2022-2023学年辽宁省大连市第三十六中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年辽宁省大连市第三十六中学高二上学期期中数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省大连市第三十六中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．点关于平面对称的点为，则点的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由空间中的点关于坐标平面的对称点可得结果.【详解】点关于平面对称的点为.故选：B.2．若直线的方向向量是，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直线的斜率，求出的取值范围，求出的取值范围即可.【详解】解：因为直线的方向向量是，所以直线的斜率，因为，所以，又直线的倾斜角，，所以或，即.故选：C.3．已知在四面体中，分别是的中点，设，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合图像，利用空间向量的线性运算即可得到结果.【详解】连接，如图，因为，，分别是的中点，所以.故选：D.4．若直线与直线平行，则（    ）A．或 B． C． D．0【答案】C【分析】根据两直线平行得到关系式，求出的值.【详解】由题意得：，且，解得：.故选：C5．已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量共面定理，结合向量运算，整理可得系数的方程组，求得参数，可得答案.【详解】四点共面的充要条件是，，整理可得，由，则，解得，故选：A.6．已知圆：与圆：相外切，则的最大值为（　　）A．2 B． C． D．4【答案】A【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由两圆外切可得，要使取得最大值，则，同号，不妨取，，然后利用基本不等式求得的最大值.【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，由圆C1与圆C2相外切，得即，∴；要使取得最大值，则，同号，不妨取，，由基本不等式，得，当且仅当时等号成立，∴ab的最大值为2．故选：A7．在二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内且都垂直于，若，则此二面角的大小为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将向量转化成，然后等式两边同时平方表示出向量的模，再根据向量的数量积求出向量与的夹角，而向量与的夹角就是二面角的补角．【详解】解：如图，由题知．，，即，∴二面角的大小为，即故选：C．8．在三棱锥中，平面是正三角形，是棱上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，利用空间向量求解即可.【详解】解：因为平面是正三角形，所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，因为所以，，，所以，因为，，所以，所以，，即所以，，所以，，所以，异面直线与所成角的余弦值为.故选：B 二、多选题9．下列命题中，表述不正确的是（    ）A．若向量共线，则向量所在的直线平行B．若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面C．若三个向量两两共面，则向量共面D．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底【答案】ABC【分析】根据向量共线共面的判断，对选项逐一判断即可.【详解】选项A，向量共线，则向量所在的直线平行或重合，故A错误；选项B，根据自由向量的意义知，空间任意两个向量都共面，故B错误.选项C，由B，三个向量两两共面，但是不一定共面，选项D，已知向量是空间的一个基底，若，则向量不共面，所以可以作为向量的一组基底.故选：ABC10．下列命题中，表述正确的是（    ）A．直线恒过定点B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1C．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，为切点，则直线经过定点【答案】BD【分析】将直线的方程进行整理利用参数分离即可判断选项A；根据圆心到直线的距离与半径的关系比较即可判断选项B；直线过定点，数形结合得判断选项C；设出点坐标，求出以线段为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减即可得直线的方程，即可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】解：对于选项A：由可得：，由可得，所以直线恒过定点，故选项A不正确；对于选项B：圆心到直线的距离等于，圆的半径，平行于且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切，所以，圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，故选项B正确；对于选项C：由题知直线过定点，曲线表示以为圆心，为半径的圆在直线及上方的半圆，如图，直线为过点，与半圆相切的切线，切点为，所以，要使直线与曲线有两个不同的交点，则，所以，当直线与半圆相切时，有，解得，即因为，所以实数的取值范围是，故C选项错误；对于选项D：设点坐标为，所以，即，因为、分别为过点所作的圆的两条切线，所以，，所以点在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为，整理可得：，与已知圆相减可得，消去可得：，即，由可得，所以直线经过定点，故选项D正确.故选：BD11．已知直线，圆，则下列选项中正确的是（    ）A．圆心的轨迹方程为B．时，直线被圆截得的弦长的最小值为C．若直线被圆截得的弦长为定值，则D．时，若直线与圆相切，则【答案】BC【分析】首先表示出圆心坐标，即可判断A，再求出直线过定点坐标，由弦长公式判断B，求出圆心到直线的距离，当距离为定值时，弦长也为定值，即可判断C，求出圆心到直线的距离，即可判断D；【详解】解：圆的圆心坐标为，所以圆心的轨迹方程为，故A错误；直线，令，解得，即直线恒过点，当时圆，圆心为，半径，又，所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故B正确；对于C：若直线被圆截得的弦长为定值，则圆心到直线的距离为定值，所以，解得，故C正确；对于D：当时直线，圆心到直线的距离，若直线与圆相切，则，故D错误；故选：BC12．在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列说法中正确的是（    ）A．平面B．点到平面的距离为定值C．异面直线与所成角的正弦值的取值范围为D．平面与底面所成角正弦值的取值范围为【答案】ACD【分析】A选项，证明出平面平面，从而得到线面平行；B选项，建立空间直角坐标系，结合A选项证明出的面面平行，只需求出点到平面的距离即可；C选项，设，，设异面直线与所成角为，利用空间向量求出的余弦值的取值范围，进而求出正弦值的取值范围.D选项，设平面与底面所成角为，则，利用空间向量求出的余弦值的取值范围，进而求出正弦值的取值范围.【详解】如图1，因为，所以四边形为平行四边形，故，同理可证，因为平面，平面，所以平面，同理可知平面，因为，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，A正确；, B选项，由A选项知：平面平面，故点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，如图2，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，则，故，所以点到平面的距离，故点到平面的距离为定值，B错误；设，，设异面直线与所成角为，则，因为，所以，则，异面直线与所成角的正弦值的取值范围为，C正确；如图3，设平面与底面所成角为，则，设平面的法向量为，则，设，则，所以，平面的法向量为，则，因为，所以，所以故平面与底面所成角正弦值的取值范围为，故D正确.故选：ACD 三、填空题13．已知向量，则以为邻边的平行四边形的面积为__________.【答案】【分析】利用空间向量夹角余弦公式求出，故，从而得到以为邻边的平行四边形为矩形，利用向量模长求出面积.【详解】，故，故以为邻边的平行四边形为矩形，面积为.故答案为：14．已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________.【答案】且【分析】根据已知条件及向量的线性运算的坐标表示，再利用向量的数量积的坐标运算及向量平行的坐标表示即可求解.【详解】因为，所以，，因为向量与的夹角为锐角，所以，解得，当时，，解得，所以实数的取值范围为且.故答案为：且.15．在直三棱柱中，是棱上的动点.记直线与平面所成角大小为，与直线所成角大小为，则与的大小关系是__________.【答案】【分析】法一：先由线面角的定义结合图形得到，再由线线角的定义结合图形得到（其中注意重合的情况），由垂线最短得到，从而得到.法二：由线面角的定义可知，该角是线与面内所有直线所成角中的最小角，由此可判断.【详解】法一：连接，如图，因为在直三棱柱中，平面，故为直线直线与平面所成角，即，故而，过向作垂线，垂足为，若与重合，则直线与直线所成的角为，即，此时显然有，若与不重合，则为直线与直线所成的角，即，故而，因为是平面的垂线，故而，所以，即，又因为，所以.法二：由线面角的定义可知，该角是线与面内所有直线所成角中的最小角，故.故答案为：..  16．已知点，圆上两点满足，则的最小值为__________.【答案】49【分析】根据，得到M，P，N三点共线，设线段MN的中点为，利用点差法得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，再根据点M，N到直线的距离和等于点到直线的距离的2倍求解.【详解】解：因为，所以M，P，N三点共线，因为圆过两点，所以M，N是过点的直线与圆的交点，设线段MN的中点为，由，得，化简得，表示点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，则点到直线的距离的最小值为，因为点M，N到直线的距离和等于点到直线的距离的2倍，所以，故答案为：49. 四、解答题17．在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，边上的高线所在的直线方程为,的角平分线所在直线方程为.(1)求点的坐标；(2)求直线的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用直线的斜截式方程及两直线垂直关系，结合直线的点斜式方程及两直线相交求交点坐标的方法即可求解.（2）利用角平分线的性质及点关于线对称，再根据（1）的结论及直线的两点式方程即可求解.【详解】（1）由，得，所以直线的斜率为，因为,所以，即，所以直线的直线方程为：，即，由，解得.所以点的坐标为.（2）由题意根据内角平分线的性质，可得关于直线的对称点在直线上.设，则由和垂直，且的中点在上，可得，解得，所以，所以直线的方程为，即.18．如图，在四棱锥中，底面，底面四边形为菱形且，，为的中点，为的中点.(1)证明：直线平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值；(3)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）（2）（3）作于点，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；【详解】（1）证明：作于点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图空间直角坐标系．则，，，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，，即，取，解得； 所以，平面，平面；（2）解：设与所成的角为，，， ， 与所成角的余弦值为；（3）解：设点到平面的距离为，则为向量在向量上的投影的绝对值，由，得，所以点到平面的距离为．19．在①圆心在直线上，是圆上的点；②圆过直线和圆的交点.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.问题：已知在平面直角坐标系中，圆过点，且__________.(1)求圆的标准方程；(2)求过点的圆的切线方程.【答案】(1)若选①：；若选②：(2)若选①：；若选②： 【分析】（1）若选①：求中垂线的直线方程，联立求的圆心的坐标，结合两点直线距离公式求得半径，可得答案；若选②：设出圆的一般式方程，联立两圆的一般式方程，求得公共弦所在直线方程，由已知直线方程，可化简整理圆的方程，代入点，可得答案.（2）由（1）所得的圆的方程，求得圆心坐标，利用切线的性质，结合垂直直线斜率的关系，可得答案.【详解】（1）若选①：由，，则线段的中点，直线的斜率，线段的中垂线的斜率，则该中垂线的直线方程为，整理可得，联立可得，解得，则圆心，半径，故圆的标准方程为.若选②：设圆，由题意可知，直线是圆与圆的公共弦所在的直线的直线方程，联立，作差可得，则，即，即整理可得圆，将代入，可得，解得，故圆.（2）若选①：由（1）可得：圆的标准方程为，则圆心，直线的斜率，则过点的圆的切线的斜率，即切线方程，整理可得.若选②：由（1）可得圆，整理可得，则圆心，直线的斜率，则过点的圆的切线的斜率，即切线方程，整理可得.20．如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，是的中点.(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据题意利用面面垂直得性质定理可证平面，再结合线面垂直得判定定理证明.（2）根据题意建系，先求平面的法向量，再根据运算处理.【详解】（1）证明：连接，因为四边形是菱形，则，因为 ，故为正三角形，所以，因为平面平面，而平面平面=，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，，所以，又，、平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）解：连接，因为，，是的中点，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，设，因为，以为原点， 所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，则，设平面的法向量为，则满足，取得 设直线与平面所成的角为，.所以直线与平面所成角的正弦值.21．如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.(1)求证：平面；(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.【答案】(1)证明见解析(2)存在，点是线段的中点 【分析】（1）作出辅助线，得到，，从而得到线面垂直，得到面面垂直，再由，面面垂直的性质得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设出的坐标，求出平面的法向量，从而列出方程，求出的值，确定点位置.【详解】（1）证明：连接，取线段的中点，连接，在Rt中，，，在中，，由余弦定理可得：，在中，，又平面，平面，又平面∴平面平面，在中，，∵平面平面平面，平面.（2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，平面的法向量，在平面直角坐标系中，直线的方程为，设的坐标为，则，设平面的法向量为，，所以，令，则，由已知，解之得：或9（舍去），所以点是线段的中点.22．在平面直角坐标系中，已知两个定点，曲线上动点满足.(1)求曲线的方程；(2)过点任作一条直线与曲线交于两点不在轴上），设，并设直线和直线交于点.试证明：点恒在一条定直线上，并求出此定直线方程.【答案】(1)(2)证明见解析； 【分析】（1）设，进而根据距离公式整理化简即可；（2）由题知直线斜率存在，设其方程为，设，进而结合直线和直线方程联立得，再结合韦达定理整理化简得，进而得答案.【详解】（1）解：设，因为两个定点，曲线上动点满足.所以，整理得：，所以，曲线的方程为（2）解：因为过点任作一条直线与曲线交于两点不在轴上），所以，直线斜率存在，设其方程为，设，因为，所以直线方程为，直线的方程为，所以，联立方程得得因为，所以，联立方程得，所以，， 所以，即所以，将代入整理得：，所以，点恒在定直线上.