2022-2023学年江苏省南京市金陵中学河西分校高二上学期12月阶段检测数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南京市金陵中学河西分校高二上学期12月阶段检测数学试题

一、单选题

1．是等差数列，，，的第（    ）项．

A．98 B．99 C．100 D．101

【答案】C

【分析】等差数列，，中，，，由此求出，令，得到是这个数列的第100项．

【详解】解：等差数列，，中，，

令，得

是这个数列的第100项．

故选：C．

2．数列2，－4，6，－8，…的通项公式可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，分析数列各项变化的规律，即可得答案．

【详解】根据题意，数列2，，6，，，

其中，，，，

其通项公式可以为，

故选：．

3．在等差数列 中，若，则等于

A．9 B．27 C．18 D．54

【答案】C

【详解】,

解得，

则，故选C.

【解析】等差数列的性质——等差中项.

4．等比数列为递减数列，若，，则（    ）

A． B． C． D．6

【答案】A

【解析】，可得与为方程的两个根，又，解得，，再利用通项公式即可得出.

【详解】∵等比数列为递减数列，，，

∴与为方程的两个根，

解得，或，，

∵，∴，，

∴，

则，

故选:A.

5．已知为等比数列的前n项和，若，，则（    ）

A．15 B． C． D．

【答案】C

【分析】两式联立，可求出首项和公比，代入求解即可.

【详解】设公比为q，显然，由已知得，，

所以，故，即，

所以，

故选：C.

6．已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据等差数列，等比数列的性质化简计算即得.

【详解】因为数列是等差数列，，

所以，，

因为数列是等比数列，，

所以，，

所以.

故选：D.

7．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（    ）

A． B．

C． D．3

【答案】B

【分析】先由等差数列的前项和公式设出，，再按照直接计算即可.

【详解】由等差数列的前项和公式满足形式，设，则，故.

故选：B.

8．已知数列（其中第一项是，接下来的项是，再接下来的项是，依此类推）的前项和为，下列判断：

①是的第项；②存在常数，使得恒成立；③；④满足不等式的正整数的最小值是.

其中正确的序号是

A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④

【答案】B

【分析】找出数列的规律：分母为的项有项，并将这些项排成杨辉三角形式的数阵，使得第有项，每项的分母均为，并计算出每行各项之和，并计算出数列的前项和，结合这些规律来判断各题的正误．

【详解】由题意可知，数列的规律为：分母为的项有项，将数列中的项排成杨辉三角数阵，且使得第行每项的分母为，该行有项，如下所示：

对于命题①，位于数阵第行最后一项，对应于数列的项数为

，命题①正确；

对于命题②，数阵中第行各项之和为，则，

且数列的前项之和为

，

当时，，因此，不存在正数，使得，命题②错误；

对于命题③，易知第行最后一项位于数列的项数为

，

第行最后一项位于数列的项数为，且，

则位于数阵第行第项（即），

所以，

           ，命题③错误；

由①知，，且，

则恰好满足的项位于第行，假设位于第项，

则有，可得出，

由于，，则，，

因此，满足的最小正整数，命题④正确．

故选B.

【点睛】本题考查归纳推理，考查与数列相关的知识，关键要找出数列的规律，在解题时可以将规律转化为杨辉三角来处理，在做题过程中找出项与数阵中相对应的位置，综合性较强，属于难题．

二、多选题

9．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1+4a3＝S7，则以下结论正确的有（   ）

A．a14＝0 B．S14最小 C．S11＝S16 D．S27＝0

【答案】ACD

【分析】根据题意，由2a1+4a3＝S7，可得a14＝0，然后逐项分析即可得解.

【详解】因为数列{an}为等差数列，设其等差为d，由于2a1+4a3＝S7，

即6a1+8d＝7a1+21d，即a1+13d＝a14＝0，故A正确；

当时，Sn没有最小值，故B错误；

因为S16﹣S11＝a12+a13+a14+a15+a16＝5a14＝0，

所以S11＝S16，故C正确；

S27＝＝27（a1+13d）＝27a14＝0，故D正确.

故选：ACD.

10．各项均为正数的等比数列的前n项积为，若，公比，下列命题正确的是（    ）

A．若，则必有是中最小的项 B．若，则必有

C．若，则必有 D．若，则必有

【答案】BC

【分析】根据给定条件，结合等比数列的性质，利用计算判断A，B；利用推理判断C，D作答.

【详解】正项等比数列的前n项积为，，公比，

当时，，而，则，即，而，有，数列单调递减，

因此数列前7项均大于1，从第8项起均小于1，必有是中最大的项，A不正确；

由选项A知，，B正确；

当时，，而，则，数列单调递减，，有，C正确；

因，由C选项知，，数列单调递减，而与1的大小关系不确定，D不正确.

故选：BC

11．数列前项的和为，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则数列前5项的和最大

B．设是等差数列的前项和，若，则

C．已知，则使得成等比数列的充要条件为

D．若为等差数列，且，，则当时，的最大值为2022

【答案】AB

【分析】对A，可以采用临界法得到和的最大值；对B，运用等差数列的和的性质易判断；对C，等比中项的个数一般是2个；对D，可以采用基本量法计算即可.

【详解】A：由通项公式知：数列是严格递减数列，又

所以数列前5项的和最大，A对；

B：在等差数列中，成等差，

又，

B对；

C：成等比数列，所以不是充要条件，C错；

D：为等差数列, ，，所以D错，

故选：AB

12．若数列满足，则称数列为斐波那契数列，斐波那契数列被誉为是最美的数列.则下列关于斐波那契数列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】AC

【分析】利用斐波那契数列的递推关系进行累加求和即可判断.

【详解】A选项，，.累加得，，即.又，所以，A正确；

B选项，由A选项可知，故，B不正确；

C选项，，.

累加得，，

所以，C正确；

D选项，由C选项中同理可知，，D不正确.

故选：AC.

三、填空题

13．在数列中，若，，则________．

【答案】

【分析】根据题干递推关系可知数列为等差数列，由等差数列通项公式求出.

【详解】因为，即，

所以数列是公差为的等差数列，

又，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查等差数列，属于基础题.

14．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为_________.

【答案】

【解析】利用和表示出已知的等量关系，从而构造出方程组求得结果.

【详解】设个数从小到大排列所成的等差数列为，公差为

则，    ，解得：

故答案为：

【点睛】本题考查等差数列的实际应用问题，关键是能够利用首项和公差表示出已知的等量关系.

15．若数列满足，，，则的值为__________．

【答案】

【分析】由递推式求数列的前几项，确定数列的项的规律，由规律确定.

【详解】解：

，则，

，则，

，则，

，

，

，

∴数列为周期数列，且周期，

又，∴．

故答案为：-3.

16．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以.反复进行上述两种运算，经过有限步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).如取正整数，根据上述运算法则得出，至少需经过个步骤变成(简称为步“雹程”).一般地，一个正整数首次变成需经过个步骤(简称为步“雹程”).现给出冰雹猜想的递推，关系如下：已知数列满足为正整数)，，若，即步“雹程”对应的的所有可能取值的中位数为__________.

【答案】

【分析】由结合递推公式逆推，逐步计算可得的可能取值，再将的取值按从小到大的顺序排列，由中位数的定义可得中位数.

【详解】因为，，

倒推可得：

；

；

；

；

；

；

故的所有可能取值为，中位数为，

故答案为：.

四、解答题

17．（1）在等差数列中，公差，前项和，求及；

（2）在等比数列中，已知公比，前5项和，求.

【答案】（1），；（2），.

【分析】（1）运用基本量法表示出联立方程解方程组可求出；

（2）将用基本量可以求出首项，然后代入通项公式可得的值.

【详解】（1）由题意得

由得.代入后化简得

解得或（舍去），从而.

（2）由，解得，所以.

18．已知数列的前n项和为，且满足

(1)证明：数列是等比数列；

(2)求的值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可；

（2）根据等比数列的性质求得、，进而求得比值．

【详解】（1）证明：由①得

②，

②①得

，

即，

当时，，

解得，

是以为首项，为公比的等比数列．

（2）解：由（1）知

，

，

．

19．设等差数列的公差为，前项和为，已知，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用基本量代换，求出公差d，写出通项公式；

（2）对的正负讨论，求出的前项和..

【详解】（1）因为，所以即

解得，又，所以..

（2）因为，

当时，，则，

；

当时，，则，

.

综上所述：.

【点睛】（1）数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由求；④由递推公式求通项公式；

（2）数列求和常用方法：

①公式法； ②倒序相加法；③裂项相消法； ④错位相减法．

20．设数列的前项和为，已知，.

(1)证明：数列是等比数列；

(2)求与.

【答案】(1)证明见解析

(2)，

【分析】（1）利用进行整理原式，可得，即可证明为等比数列；

（2）根据（1）的结论即可求，再利用即可得到.

【详解】（1）因为，

所以，

则

又，所以，

所以数列是首项为1，公比为2的等比数列

（2）由（1）可得，即，

当时，；

当时，符合，

所以.

21．在①；②成等比数列；③；这三个条件中任选一个，补充在下面试题的空格处中并作答．

已知是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，且           ．

(1)求数列的通项公式；

(2)定义在数列中，使为整数的叫做“调和数”，求在区间[1，2022]内所有“调和数”之和．

【答案】(1)

(2)1086

【分析】（1）选①或③，利用求得；选②，结合等比中项的知识求得等差数列的公差，从而求得.

（2）利用列举法写出“调和数”，结合等比数列前项和公式求得.

【详解】（1）选①解：因为，

所以当时，，

当，时，

因为是各项均为正数，公差不为0的等差数列，

所以，.

选②解：因为成等比数列，

所以，

因为是各项均为正数，公差不为0的等差数列，设其公差为，

所以，

所以，

所以.

选③解：因为，

所以当时，．

所以，

所以或，

因为是各项均为正数的等差数列，

所以，

又当n＝2时，，

所以，所以，

所以，所以或（舍去），

其公差，

所以.

（2）设，所以，

令，且b为整数，

又由，，

所以b可以取1，2，3，4，5，6，

此时分别为，

所以区间[1，2022]内所有“调和数”之和

＝1086.

22．已知等差数列满足.

(1)求的通项公式；

(2)若，数列满足关系式，求数列的通项公式；

(3)设（2）中的数列的前项和为，对任意的正整数，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由已知条件列方程组求解基本量并代入即可；

（2）先代入求得数列的递推公式，再用累加法计算出的通项，并代入首项检验即可；

（3）先求数列的前项和为，代入原不等式后将分离，再求不含的式子的最值即可.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

由已知，有，

解得

所以，

即等差数列的通项公式为.

（2）因为，

当时，，

所以

累加得，

即.

当时，也满足上式.

所以数列的通项公式为.

（3）由（2），所以，

原不等式变为，即，

对任意恒成立，

为任意的正整数，

.

的取值范围是.