2022-2023学年江苏省盐城中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省盐城中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．过，两点的直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用斜率公式可求直线的斜率，从而可求直线的倾斜角.

【详解】设过，两点的直线的倾斜角为，，

∴，

可得.

故选：D.

2．已知双曲线的渐近线方程为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由双曲线方程求出其渐近线方程，再已知的渐近线方程可得，从而可求得结果.

【详解】解：双曲线的焦点在轴上，

其渐近线方程为，

由渐近线方程为，可得，

可得.

故选：A.

3．直线和直线互相垂直，则实数的值为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【分析】 ，，若，则，由上述公式可得结果.

【详解】解：由题意，得，

解得，

经检验，符合题意，故.

故选：B.

4．已知椭圆上一点的横坐标为，是椭圆的右焦点，则点到点的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由椭圆方程求得右焦点坐标，代入求得点纵坐标后，由两点间距离公式计算距离．

【详解】解：已知椭圆，

则，，则，，

椭圆的右焦点的坐标为，

将代入得，

则.

故选：D.

5．已知平面内两定点，，动点满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先设出点的坐标，代入，求出的方程之后可求.

【详解】设点坐标为，又，，

则，

即，

则点在以原点为圆心，半径为的圆上，

则表示点到圆上一动点的距离，

又，故点在圆内部，

则最小值为.

故选：A.

6．若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有（    ）

A．条 B．条 C．条 D．条

【答案】C

【分析】利用双曲线和双曲线渐近线的图像和性质求解即可.

【详解】直线，即恒过点，

又双曲线的渐近线方程为，

则点在其中一条渐近线上，

又直线与双曲线只有一个交点，

则直线过点且平行于或过点且与双曲线的右支相切，

即满足条件的直线有条.

故选：C

7．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】化简曲线方程，表示圆心为，半径为的圆在轴以及右侧的部分，由直线与曲线的交点个数可以确定的取值范围.

【详解】表示的曲线是圆心为，半径为的圆在轴以及右侧的部分，如图所示：

直线必过定点，

当直线与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，

即，结合直线与半圆的相切可得，

当直的斜率不存在时，即时，直线和曲线恰有两个交点，

所以要使直线和曲线有两个交点，

则.

故选：B.

8．已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意有，从而有，根据双曲线的定义得点的轨迹为是以F1、F2为焦点的双曲线．再写出其方程即可.

【详解】如图所示：

∵是圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，

∴，，

∵是圆上一动点，∴，∴，

∴，，，

∴点的轨迹为以F1、F2为焦点的双曲线，且，，得，

∴点的轨迹方程为.

故选：C.

二、多选题

9．已知直线过原点，且，两点到直线的距离相等，则直线方程可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】由题意先设出方程，根据已知条件建立方程解出直线的斜率即可

【详解】直线过原点，且，两点到直线的距离相等，

斜率必存在，设所求直线的方程为，

由已知及点到直线的距离公式可得：

，

解得或，

即所求直线方程为或.

故选：AC.

10．已知曲线，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则是椭圆，其焦点在轴上

B．若，则是双曲线，其渐近线方程为

C．若曲线为椭圆，其焦点为，则

D．若，则是两条直线

【答案】BD

【分析】根据椭圆的标准方程求解判断AC，根据双曲线的标准方程判断并求解判断B，代入求解判断D．

【详解】当时曲线可化为，

若，则是椭圆，其焦点在轴上，故选项A错误；

若，则是双曲线，其渐近线方程为，故选项B正确；

若曲线为椭圆，其焦点为，则，又，

∴，即，故选项C错误；

若，则为：或是两条直线，故选项D正确.

故选：BD.

11．设，为实数，已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．左焦点为

【答案】BCD

【分析】根据椭圆和双曲线同焦点，且两曲线均过P点，建立方程求出、，然后根据椭圆和双曲线的性质解题即可.

【详解】解：根据题意可知：，且

解得：，故A错误，B、C正确；

则，所以左焦点为，故D正确.

故选:BCD.

12．已知直线和曲线，点A是直线上的一个动点，点是曲线上的一个动点，过点A作曲线的两条切线，切点分别为､，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小值为

B．曲线上存在个点到直线的距离等于

C．若曲线上总存在点，使得，则A的横坐标的取值范围是

D．直线过定点

【答案】ACD

【分析】根据圆的切线长的计算公式结合圆心到直线的距离即可求得的最小值，判断A;结合A的分析可判断B;由曲线上总存在点，使得，可得，从而，设，可得不等式，求得x范围，判断C;由题意可知､两点在以为直径的圆上，求出以为直径的圆的方程，联立求得直线的方程，可推得直线所过的定点，判断D.

【详解】对于A:因为，所以最小时，最小.

因为当是点到直线的距离时，最小，最小值为，

因此最小为，故A正确；

对于B：由选项A知：点到直线的距离为，而圆的半径为，

因此曲线上存在个点到直线的距离等于，故B错误；

对于C：因为点A是直线上的一个动点，所以设，

因为曲线上总存在点，使得，所以，

因此，

又因为在中，，

所以，即，解得，

因此点A的横坐标的取值范围是，故C正确；

对于D:由题意过点A作曲线的两条切线，切点分别为､，

可知､两点在以为直径的圆上，

设，则为直径的圆的方程为，

和相减可得直线的方程，即，

即，由于，故由，得，

所以直线恒过定点，故D正确.

故选： .

【点睛】难点点睛：本题判断正误的难点在于C,D选项的判断，对于C选项，要能够根据曲线上总存在点，使得，明确，然后结合三角函数求解；对于D选项，要能够明确即为以为直径的圆和的公共弦，由此可求得直线的方程.

三、填空题

13．法国数学家蒙日发现：双曲线的两条互相垂直切线的交点的轨迹方程为：，这个圆被称为蒙日圆.若某双曲线对应的蒙日圆方程为，则___________.

【答案】2

【分析】根据题意写出双曲线对应的蒙日圆方程，可得出关于的等式，即可求得正数的值.

【详解】由双曲线的方程可得，

由蒙日圆的定义可得双曲线对应的蒙日圆方程，所以，即，

可得.

故答案为：2.

14．写出与圆和圆都相切的一条直线的方程：___________.

【答案】（或或任意填一个即可）.

【分析】先由两圆位置及半径讨论不存在平行于y轴的公切线，设，由圆心与线的距离与相切的关系列方程组求解即可.

【详解】根据题意设，圆心，半径；

，圆心，半径；

由两圆位置及半径显然不存在平行于y轴的公切线，

设，即，所以，解得或或

此时圆A与圆的公切线方程为或，

所以满足直线的方程为或或.

故答案为：（或或任意填一个即可）.

15．数学中有很多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，则曲线所围成的封闭图形的面积是___________.

【答案】

【分析】方程，对，分类讨论，画出图象即可得出面积.

【详解】方程，对，分类讨论，

①，时，化为：；

②，时，化为：；

③，时，化为：；

④，时，化为：；

所表示的曲线所围成的图形面积.

故答案为：.

16．已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为___________.

【答案】##

【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到最小值即为所求.

【详解】由直线与间的距离为得，过作直线垂直于，如图，

则直线的方程为：，将沿着直线往上平移个单位到点，有，

连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，有，即四边形为平行四边形，

则，即有，显然是直线上的点与点距离和的最小值，

因此的最小值，即的最小值，而，

所以的最小值为=

故答案为：

【点睛】思路点睛：（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程.

（2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径.

（3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗.

四、解答题

17．已知的三个顶点分别是，.

(1)求边所在直线的方程；

(2)求的面积.

【答案】(1)

(2)7

【分析】（1）根据两点式即可写出直线方程.

（2）利用两点之间距离公式和点到直线的距离公式即可求得三角形面积.

【详解】（1）由题可知，直线经过，，

∴其方程为，

化简得，

∴直线的方程为

（2），

点到直线的距离，

∴，

∴的面积为7.

18．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

(1)求椭圆的方程；

(2)设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线､的斜率分别为､，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

【答案】(1)

(2)是定值，定值

【分析】（1）根据离心率和点到直线距离公式即可得解；

（2）直线的方程为，代入椭圆方程，根据三点共线表示出P点坐标，同理表示出Q点坐标，算出斜率即可求解.

【详解】（1）（1）由题意得，解得，

故椭圆的方程为；

（2）设直线的方程为，，，

由得，

∴，，

由A､､三点共线可知，

∴

同理可得：，

故

，

因此､为定值.

19．已知圆经过点，，且圆心在直线上.

(1)求圆的方程；

(2)若平面上有两个点，，点是圆上的点且满足，求点的坐标.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）设出圆心，利用点到直线的距离公式即可求得圆的方程.

（2）根据已知条件求得满足的方程联立即可求得的坐标.

【详解】（1）∵圆心在直线上，

设圆心，

已知圆经过点，，则由，

得

解得，所以圆心为，

半径，

所以圆的方程为；

（2）设，

∵在圆上，∴，

又，，

由可得：，

化简得，

联立

解得或.

20．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

(1)求椭圆的方程；

(2)设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线､的斜率分别为､，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

【答案】(1)

(2)是定值，定值

【分析】（1）根据离心率和点到直线距离公式即可得解；

（2）直线的方程为，代入椭圆方程，根据三点共线表示出P点坐标，同理表示出Q点坐标，算出斜率即可求解.

【详解】（1）由题意得，解得，

故椭圆的方程为；

（2）设直线的方程为，，，

由得，

∴，，

由A､､三点共线可知，

∴

同理可得：，

故

，

因此为定值.

21．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球是指该球的球心点为，母球的球心沿直线运动.两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：

(1)如图1，设母球的位置为，目标球的位置为，要使目标球向处运动，求母球的球心运动的直线方程；

(2)如图2，若母球的位置为，目标球的位置为，让母球击打目标球后，能否使目标球向处运动？请说明理由.

【答案】(1)

(2)不能使目标球向处运动，理由见解析.

【分析】（1）由题意可求得点，所在的直线方程，设球的球心坐标为，列方程求得，即可求得答案;

（2）假设能使目标球向处运动，则由（1）知球需运动到处，且到达处前不与目标球接触，由此判断点B到直线的距离的大小范围，并与2比较，可得结论.

【详解】（1）点，所在的直线方程为，即，

如图，

可知，两球碰撞时，球的球心在直线上，且在第一象限，

设，两球碰撞时，球的球心坐标为，

此时，则 ，

解得，，

即，两球碰撞时，球的球心坐标，

所以母球的球心运动的直线方程为，即；

（2）假设能使目标球向处运动，

则由（1）知球需运动到处，且到达处前不与目标球接触.

如图，设与轴的交点为.

因为的斜率为，所以，

因为的斜率为，

所以，所以为锐角，

过点作于点，

因为，所以，

所以球的球心还未到直线上时，就会与目标球接触，

所以不能使目标球向处运动.

22．已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且.

(1)求椭圆的离心率；

(2)椭圆的上顶点为，不过的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

【答案】(1)

(2)直线恒过定点，定点坐标为

【分析】（1）设椭圆的右焦点为，连接，，然后在由条件可得，，，然后利用余弦定理求解即可；

（2）首先求出椭圆的方程，然后由可推出，然后设直线的方程为，，，联立直线与椭圆的方程消元表示出 、，然后由求出的值可得答案.

【详解】（1）

设椭圆的右焦点为，连接，

根据椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形.

又，所以

而，所以，

在四边形中，，

所以，

在中，根据余弦定理得

即

化简得.

所以椭圆的离心率；

（2）

因为椭圆的上顶点为，所以，所以，

又由（1）知，解得，

所以椭圆的标准方程为.

在中，，，

所以，从而，

又为线段的中点，即，所以，

因此，从而，

根据题意可知直线的斜率一定存在，设它的方程为，，，

联立消去得①，

，

根据韦达定理可得，，

所以

所以，

整理得，解得或.

又直线不经过点，所以舍去，

于是直线的方程为，恒过定点，

该点在椭圆内，满足关于的方程①有两个不相等的解，

所以直线恒过定点，定点坐标为.