2022-2023学年辽宁省鞍山市普通高中高二上学期第三次月考数学（B卷）试题（含答案）

2022—2023学年度上学期月考试卷

高二数学（B）

时间：120分钟满分：150分

范围：选择性必修一

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案）

1.三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（）

A.  B.  C.  D.

2.椭圆的长轴长为（）

A.4 B.6 C. 16 D.8

3.已知，，若，则实数的值为（）

A.－2 B.  C.  D. 2

4.抛物线的准线过双曲线的左焦点，则双曲线的虚轴长为（）

A.8 B. C.2 D.

5.已知直线l：与圆C：，则C上各点到l距离的最小值为（）

A. B. C. D.

6.如图，在正方体中，E为AB的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）

A.  B.  C.  D.

7.已知P是圆：上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点Q，则Q点的轨迹方程为（）

A.  B.  C.  D.

8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点A的坐标为，点P是双曲线在第二象限的部分上一点，且，点Q是线段的中点，且，Q关于直线PA对称，则双曲线的离心率为（）

A. 3 B. 2 C.  D.

二、多项选择题（本大题共4小题，共20分；全选对5分，有选错的0分，部分答对2分）

9.已知两条直线：，：，则下列结论正确的是（）

A.当时，  B.若，则或

C.当时，与相交于点 D.直线过定点

10.对于曲线C：，下面说法正确的是（）

A.若，曲线C的长轴长为4

B.若曲线C是椭圆，则k的取值范围是

C.若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是

D.若曲线C是椭圆且离心率为，则k的值为或

11.设m，n为实数，已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则下列说法正确的是（）

A. B. C. D.左焦点为

12.已知圆M：，直线l：，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别于圆M切于点A，B，则下列说法正确的是（）

A.四边形PAMB的面积最小值为 B.最短时，弦AB长为

C.最短时，弦AB直线方程为 D.直线AB过定点

三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13.已知圆与直线相交于A、B两点，则______.

14.已知平面的法向量是，平面的法向量是，且，则实数x的值为______.

15.已知双曲线被直线截得的弦AB，弦的中点为，则直线AB的斜率为______.

16.已知点M，N分别是抛物线C：和圆D：上的动点，M到C的准线的距离为d，则的最小值为______.

四、解答题（本大题共6小题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分）

已知直线：，直线过点，______.在①直线的斜率是直线的斜率的2倍，②直线不过原点且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题.

（1）求的方程；

（2）若与在x轴上的截距相等，求在y轴上的截距.

18.（本题满分12分）如图，已知长方体，，，直线BD与平面所成的角为，AE垂直BD于E，F为的中点.

（1）求异面直线AE与BF所成的角的余弦；

（2）求点A到平面BDF的距离.

19.（本题满分12分）已知圆C经过点，，且圆心在直线上.

（1）求圆C的方程；

（2）若平面上有两个点，，点M是圆C上的点且满足，求点M的坐标.

20.（本题满分12分）

已知抛物线：的焦点与双曲线：右顶点重合.

（1求抛物线的标准方程；

（2）设过点的直线l与抛物线交于不同的两点A、B，F是抛物线的焦点，且，求直线l的方程.

21.（本题满分12分）已知椭圆E：，点P为E上的一动点，，分别是椭圆E的左、右焦点，的周长是12，椭圆E上的点到焦点的最短距离是2.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的动直线l与椭圆交于P，Q两点，求面积的最大值及此时l的方程.

22.（本题满分12分）

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知，，.

（1）求证：平面CDE.

（2）求平面BDF与平面CDE夹角的余弦值.

（3）线段EC上是否存在点M，使平面平面BDF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

高二数学B参考答案

一：BDDB,CDCC

二：9ACD, 10ACD, 11BCD, 12ABD

三：  13：2         14： -1或4      15： 1                16： 4

四：解答题

17. 解：（1）

选择①．

由题意可设直线的方程为y－1＝k（x＋4），

因为直线的斜率是直线的斜率的2倍，所以，

所以直线的方程为，即x＋2y＋2＝0．

选择②．

由题意可设直线的方程为，

因为直线过点A（－4．1），所以，

解得m＝－1．

所以直线的方程为，即x＋2y＋2＝0．

（2）由（1）可知直线的方程为x＋2y＋2＝0，令y＝0，可得x＝－2，

所以直线在x轴上的截距为－2，所以直线在x轴上的截距为－2．

故直线过点（－2，0），代入ax＋2y－12＝0，得a＝－6．

所以直线的方程为3x－y＋6＝0．

因此直线在y轴上的截距为6．

18. 解：在长方体中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图．

由已知AB＝＝1，

可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、F（1，0，1）．

又AD⊥平面从而BD与平面所成的角即为∠DBA＝30°，

又AB＝2，AE⊥BD，AE＝1，AD＝

从而易得

∵＝＝（－1，0，1）．

设异面直线AE与BF所成的角为，

则．

即异面直线AE、BF所成的角的余弦为

（2）设＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量．

＝，＝（－1，0，1），＝（2，0，0）．

由∴，即

取＝

所以点A到平面BDF的距离

19.解：（1）【详解】（1）∵圆心在直线上，

设圆心，

已知圆经过点，，则由，

得

解得，所以圆心为，

半径，

所以圆的方程为；

（2）设在圆上，∴，

又，，

由可得：，

化简得，

联立

解得或.

20.解（1）由题意得抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程为，

（2）由题意得直线的斜率存在，设其方程为，，

联立得，

由韦达定理得，

而，

则

化简得，即

解得，经检验，满足直线与抛物线相交，

故直线的方程为

21.解（1）由题意得,解得：，

椭圆的方程是：.

（2）设，

联立消去得：

由题意可知：点,

所以

令，则，所以，

，易知在单调递增，

所以当，此时，所以直线的方程为：.

22.解(1)

因为，平面，平面，

所以平面，同理，平面，

又，所以平面平面，

因为平面，

所以平面；

(2)

因为平面平面，

平面平面，，

平面，所以平面，

又平面，故.

而四边形时正方形，所以又，

以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直

角坐标系.设，则，，，

，，取平面的一个法向量，设

平面的一个法向量，则，即，

令，则，所以.设平面与平面

所成锐二面角的大小为，则.

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是.

(3)

若与重合，则平面的一个法向量，

由（2）知平面的一个法向量，则，

则此时平面与平面不垂直.若与不重合，

如图设，则，

设平面的一个法向量，则，

即，令，则，，

所以，若平面平面等价于，

即，

所以.所以，线段上存在点使平面平面，且.