式

18．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为.

(1)求直线AC的垂直平分线方程；

(2)求△ABC的面积.

【答案】(1)

(2)8

【分析】(1)先求出AC直线方程，再联立直线CM与AC，得到交点坐标，最后求出AC的

垂直平分线方程即可.

(2)先求出长度为，再求出点，再求△ABC的边的高为，最后由三角形面积公式求出面积即可.

【详解】（1）BH所在直线方程为，

，

直线垂直于，

，

，

AC所在直线方程为，

联立直线CM与AC得，

解得，

直线CM与AC的交点坐标，

顶点，

的中点坐标为,

直线AC的垂直平分线的斜率与AC边上的高BH的斜率相等，

直线AC的垂直平分线的斜率为，

直线AC的垂直平分线方程为.

（2）由（1）可知，

设点则点，

点在高线BH上，M在中线上，

，

解得，

故点，

由题意知边上的高为，

△ABC的面积为.

19．已知抛物线经过点．

(1)求抛物线的方程；

(2)若直线与抛物线相交于两点，且，证明：直线过定点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）将抛物线上的点代入方程即可求解；

（2）设出直线方程与抛物线联立，然后根据向量数量积建立等式求解.

【详解】（1）∵抛物线过点，

．．

∴动点的轨迹的方程为．

（2）设，，

由得，

，．

，

．

，

或．

，

舍去．

，满足．

∴直线的方程为．

∴直线必经过定点．

20．双曲线：，已知是双曲线上一点，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为.

(1)求双曲线的离心率；

(2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由点在双曲线上得到，再由，的斜率之积为得到，从而得到，由此可求得双曲线的离心率；

（2）先由条件求得双线曲方程，再联立直线与双曲线得到，又由得到，从而求得值，由此可得直线的方程.

【详解】（1）因为是双曲线E上一点，

可得，即为，

由题意可得，，

可得，即有.

（2）由题意可得，，则双曲线的方程为，

易知直线斜率存在，设直线的方程为，

联立直线与双曲线的方程，可得，

设，则，，①

又，可得，②

由①②可得， ，

代入①可得，解得，

则直线l的方程为.

21．在平面直角坐标系中，已知圆，且圆被直线截得的弦长为2.

（1）求圆的标准方程；

（2）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线的方程；

（3）若圆上存在点，由点向圆引一条切线，切点为，且满足，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）或或或；（3）

【分析】（1）将圆方程整理为标准方程形式，可知，得到圆心坐标和半径；由垂径定理可利用弦长构造出关于的方程，解方程求得，从而得到标准方程；（2）分为直线过原点和不过原点两种情况，分别假设直线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果；（3）设，根据且可整理出点轨迹方程为：；根据在圆上，则两圆有公共点，根据圆与圆位置关系的判定可构造不等式，解不等式求得结果.

【详解】（1）圆方程可整理为：    

圆的圆心坐标为，半径

圆心到直线的距离：

截得的弦长为：，解得：

圆的标准方程为：

（2）①若直线过原点，可假设直线方程为：，即

直线与圆相切    圆心到直线距离，解得：

切线方程为：

②若直线不过原点，可假设直线方程为：，即

圆心到直线距离，解得：或

切线方程为或

综上所述，切线方程为或或

（3）假设

，即

又直线与圆相切，切点为    

即：，整理得：

又在圆上    两圆有公共点

，解得：

即的取值范围为：

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的应用问题；关键是明确直线与圆的位置关系通过圆心到直线的距离与半径之间的大小关系来确定；圆与圆的位置关系通过圆心距与两圆半径之和、半径之差的关系来确定.

22．已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，曲线C是以A、B为短轴的两端点且离心率为的椭圆，设点P在第一象限且在双曲线上，直线AP与椭圆相交于另一点T．

(1)求曲线C的方程；

(2)设点P、T的横坐标分别为x1，x2，证明：x1x2＝1；

(3)设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)(0，1]

【分析】（1）设椭圆的方程为，依题意可得A（﹣1，0），B（1，0），推出b＝1，又椭圆的离心率为，解得a2，即可得出答案．

（2）设点P（x1，y1），T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i＝1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），则直线AP的方程为y＝k(x+1)，联立椭圆的方程，解得x2，同理可得，进而可得x1⋅x2＝1．

（3）由（2）得，由，得，再计算S1，S2，结合基本不等式得S12﹣S22的取值范围．

【详解】（1）设椭圆的方程为，

依题意可得A（﹣1，0），B（1，0），所以b＝1，

因为椭圆的离心率为，

所以，即a2＝4，

所以椭圆方程为．

（2）证明：设点P（x1，y1），T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i＝1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），

则直线AP的方程为y＝k(x+1)，

联立方程组，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4＝0，

解得x＝﹣1或，

所以，

同理联立直线AP和双曲线可得，，

所以x1⋅x2＝1．

（3）由（2），

因为，

所以，

即，

因为点P在双曲线上，则，

所以，即，

因为点P是双曲线在第一象限内的一点，

所以，

因为，

所以．

由（2）知，x1⋅x2＝1，即，

设，则1＜t≤3，则．

设f（t）＝5﹣t5﹣（t）≤5﹣4＝1，

当且仅当，即t＝2时取等号，

结合对勾函数单调性知函数f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，3]上单调递减．

因为，

所以f(1)＜f(3)，

所以的取值范围为（0，1]．