2022-2023学年辽宁省沈阳市同泽高级中学高二上学期12月月考数学试题（解析版） (1)

2022-2023学年辽宁省沈阳市同泽高级中学高二上学期12月月考数学试题

一、填空题

1．将4封信投入3个不同邮筒，且4封信全部投完，不同的投法有______种

【答案】81

【分析】由题可知每一封信有3种投法，根据分步计数原理即得.

【详解】根据题意，将4封信投入3个不同邮筒，每一封信有3种投法，

所以将4封信投入3个不同邮筒，且4封信全部投完，不同的投法有种.

故答案为：81.

2．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为_________.

【答案】150

【详解】满足条件的方案种数为种.

3．为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有______种

【答案】210

【分析】根据题意先求出甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，共有多少种情况，减去所选活动课程完全相同的选法种数，可得答案

【详解】甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加各有6种选法，共有种选法，

其中甲、乙、丙3名同学所选活动课程完全相同的选法共6种，

则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有种，

故答案为：

4．将编号为1、2、3、4、5的小球放入编号为1、2、3、4、5的五个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为______

【答案】20

【分析】从5个盒子中选出2个盒子，放入编号相同的球，共有种选法；剩余的3个球放入3个盒子中，共有种；根据乘法原理得到答案.

【详解】从5个盒子中选出2个盒子，放入编号相同的球，共有种选法；

剩余的3个球放入3个盒子中，编号不能相同，共有种；

故共有种放法.

故答案为：20

5．有6名男运动员，4名女运动员，其中男、女队长各1名，选派4人外出比赛，既要有队长，又要有女运动员，选派方法有______种

【答案】130

【分析】分类讨论男女队长的个数即可求解.

【详解】①只有男队长，没有女队长：

种，

②只有女队长，没有男队长：

种，

③男、女队长都有，

种，

所以共有46+56+28=130种.

故答案为：130.

6．给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有5种颜色可供选择，则共有_______种不同的染色方案．

【答案】

【分析】首先根据使用的颜色种类分为三类，再对每种情况进行分类讨论，使用分步乘法以及分类加法即可求解.

【详解】由题意可知，若满足相邻区域不同色，最少需要三种颜色，最多需要五种颜色.

当有3种颜色时，则同色，同色，同色，此时的涂色种类为种.

当有4种颜色时，则有三种情况：①不同色，同色，同色，此时涂色种类为种；②同色，不同色，同色，此时涂色种类为种；③同色，同色，不同色，此时涂色种类为种；即当有4种颜色时，总的涂色种类为种.

当有5种颜色时，则有三种情况：①不同色，不同色，同色，此时涂色种类为种；②同色，不同色，不同色，此时涂色种类为种；③不同色，同色，不同色，此时涂色种类为种；即当有5种颜色时，总的涂色种类为种.

综上，总的共有种不同的方案.

故答案为：

7．有8个座位连成一排，现有5人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有___________(用数字作答).

【答案】3600

【分析】由题可得恰有两个空座位相邻，即有1个空位与这2个空位不相邻，则可将2个相邻空位捆绑在一起，与另一个空位进行插空.

【详解】由题可得恰有两个空座位相邻，即有1个空位与这2个空位不相邻，则可将2个相邻空位捆绑在一起，与另一个空位进行插空.

分两步进行：

先将5人全排列，有种情况，

将“两个”空位进行插空，有种情况，

则恰有两个空座位相邻的不同坐法有种.

故答案为：3600.

8．某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有______种不同的排法

【答案】96

【分析】根据题意,先排数学，再用捆绑法排物理和化学，最后与剩下的3节随意安排即可求得.

【详解】根据题意,先排数学，有种；物理和化学相邻排，用捆绑法，有种；再与剩下的3节随意安排,有种安排方法

所有符合条件的排法总数为.

故答案为：96.

9．10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法有______种

【答案】420

【分析】先从7个人中选2人调整到前排，再把2人在5个位置选2个进行排列，按照乘法计数原理计算即可.

【详解】先从7个人中选2人调整到前排有种选法，

调整后前排有5个人，把2人在5个位置选2个进行排列由种站法，

其他3人的相对顺序不变站到剩余3个位置，

按照乘法计数原理得总共有种方法.

故答案为：420

10．北京时间2022年11月30日7时33分，神舟十五号航天员乘组在载人飞船与空间站组合体成功实现对接后，从飞船返回舱进入轨道舱，并与神舟十四号航天员乘组“胜利会师”，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验的安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有______种

【答案】44

【分析】首先求出总的方案种数，再求出甲乙在一起的情况，相减即可求得甲乙不在一起的情况.

【详解】由题意，要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验的安排1人，共有种方案；

若甲乙两人同时在天和核心舱，则有种方案；若甲乙两人同时在问天实验舱，则有种方案.

所以甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则有种.

故答案为：44

11．我校去年11月份，高二年级有9人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有______种不同的选法

【答案】216

【分析】根据题意可按照只会跳舞的2人中入选的人数分类处理，按照分步乘法，分类加法即可得解.

【详解】根据题意可按照只会跳舞的2人中入选的人数分类处理.

第一类：2个只会跳舞的都不选，有种;

第二类：2个只会跳舞的有1人入选，有种;

第三类：2个只会跳舞的全入选，有种,

所以共有216种不同的选法,

故答案为：216.

12．4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为______

【答案】336

【分析】根据题意，利用间接法，先分析全部的排法，再排除其中两个1的情况，进而即得.

【详解】依题意，不考虑数字的重复问题，4张卡片排成一排，可以组成种情况，

其中若两张卡片都是1，有种情况，

所以将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为.

故答案为：336.

13．在正方体的8个顶点中，任意两点可连成直线，其中异面直线有______对．

【答案】174

【分析】求出从正方体的8个顶点中任意取出4个顶点，共面的情况种数，得到不在同一平面上的4个顶点的方法种数，再由空间不在同一平面上的4个点，可以组成3对异面直线，可得答案．

【详解】从正方体的8个顶点中任意取出4个顶点，共面的情况有6＋6＝12种，

从正方体的8个顶点取出不在同一平面上的4个顶点，方法种数有－12＝58，

而空间不在同一平面上的4个点，可以组成3对异面直线，

所以在正方体的8个顶点中，任意两点可连成直线，其中异面直线有58×3＝174对．

故答案为：174．

14．甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五项不同的工作，每项工作由一人完成，每人至少完成一项，且E工作只有乙能完成，则不同的安排方式有______种．

【答案】50

【分析】因为E工作只有乙能完成，所以分为两类，①乙只完成E工作②乙不止完成E工作，再利用两个原理及排列组合的知识即可求得

【详解】由题意可分为两类

（1）若乙只完成E工作，即甲、丙二人完成A，B，C，D，四项工作，则一共有种安排方式

（2）若乙不止完成E工作，即甲、乙、丙三人完成A，B，C，D，四项工作，则一共有

种安排方式

综上共有种安排方式

故答案为：50

15．有10本相同的书要送给5位同学，其中甲，乙两位同学至少2本，其余每人至少一本，则不同的分配方案有________种（用数字作答）．

【答案】35

【分析】先分给5位同学每人1本，然后利用“隔板法”把余下的5本分成2份，3份，4份，5份四种情况，分别求出种类数，然后相加即可.

【详解】解：先分给5位同学每人1本，因为甲，乙两位同学至少2本，所以剩余的5本至少分成两份，利用“隔板法”分法如下：

分成两份，给甲，乙，共种分法；

分成三份，给甲，乙，和另一名学生共种分法；

分成四份，给甲，乙，和另两名学生共种分法；

分成五份，五名学生再每人1本共1种分法；

所以共种．

故答案为：35.

16．用数字组成______个没有重复数字并且是的倍数的五位数

【答案】

【分析】分别讨论末位为和末位为的情况，结合分类加法计数原理可求得结果.

【详解】若末位为，则可组成个满足题意的五位数；若末位为，则可组成个满足题意的五位数；

共可组成满足题意的五位数有：个.

故答案为：.

17．某校三位同学报名参加数、理、化、生四门学科竞赛，每人必须报两门，由于数学是该校优势学科，所以至少有两人参赛，若要求每门学科都要有人报名，则不同的参赛方案有______种

【答案】51

【分析】由题至少两人报名数学竞赛，故可分为：两人报名数学竞赛和三人报名数学竞赛两种情况来解题．

【详解】若三人有两人报名数学竞赛，并且两人选报的学科都相同，则共有种情况，

若这两个人选报的另外的学科不同，则共有种情况，

若三个人全部都报名数学竞赛，则共有种情况，

所以不同的参赛方案有：种情况，

故答案为：51

18．小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字．如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒．若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数有______个

【答案】20

【分析】根据表示数字的火柴棒的根数分类讨论，结合排列组合即可求解．

【详解】由题意可得，用2根火柴棒表示数字1，3根火柴棒表示数字7，4根火柴棒表示数字4，5根火柴棒表示数字2，3或5，6根火柴棒表示数字6或9，7根火柴棒表示数字8，

数字不重复，因此8根火柴棒只能分成两类：2和6，3和5，组成两个数字，还有数字只能为0，

这样组成的无重复数字的三位数个数为：．

故答案为：20

二、解答题

19．已知三棱柱中，.

(1)求证: 平面平面.

(2)若，在线段上是否存在一点使平面和平面所成角的余弦值为 若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

(2)在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点.

【分析】(1)连接，根据给定条件证明平面得即可推理作答.

(2)在平面内过C作，再以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断作答.

【详解】（1）在三棱柱中，四边形是平行四边形，而，则是菱形，连接，如图，

则有，因，，平面，于是得平面，

而平面，则，由得，，平面，

从而得平面，又平面，

所以平面平面.

（2）在平面内过C作，由(1)知平面平面，平面平面，

则平面，以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，

因，，则，

假设在线段上存在符合要求的点P，设其坐标为，

则有，设平面的一个法向量，

则有，令得，而平面的一个法向量，

依题意， ，化简整理得：

而，解得，

所以在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点，使平面和平面所成角的余弦值为.

20．设椭圆：（）的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知过的直线与椭圆交于、两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值.

【答案】（1）；（2）6.

【分析】（1）本小题根据题意先求，，，再求椭圆的标准方程；

（2）本小题先设过的直线的方程，再根据题意表示出四边形的面积，最后求最值即可.

【详解】解：（1）∵ 椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4，

∴ 即，

∵ ，∴ ，

又∵ ，∴ .

∴ 椭圆的标准方程为；

（2）设点、的坐标为，，

因为直线过点，所以可设直线方程为，

联立方程，消去可得：，

化简整理得，

其中，

所以，，

因为，所以四边形是平行四边形，

设平面四边形的面积为，

则，

设，则（），

所以，

因为，所以，，

所以四边形面积的最大值为6.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程，相交弦等问题，是偏难题.

21．如图，已知抛物线的焦点为F，点为坐标原点，一条直线过定点与抛物线相交于A，B两点，且.

(1)求抛物线方程；

(2)连接AF，BF并延长交抛物线于C，D两点，求证：直线CD过定点

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）设直线的方程为，联立方程组得到，结合，列出方程求得的值，即可求得抛物线的方程；

（2）设直线的方程为，联立方程组求得，同理得到，由（1）求得，设直线的方程为，联立方程组，根据，求得的值，即可求解.

【详解】（1）解：设直线的方程为，直线与抛物线的交点分别为，

联立方程组，整理得，

所以，

因为，可得，即，

所以，即，即，解得，

所以抛物线的方程为.

（2）解：设点的纵坐标分别为，

设直线的方程为，

联立方程组，整理得，所以，

同理可得：，

由（1）知，所以，

设直线的方程为，

联立方程组，整理得，

则有，解得，即直线的方程为，

所以直线恒过点.