2022-2023学年青海省西宁市青海湟川中学高二上学期12月月考试题 数学 Word版

湟川中学2022~2023学年度第一学期学情调研测试

高二数学试题

注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置。

3．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

2．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，若=++，则（    ）．

A．x＝1，， B．x＝1，，

C．，y＝1， D．，y＝1，

3．设非零向量，满足，则

A．⊥ B．

C．∥ D．

4．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为．

A． B． C． D．

5．已知向量，，，则有（     ）．

A．  B．

C．  D．

6．已知，(0, π)，则=

A．1 B． C． D．1

7．曲线在点处的切线的倾斜角为（     ）

A． B． C． D．

8．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为

A．

B．

C．

D．

9．四面体中，，，，点在线段上，且，为中点，则为（    ）

A． B． C． D．

10．椭圆上一点关于原点的对称点为，为其左焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

11．已知，若直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ）

A． B． C． D．或

12．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知椭圆，过点作直线l交椭圆C于A，B两点，且点P是AB的中点，则直线l的方程是__________.

14．过点且与圆相切的直线的方程是______．

15．已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆过焦点的弦，则的周长是___.

16．已知P为圆上任意一点，A，B为直线上的两个动点，且，则面积的最大值是___________．

三、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．已知直线．

（1）若，求实数a的值；

（2）当时，求直线与之间的距离．

18．在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．

（1）求角B的大小；

（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值

19．如图，已知正方体的棱长为2， E、F分别为、中点.

(1)求证：;

(2)求两异面直线BD与所成角的大小.

20．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2CC1＝2，点是的中点．

(1)求点D到平面AD1E的距离；

(2)求证：平面AD1E⊥平面EBB1．

21．某企业为了了解职工对某部门的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示）：

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)估计该企业的职工对该部门评分的中位数与平均值；

(3)从评分在 的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.

22．如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，且经过点， 直线 恒过定点且交椭圆于两点，为的中点.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)记的面积为S，求S的最大值.

数学试题参考答案及评分标准

1．C

2．B

3．A

4．A

5．C

对于A，因为，，，

所以，，所以，故A不正确；

对于B，因为，，，

所以，，

所以，故B不正确；

对于C，因为，，所以，又，

所以，即，故C正确.

对于D，因为，，，

所以，，，所以，故D不正确.

故选：C.

6．A

，，

，即，故

故选

7．A

根据导数的几何意义得到点处切线的斜率，再根据斜率求倾斜角即可.

，所以在点处的切线的斜率为-1，倾斜角为.

故选：A.

8．A

与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A

9．C

利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图像即可得解.

解：根据题意可得，

.

故选：C.

10．B

确定四边形为矩形，得到，根据三角函数的性质得到离心率范围.

设椭圆右焦点为，连接，，，则四边形为矩形，

则，

故，

，则，，.

故选：B.

11．A

根据平行关系确定参数，结合平行线之间的距离公式即可得出．

解：直线与直线平行，

，解得或，

又，所以，

当时，直线与直线距离为.

故选：A

12．A

将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数a的取值范围.

到点的距离为2的点在圆上，

所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，

即两圆相交，故，

解得或，

所以实数a的取值范围为，

故选：A．

13．

设，，，，利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．

解：设，，，，

则，，

．

恰为线段的中点，即有，，

，

直线的斜率为，

直线的方程为，

即．

由于在椭圆内，故成立．

故答案为：．

14．或

当直线斜率不存在时，可得直线，分析可得直线与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时，设斜率为k，可得直线l的方程，由题意可得圆心到直线的距离，即可求得k值，综合即可得答案.

当直线l的斜率不存在时，因为过点，

所以直线，

此时圆心到直线的距离为1=r，

此时直线与圆相切，满足题意；

当直线l的斜率存在时，设斜率为k，

所以，即，

因为直线l与圆相切，

所以圆心到直线的距离，解得，

所以直线l的方程为.

综上：直线的方程为或

故答案为：或

15．16

根据椭圆的定义求解．

由椭圆的定义知所以.

故答案为：16．

16．3

直接利用直线和圆的位置关系，利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果．

解：根据圆的方程，圆心到直线的距离，

所以圆上的点到直线的最大距离，

此时最大面积．

故答案为：．

17．（1）；（2）．

（1）由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数a的方程.

（2）由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数a的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距离公式即可求出直线与之间的距离.

（1）由知，解得．

（2）当时，有，解得．

此时，即，

则直线与之间的距离．

本题考查了由两直线平行求参数，考查了由两直线垂直求参数的值，属于基础题.

18．（1）B=60°（2）

（1)由正弦定理得

【考点定位】本题主要考察三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理

19．(1)见解析

(2)

（1）利用向量乘积为0证明即可；

（2）利用向量法求异面直线所成的角.

（1）

如图,建立空间直角坐标系

则

因为

所以,即

（2）

设异面直线BD与所成角为,则

所以,即异面直线BD与所成角的大小为

20．(1);

(2)证明过程见解析.

（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离公式求出答案；

（2）利用空间向量的数量积为0证明出，从而证明出线面垂直，进而证明出面面垂直.

（1）以D为坐标原点，分别以DA，DC，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则，

设平面的法向量为，

则，

令得：，

所以，

则点D到平面AD1E的距离为；

（2），

所以，，

所以，

因为，平面，

所以平面，

因为平面，

所以平面⊥平面.

21．(1)；

(2)中位数为，均值为；

(3)

（1）根据频率和为1可求频率分布直方图中a的值;

（2）根据组中值可求平均值，根据前3组、前4组的频率和可求中位数.

（3）利用古典概型的概率计算公式可求概率.

（1）由直方图可得，故.

（2）由直方图可得平均数为.

前3组的频率和为，

前3组的频率和为，

故中位数在，设中位数为，则，故.

故中位数为.

（3）评分在 的受访职工的人数为，

其中评分在的受访职工的人数为，记为

在的受访职工人数为，记为，

从5人任取2人，所有的基本事件如下：

，

基本事件的总数为10，

而2人评分都在的基本事件为，

故2人评分都在的概率为.

22．(1)

(2)

（1）由直线过定点坐标求得，再由椭圆所过点的坐标求得得椭圆方程；

（2）设，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得，

计算弦长，再求得到直线的距离，从而求得三角形面积，由函数的性质求得最大值．

（1）由题意可得，直线恒过定点，

因为为的中点， 所以， 即.

因为椭圆经过点 ，所以 ， 解得，

所以椭圆的方程为.

（2）设.

由得 恒成立，

则，

则

又因为点到直线的距离，

所以

令， 则，

因为，时，，在上单调递增，

所以当时，时，故.

即S的最大值为 .

方法点睛：本题求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交中三角形面积问题，计算量较大，属于难题．解题方法一般是设出交点坐标，由（设出）直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，再求得三角形的另一顶点到此直线的距离，从而求得三角形的面积，最后利用函数的性质，基本不等式等求得最值．