2022-2023学年辽宁省抚顺市六校协作体高二上学期期中考试数学试题

高二数学试卷

考生注意：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一册至第二章2.3圆及其方程。

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.直线绕原点逆时针旋转90°后所对应的直线斜率为

A.-1   B.   C.   D.1

2.已知的三个顶点分别为，，，则边上的中线长为

A.   B.   C.   D.

3.如图，在四面体OABC中，G是BC的中点.设，，，则

A.   B.

C.   D.

4.圆：与圆：的公切线有

A.1条   B.2条   C.3条   D.4条

5.空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为

A.   B.   C.3   D.

6.如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，，且，M为BC的中点，则点B到平面PAM的距离为

A.   B.   C.   D.

7.已知圆：，过直线：上一点P向圆作切线，切点为Q，则的最小值为

A.5   B.   C.   D.

8.台风中心从M地以每小时30km的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市N在M地正西方向60km处，则城市N处于危险区内的时长为

A.1h   B.   C.2h   D.3h

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知直线：，则下列选项中不正确的有

A.直线的倾斜角为     B.直线的斜率为

C.直线的一个法向量为   D.直线的一个方向向量为

10.设直线：与：，则

A.当时      B.当时

C.当时，，间的距离为  D.坐标原点到直线的距离的最大值为

11.若关于的方程有唯一解，则的取值可能是

A.   B.1   C.   D.

12.如图，正方体的棱长为2，E，F，G分别是棱BC，，的中点，则下列选项中不正确的是

A.平面A        B.平面

C.平面截该正方体所得的截面面积为   D.三棱锥的体积为

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上.

13.直线：被圆：截得的弦长为__________.

14.在直三楼柱中，，，，M是的中点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与夹角的余弦值为__________.

15.写出到原点及点的距离分别为2，3的一条直线的方程__________.

16.一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则入射点的坐标为__________，反射光线所在直线在y轴上的截距为__________.（本题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知直线：，直线：.

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的值.

18.（12分）

如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，Q为PC的中点.

（1）用，，表示；

（2）若底面ABCD是正方形，且，，求.

19.（12分）

已知圆经过点，，.

（1）求圆的标准方程；

（2）过点向圆作切线，求切线方程.联

20.（12分）

如图，在直三棱柱中，，，.

（1）证明：.

（2）求二面角的余弦值.

21.（12分）

如图①，在平面多边形ABCDE中，，为等腰直角三角形，四边形ABCD为等腰梯形，且，沿AD将折起，使得，M为BC的中点，连接AM，BD，如图②.

（1）证明：.

（2）求直线DE与平面BEM所成角的正弦值

22.（12分）

已知圆：，过点的直线与圆交于A，B两点，O为坐标原点

（1）当直线的斜率为-4时，求的面积.

（2）若直线的斜率为k，直线OA，OB的斜率为，.

①求k的取值范围，

②试判断的值是否与k有关?若有关，求出与k的关系式；若无关，请说明理由.

高二数学试卷参考答案

1.A直线的斜率为1，倾斜角为45°，所以绕原点逆时针旋转90°后所对应直线的倾斜角为135°，斜率为.

2.B因为BC的中点坐标为，所以BC边上的中线长为.

3.B.

4.B因为圆M的圆心为，圆N的圆心为，所以.因为圆M的半径，圆N的半径，

所以，所以圆M与圆N相交，故公切线有2条.

5.A因为，所以的一个单位方向向量为.

因为），所以点P到直线MN的距离为.

6.D因为，，，所以直线DA，DC，DP两两互相垂直.以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，.

设平面PAM的法向量为，则

令，得，所以点B到平面PAM的距离.

7.C记圆心到直线的距离为，则.

因为，所以当直线与CP垂直，即时，最小，故.

8.C如图，建立平面直角坐标系，过点N作于E.以点N为圆心，为半径的圆交MQ于P，Q，连接NP，NQ.在中，.因为，所以，所以，故N城市处于危险区域的时长为.

9.ABC因为直线的斜率为，倾斜角为，所以A，B不正确；因为，所以直线的一个方向向量为，故C不正确，D正确.

10.ACD若，则，解得或，当时，，重合，当时，，此时的方程为，的方程为，所以，间的距离为，故A，C正确；若，则，解得或，故B不正确；

由得所以恒过点，所以坐标原点到直线的距离的最大值为，故D正确.

11.AD由题意可知关于的方程有唯一解，即曲线（以原点为圆心的单位圆的上半部分）与直线有唯一公共点.当直线经过点时，；当直线经过点时，；若直线与曲线相切，则，得，数形结合可知，的取值范围是.

12.ABD以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，

所以，，，.

设平面的法向量为，

则令，得.

因为与不平行，所以与平面AEF不垂直，故A错误.

因为，所以与平面不平行，故B错误.

平面截该正方体所得的截面为梯形，因为，，，

所以截面面积为，故C正确.

因为，所以到平面的距离.

因为，所以，故D错误.

13.记圆心到直线的距离为，则.

因为圆的半径为，所以直线被圆截得的弦长为.

14.设，则，，，，，.

因为，所以，得.

因为，，所以，故异面直线与夹角的余弦值为.

15.或或（注意只需从这三条公切线中选择一条作答即可）记以原点为圆心，2为半径的圆为圆，则圆的方程为.以M为圆心，3为半径的圆为圆M，则圆M的方程为.

因为，所以圆与圆M相外切，所以符合题意的直线即为圆与圆M的公切线，共有三条.作图（图略）观察易知，其中一条公切线的方程为.将两圆方程相减得，得到第二条公切线.设第三条公切线的方程为，则，.因为，所以.因为，所以，平方整理得，所以或，解得（舍去）或，所以，所以第三条公切线的方程为，即.

16.；入射光线所在直线的方程为，即，联立方程组解得即入射点的坐标为.设P关于直线对称的点为，则解得即.因为反射光线所在直线经过入射点和，所以反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在直线的方程为，令，得，即反射光线所在直线在轴上的截距为.

17.解：（1）因为，所以，

整理得，

解得或.

当时，：，：，，重合；

当时，：，：，符合题意.

故.

（2）因为，所以，

整理得，

解得或.

18.解：（1）

.

（2）因为，

所以

，

故.

19.解：（1）设圆M的方程为，

则

解得，，，

所以圆M的方程为，

故圆M的标准方程为.

（2）当切线斜率不存在时，切线方程为.

当切线斜率存在时，设切线方程为，即.

由，解得，

所以切线方程为，即.

综上所述，所求切线方程为或

20.（1）证明：因为三棱柱是三棱柱，所以平面，平面，所以.

又，，

平面，所以平面.

因为平面，所以.

（2）解：如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，

所以，，

设平面的法向量为，

则

令，得.

设平面的法向量为，

则

令，则，

所以.

因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.

21.（1）证明：因为，所以，

又，，

所以平面ABCD，所以.

连接AC，MD，由，且，，

可知四边形为菱形，所以.

因为，所以平面，故.

（2）解：由（1）可知四边形为菱形，

，因此为正三角形.

因为，，，，

所以AB，AE，AC两两垂直.

如图所示，以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，，

设平面的法向量为，

则令，得.

设直线DE与平面BEM所成的角为，

则，

故直线DE与平面BEM所成角的正弦值为.

22.解：（1）当直线的斜率为-4时，直线的方程为.

因为圆心到直线的距离，

所以，

所以

（2）直线的方程为.

①因为与圆相交，所以圆心到直线的距离，

得，即的取值范围是

②设，，

联立方程组

得，

所以，.

因为，

所以，

即为定值，与直线的斜率无关.