2022-2023学年山东省济宁市微山县第二中学高二上学期期中数学试题(解析版)
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一、单选题
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】求出直线斜率,可得倾斜角.
【详解】直线的斜率,则倾斜角为.
故选:C.
2.已知,,则( )
A. B. C.0 D.1
【答案】B
【分析】利用空间向量的夹角余弦值公式即可求得.
【详解】解:,,
.
故选:B.
3.“”是“直线与直线平行”的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要
【答案】A
【分析】由可得直线与直线平行,即充分条件成立;由直线与直线平行,求得的值为,即必要条件成立;
【详解】因为,所以直线,直线,则与平行,故充分条件成立;
当直线与直线平行时,,解得或,当时,直线与直线重合,当时,直线,直线平行,故必要条件成立.
综上知,“”是“直线与直线平行”的充要条件.
故选:A.
4.甲、乙两位同学独立地解答某道数学题,若甲、乙解出的概率都是,则这道数学题被解出的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】利用对立事件的概率求法,先求这道数学题解不出的概率,则这道数学题被解出的概率即为所求.
【详解】由题意知,这道数学题解不出的概率为,
∴这道数学题被解出的概率.
故选:C
5.直线被圆所截得的最短弦长等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】首先求出直线过定点坐标,当圆被直线截得的弦最短时,圆心到弦的距离最大,此时圆心与定点的连线垂直于弦,求出弦心距,利用勾股定理求出结果即可.
【详解】解:圆的圆心为,半径,
又直线,直线恒过定点,
当圆被直线截得的弦最短时,圆心与定点的连线垂直于弦,
此时弦心距为.
所截得的最短弦长:.
故选:C.
6.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有种不同的取法,
若两数不互质,不同的取法有:,共7种,
故所求概率.
故选:D.
7.若直线始终平分圆的周长,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】分析可知直线过圆心,则,且有且,将代数式与相乘,展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】圆的圆心为,由题意可知,直线过圆心,则,
因为,则且,
因此,,
当且仅当时,等号成立,故的最小值为.
故选:A.
8.若直线:与曲线:有两个交点,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】直线恒过定点,曲线表示右半圆,画出草图可得有两个交点,需求临界相切时的斜率(1个交点)与临界过点A的直线的斜率(2个交点).
【详解】∵直线l: 恒过定点
曲线C: 即:
∴曲线C表示:以(1,1)为圆心,1为半径的的那部分圆.
∵直线l与曲线C有两个交点,
∴如图所示,
当过点M的直线与图中这部分圆相切时有1个交点,
此时 解得:
当过点M的直线也过点 时有2个交点,
此时
∴
故选:B.
二、多选题
9.从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是( )
A.2个球都是红球的概率为
B.2个球不都是红球的概率为
C.至少有1个红球的概率为
D.2个球中恰有1个红球的概率为
【答案】ACD
【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率,判断A;利用对立事件的概率计算方法求得2个球不都是红球的概率,判断B;根据对立事件的概率计算判断C;根据互斥事件的概率计算可判断D.
【详解】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件,从“乙袋中摸出一个红球”为事件,
则,,
对于A选项,2个球都是红球为,其概率为,故A选项正确,
对于B选项,“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为,故B选项错误,
对于C选项,2个球至少有一个红球的概率为,故C选项正确,
对于D选项,2个球中恰有1个红球的概率为,故D选项正确.
故选:ACD.
10.小明与小华两人玩游戏,则下列游戏公平的有( )
A.抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数,小明获胜,向上的点数为偶数,小华获胜
B.同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上,小明获胜,两枚都正面向上,小华获胜
C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色,小明获胜,扑克牌是黑色,小华获胜
D.小明、小华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同,小明获胜,否则小华获胜
【答案】ACD
【分析】在四个选项中分别列出小明与小华获胜的情况,由此判断两人获胜是否为等可能事件.
【详解】解:对于A,抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的,所以游戏公平
对于B,恰有一枚正面向上包括正,反反,正两种情况,而两枚都正面向上仅有正,正一种情况,
所以游戏不公平
对于C,从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的,所以游戏公平
对于D,小明、小华两人各写一个数字6或8,一共四种情况:(6,6),(6,8),(8,6),(8,8);两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的,所以游戏公平.
故选:ACD.
【点睛】本题考查等可能事件的判断,考查运算求解能力,是基础题.
11.已知圆C:,直线l:.下列说法正确的是( )
A.直线l恒过定点
B.圆C被y轴截得的弦长为
C.直线l被圆C截得弦长存在最大值,此时直线l的方程为
D.直线l被圆C截得弦长存在最小值,此时直线l的方程为
【答案】BD
【分析】对A,将直线整理为,联立方程即可求出定点;对B,令即可求出;对C,根据直线不过圆心可判断;对D,根据直线垂直于圆心到定点连线可求.
【详解】将直线l的方程整理为,由,解得.则无论m为何值,直线l恒过定点,故A不正确;
令,则,解得,故圆C被y轴截得的弦长为,故B正确;
无论m为何值,直线l不过圆心,即直线l被圆C截得的弦长不存在最大值,故C错误;
当截得的弦长最短时,此时直线l垂直于圆心与定点的连线,则直线l的斜率为,此时直线l的方程为,即,故D正确.
故选:BD.
12.如图,在棱长为2的正方体中,点在线段上运动,则下列说法正确的是( )
A.几何体的外接球半径
B.平面
C.异面直线与所成角的正弦值的取值范围为
D.面与底面所成角正弦值的取值范围为
【答案】BCD
【分析】对于A,几何体的外接球与正方体的外接球相同,可求得半径;对于B,利用面面平行的性质定理即可判断;对于C,找到异面直线与所成角,结合线面垂直的性质,列出正弦值的等式,再结合的取值范围,即可求解;对于D,建立空间直角坐标系,利用空间向量的夹角公式,结合三角函数的知识可进行求解.
【详解】对于A,因为几何体关于正方体的中心对称,其外接球与正方体的外接球相同,半径为,故A错误;
对于B,在正方体中,且,故为平行四边形,所以,而平面,平面,故平面,
同理可证平面,又因为,平面,
所以平面平面,因为平面,
所以平面,故B正确;
对于C,由平面,平面,可得,即,
由于,则异面直线与所成的角为,其正弦值为,
在中,易得,所以,
所以异面直线与所成角的正弦值的取值范围为,故C正确;
对于D,以为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,
则,
则有,,设,
则,所以,
设平面的法向量,则,即,
令,则,故,
由题意知,取平面的一个法向量,
则,
则面与底面所成角正弦值为,
由于,故当时取最小值,
则取到最小值,
当或时取最大值12,则取到最大值,
所以面与底面所成角正弦值的取值范围为,故D正确,
故选:BCD.
三、填空题
13.经过两直线2x+y-1=0与x-y-2=0的交点,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是___________.
【答案】x+y=0或x-y-2=0
【分析】先求解两直线的交点坐标,再运用截距式求解直线的方程可得出结果.
【详解】解:联立两直线方程可得:,解得,可得两条直线交点P(1,-1).
直线经过原点时,可得直线方程为y=-x;
直线不经过原点时,设直线方程为,
把交点P(1,-1)代入可得,解得a=2.
所以直线的方程为x-y-2=0.
综上直线方程为:x+y=0或x-y-2=0.
故答案为:x+y=0或x-y-2=0.
14.已知空间中有三点,,,则到直线的距离为______.
【答案】2
【分析】根据空间中点到直线距离的求法计算即可.
【详解】由题知,,
所以
所以,
所以到直线的距离为,
故答案为:2
15.写出与圆和都相切的一条直线的方程________________.
【答案】或或
【分析】先判断两圆位置关系,分情况讨论即可.
【详解】[方法一]:
显然直线的斜率不为0,不妨设直线方程为,
于是,
故①,于是或,
再结合①解得或或,
所以直线方程有三条,分别为,,
填一条即可
[方法二]:
设圆的圆心,半径为,
圆的圆心,半径,
则,因此两圆外切,
由图像可知,共有三条直线符合条件,显然符合题意;
又由方程和相减可得方程,
即为过两圆公共切点的切线方程,
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为,
直线OC与直线的交点为,
设过该点的直线为,则,解得,
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]:
圆的圆心为,半径为,
圆的圆心为,半径为,
两圆圆心距为,等于两圆半径之和,故两圆外切,
如图,
当切线为l时,因为,所以,设方程为
O到l的距离,解得,所以l的方程为,
当切线为m时,设直线方程为,其中,,
由题意,解得,
当切线为n时,易知切线方程为,
故答案为:或或.
16.若圆上到直线的距离等于的点恰有3个,则实数a的值为___________.
【答案】或
【分析】设圆心到直线的距离为,由题意有,
利用点到直线距离公式列出等式即可求解.
【详解】圆,即,
所以圆C的圆心坐标为,半径,
因为圆上到直线距离等于的点恰有3个,
设圆心到直线的距离为,则,
即,解得或,
故答案为:或.
四、解答题
17.已知的三个顶点分别为,,,
(1)BC边上中线所在直线的方程(D为BC中点);
(2)BC边的垂直平分线的方程;
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)求解中点的坐标,计算直线AD的斜率,从而得中线的方程;(2)计算直线BC的斜率,从而可得中垂线的斜率,写出中垂线方程.
【详解】(1)线段BC的中点,所以直线AD的斜率为,
所以中线的方程为:,即
(2)直线BC的斜率,所以BC中垂线的斜率为,又因为BC的中点,
所以中垂线的方程为:,即
18.袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球,分别为黑球、黄球、绿球,从中任意取一球,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率是,试求:
(1)从中任取一球,得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少?
(2)从中任取两个球,得到的两个球颜色不相同的概率是多少?
【答案】(1)黑球、黄球、绿球的概率分别是,,;(2).
【解析】(1)从中任取一球,分别记得到黑球、黄球、绿球为事件,,,由已知列出的方程组可得答案;
(2)求出从9个球中取出2个球的样本空间中共有的样本点,再求出两个球同色的样本点可得答案.
【详解】(1)从中任取一球,分别记得到黑球、黄球、绿球为事件,,,
由于,,为互斥事件,
根据已知,得,
解得,
所以,任取一球,得到黑球、黄球、绿球的概率分别是,,.
(2)由(1)知黑球、黄球、绿球个数分别为3,2,4,
从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点,
其中两个是黑球的样本点是3个,两个黄球的是1个,两个绿球的是6个,
于是,两个球同色的概率为,
则两个球颜色不相同的概率是.
【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的概率,一般地,如果事件A1、A2、…、An彼此互斥,那么事件A1+A2+…+An发生(即A1、A2、…、An中有一个发生)的概率,等于这n个事件分别发生的概率的和,即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
19.已知直线方程为.
(1)若直线的倾斜角为,求的值;
(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点,为坐标原点,求面积的最小值及此时直线的方程.
【答案】(1);
(2)面积的最小值为,此时直线的方程为.
【分析】(1)由直线的斜率和倾斜角的关系可求得的值;
(2)求出点、的坐标,根据已知条件求出的取值范围,求出的面积关于的表达式,利用基本不等式可求得面积的最小值,利用等号成立的条件可求得的值,即可得出直线的方程.
【详解】(1)解:由题意可得.
(2)解:在直线的方程中,令可得,即点,
令可得,即点,
由已知可得,解得,
所以,
,
当且仅当时,等号成立,此时直线的方程为,即.
20.如图,在四棱锥中,平面,,,,,点,分别为棱,的中点.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,利用向量法证明线面平行;
(2)利用向量法求直线与平面所成角的正弦值.
【详解】(1)证明:因为平面,,,以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,
则,,,
设平面的一个法向量为,
则,令,则,,
则平面的一个法向量为,
所以,则,又平面
平面;
(2)解:由(1)得,所以,
设直线与平面所成角为.
.
直线与平面所成角的正弦值为.
21.已知圆.
(1)直线过点,且与圆C相切,求直线的方程;
(2)设直线与圆C相交于M,N两点,点P为圆C上的一动点,求的面积S的最大值.
【答案】(1)x=-1或4x-3y+7=0
(2)
【分析】(1)根据直线的斜率是否存在,分别设出直线方程,再根据圆心到直线的距离等于半径,即可解出;
(2)根据弦长公式求出,再根据几何性质可知,当时,点P到直线距离的最大值为半径加上圆心到直线的距离,即可解出.
【详解】(1)由题意得C(2,0),圆C的半径为3.
当直线的斜率存在时,设直线的方程为y-l=k(x+1),即kx-y+k+1=0,
由直线与圆C相切,得,解得,所以直线的方程为4x-3y+7=0.
当直线的斜率不存在时,直线的方程为,显然与圆C相切.
综上,直线的方程为x=-1或4x-3y+7=0.
(2)由题意得圆心C到直线的距离,
设圆C的半径为r,所以r=3,所以,
点P到直线距离的最大值为,
则的面积的最大值.
22.如图,在正四棱锥P-ABCD中,AC,BD交于点O,,.
(1)求二面角的大小;
(2)在线段AD上是否存在一点Q,使得PQ与平面APB所成角的正弦值为?若存在,指出点Q的位置;若不存在,说明理由.
【答案】(1)
(2)存在,当Q为AD上靠近A的四等分点时,PQ与平面APB所成角的正弦值为
【分析】(1)如图建系,求得各点坐标,进而可得坐标,即可求得平面PAB的法向量,根据线面垂直的性质及判定定理,可证平面,则即为平面的法向量,根据二面角的向量求法,即可得答案.
(2)假设存在点Q满足题意,设,因为,即可求得Q点坐标,进而可得坐标,根据线面角的向量求法,代入公式,计算可得值,即可得答案.
【详解】(1)由题意得平面ABCD,且,
以O为原点,分别以OA,OB,OP为x,y,z轴正方向建系,如图所示
所以,
所以,
设平面PAB的法向量,
则,即,
令,可得,所以,
因为平面ABCD,平面ABCD,
所以,
又因为,,平面PAC,
所以平面,
所以即为平面的法向量,
所以,
又,由图象可得二面角为锐二面角,
所以二面角的大小为
(2)假设线段AD上存在一点Q,满足题意,
设,因为,
所以,解得,
所以,则,
因为平面PAB的法向量,
设得PQ与平面APB所成角为
所以,
解得或(舍)
所以在线段AD上存在一点Q,使得PQ与平面APB所成角的正弦值为,此时,即Q为AD上靠近A的四等分点,
2023-2024学年山东省济宁市微山县第二中学高二上学期第一次月考数学试题含答案: 这是一份2023-2024学年山东省济宁市微山县第二中学高二上学期第一次月考数学试题含答案,共11页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济宁市微山县第二中学高二下学期3月月考数学试题含答案: 这是一份2022-2023学年山东省济宁市微山县第二中学高二下学期3月月考数学试题含答案,共11页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
山东省济宁市微山县第二中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题及答案: 这是一份山东省济宁市微山县第二中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题及答案,共12页。