2022-2023学年江苏省南通市海安市立发中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南通市海安市立发中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将直线的一般式化成点斜式即可求解.

【详解】直线可以为，表示过点，斜率为的直线，

所以所有直线都通过定点为.

故选：A.

2．双曲线－＝1的渐近线方程是（    ）

A．y＝±x B．y＝±x

C．y＝±x D．y＝±x

【答案】C

【解析】先判定双曲线的中心位置，焦点位置，然后由方程求得半实轴a，半虚轴b，进而利用公式得出渐近线方程.也可以将标准方程等号右边的1改成0，化简即得渐近线方程.

【详解】解法一：双曲线－＝1是中心在原点，焦点在轴上的双曲线，

其中半实轴a＝3，半虚轴b＝2，

双曲线的渐近线方程为.

解法二：双曲线－＝1的渐近线方程为－＝0，即为.

故选：C.

【点睛】本题考查由双曲线的方程求渐近线的方程，属基础题，一般的，求双曲线的渐近线方程，也可以将标准方程等号右边的1改成0，化简即得渐近线的方程.

3．已知过点和点的直线为，直线为，直线为，若，，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设直线，，的斜率分别为，，，由题意可得，，列出关于的方程，解方程可得的值即可求解.

【详解】由题意可得直线，，的斜率存在，可分别设为，，，

因为，所以，即，解得：，

因为，所以，即，解得：，

所以，

故选：A.

4．抛物线的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据抛物线的标准方程以及焦点坐标求解即可

【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为

故选：C

5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于（    ）

A．1 B．－1 C．2 D．

【答案】A

【分析】利用等差数列的求和公式计算即可.

【详解】＝＝＝1.

故选：A.

6．直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（    ）

A．6 B．8 C．2 D．4

【答案】B

【分析】联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可

【详解】因为抛物线的焦点坐标为，

又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以．

故选：B

7．若等比数列中的是方程的两个根，则（    ）

A． B．1010 C． D．1011

【答案】D

【分析】先由韦达定理得，再利用对数的运算性质及等比数列下角标的性质计算即可.

【详解】因为是方程的两个根，

则，

又在等比数列中，，

，

故选：D.

8．直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】由直线、曲线方程画出图象示意图，应用数形结合法知：判断与曲线为何种位置关系时有且仅有一个公共点，即可求的取值范围.

【详解】根据直线和曲线方程可得如下图象，

要使它们有且仅有一个公共点，则在第二象限与曲线相切或直线截距在，

当在第二象限与曲线相切时，，可得.

综上，的取值范围或.

故选：C

二、多选题

9．椭圆的焦距为，则的值为（    ）

A．9 B．23 C． D．

【答案】AB

【分析】分焦点在轴上和在轴上两种情况讨论求解即可得答案.

【详解】解：椭圆的焦距为，即得.

依题意当焦点在轴上时，则，解得；

当焦点在轴上时，则，解得，

∴的值为9或23.

故选：AB.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程，是基础题.

10．已知等比数列的前n项和，则（    ）

A．首项不确定 B．公比 C． D．

【答案】BCD

【解析】根据等比数列基本量运算，依次判断每个选项，即可得到答案；

【详解】由，当时，.

由数列为等比数列，可得必定符合，

有，可得，

数列的通项公式为，，

数列的公比.由上知A选项错误，

故选：BCD.

【点睛】本题考查等比数列的前项和递推公式，求数列的公比等性质.

11．记为等差数列的前n项和.若，则以下结论一定正确的是（    ）

A． B．的最大值为 C． D．

【答案】AC

【分析】根据等差数列的定义及前项和公式可求得公差与的关系，再对各项进行逐一判断即可.

【详解】设等差数列的公差为，

因为，可得，解得，

又由，所以，所以A正确；

因为公差的正负不能确定，所以可能为最大值最小值，故B不正确；

由，所以，所以C正确；

因为，所以，即，所以D错误.

故选:AC.

12．已知抛物线：的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（    ）

A． B．为中点 C． D．

【答案】ABC

【分析】结合已知条件求出的纵坐标为，横坐标为，进而将的坐标代入抛物线方程即可求出的，进而联立即可求出相关点的坐标，然后逐项分析判断即可得出结果.

【详解】因为直线的斜率为，且，所以的纵坐标为，横坐标为，所以，因为，解得，故A正确；

因为，所以直线：，令，所以，则，又因为，则的中点为即为，故B正确；

，解得或,即，则，，因此，故C正确；D错误，

故选：ABC.

三、填空题

13．等差数列中，，，则_____________.

【答案】24

【分析】直接利用等差数列的性质即可.

【详解】因为为等差数列，所以，

所以.

故答案为：24

【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．

14．已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过和两点，则椭圆的标准方程为_______.

【答案】

【分析】设所求椭圆方程为：(，，)将和的坐标代入方程，即可得到答案；

【详解】设所求椭圆方程为：(，，)将和的坐标代入方程得：

，解得，

所求椭圆的标准方程为：.

故答案为：.

15．过椭圆（）的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为_______________.

【答案】##

【分析】先通过条件求出，再利用直角三角形中得到，代入字母计算即可.

【详解】令，得，解得，

则，

在直角三角形中，，

则，即，

代入得，

解得

故答案为：.

四、双空题

16．已知分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点．

（1）的值为________；

（2）若，且的面积为，求b的值为________．

【答案】     20     8

【分析】（1）根据椭圆的定义，直接求即可得解；

（2）根据焦点三角形的性质，利用面积公式结合余弦定理，即可得解.

【详解】（1）由知，

，

（2）设，

，

可得，

所以，

所以，

所以，

故答案为：（1）20；（2）8.

五、解答题

17．为等差数列的前项和，已知，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求，并求的最小值.

【答案】（1）；（2），时，的最小值为.

【解析】（1）利用等差数列的通项公式以及前项和公式求出，，代入通项公式即可求解.

（2）利用等差数列的前项和公式可得，配方即可求解.

【详解】（1）设的公差为 ，

由，，

即，解得，

所以.

（2），

，

所以当时，的最小值为.

18．已知圆.

（1）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；

（2）若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.

【答案】（1）或；（2）最大值2，直线的方程为或.

【解析】（1）圆的半径、圆心到弦的距离、弦长一半构成直角三角形，用点到直线的距离求得圆心到弦的距离得到答案，注意斜率分情况；

（2）圆心到直线的距离为，然后利用的面积求得最值得到及k，求得答案.

【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径，

直线被圆截得的弦长为，由勾股定理得到圆心到直线的距离

①当直线的斜率不存在时，，显然满足；

②当直线的斜率存在时，设，即，

由圆心到直线的距离得：，解得，故；

综上所述，直线的方程为或

（2）直线与圆相交，的斜率一定存在且不为0，设直线方程：，

即，则圆心到直线的距离为，

又的面积

当时，取最大值2，由，得或，

直线的方程为或.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的面积的最值及直线的方程.

19．已知双曲线的离心率为，抛物线（）的焦点为，准线为，交双曲线的两条渐近线于、两点，的面积为8.

(1)求双曲线的渐近线方程；

(2)求抛物线的方程.

【答案】(1)；

(2)．

【分析】小问1：根据双曲线的离心率，求得，进而求得渐近线方程；

小问2：求得抛物线的准线方程，联立解得点的坐标，结合面积公式求得的值，即可求解．

【详解】（1）由题意，双曲线的离心率为，

可得，解得，可得，

所以双曲线的渐近线方程为；

（2）由抛物线，可得其准线方程为，

代入双曲线渐近线方程得，，

所以，

则，解得，

所以抛物线的方程为．

20．在数列中，，，.

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求的前项和.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1），，变形为，，进而证明结论；

（2）由（1）可得：，再利用分组求和即可得出.

【详解】（1）证明：，，

.

又因为，

数列是首项为1，公比为5的等比数列，

（2）由（1）可得：，

，

的前项和

【点睛】方法点睛：数列求和的方法

（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法

（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；

（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；

（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列:或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；

（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.

21．已知数列的前项和为，且

（1）求和的值；

（2）证明数列是等比数列，并求出的通项公式；

（3）设，，求数列的前项和.

【答案】（1）；；（2）证明见解析，；（3）.

【解析】（1）根据已知条件，先求得，然后求得的值.

（2）利用化简已知条件，得到，由此证得数列是等比数列并求得其通项公式.

（3）先求得数列的通项公式，然后利用错位相减求和法求得.

【详解】（1），得，

当时，

∴，

解得.

（2）由，，

两式相减得：，

即，

所以数列是以首项为，公比为的等比数列，得.

（3），，

则=，

得3×，

上两式相减得 2×1+=，

得：.

【点睛】已知条件是和的关系的，可用来求通项公式.如果一个数列的结构是等差数列乘以等比数列，则数列求和采用错位相减求和法.

22．已知椭圆的一个顶点为，离心率为

（1）求椭圆的方程

（2）如图，过作斜率为的两条直线，分别交椭圆于，且证明：直线过定点并求定点坐标

【答案】（1）；（2）证明见解析，恒过定点．

【分析】（1）利用椭圆过点，以及离心率为．求出，，即可得到椭圆方程．（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，，然后求解．当直线斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立：，得，设，，，，利用韦达定理以及，得到与的关系，然后求解直线，恒过定点．

【详解】解：（1）椭圆过点，

可得，且离心率为．，解得，

所求椭圆方程为：

（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，，

，则，

当直线斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立：，

得，

设，，，，有

则

将式代入化简可得：，即，

直线，恒过定点.

【点睛】方法点睛：解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.