2022-2023学年山东省临沂第十九中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年山东省临沂第十九中学高二上学期期中考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省临沂第十九中学高二上学期期中考试数学试题 一、单选题1．在等差数列{an}中，a2、a4是方程的两根，则a3的值为（　　）A．2 B．3 C．±2 D．【答案】D【分析】根据韦达定理可得，再利用等差中项运算求解.【详解】由题意可得：∵{an}为等差数列，则∴故选：D.2．已知向量与平行，则（    ）A．1 B． C．3 D．【答案】B【分析】根据向量平行列方程，求得进而求得.【详解】由于向量与平行，注意到，所以，故.故选：B3．已知抛物线：恰好经过圆：的圆心，则抛物线的焦点坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出圆心，代入抛物线，求得，进而得到抛物线得标准方程，进而可求得抛物线的焦点坐标.【详解】由已知得，圆的圆心为：，故把圆心坐标代入抛物线得，，解得，则抛物线：，化简得，可得抛物线的焦点坐标为故选：C4．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．【详解】由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．【点睛】5．如图，在平行六面体中，，，，，是与的交点，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空间向量，表示，再由，，，，通过向量的模求解.【详解】设则则故选：D【点睛】方法点睛：利用棱柱的结构特征，结合空间向量求两点间的距离.6．若过原点的直线与圆有两个交点，则的倾斜角的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】先由圆的方程确定圆心和半径，得到直线的斜率存在，设直线的方程为，根据直线与圆的位置关系列出不等式求解，得出斜率的范围，进而可得倾斜角的范围.【详解】由得，所以圆的圆心为，半径为，因此为使过原点的直线与圆有两个交点，直线的斜率必然存在，不妨设直线的方程为：，即则有，即，整理得，解得，记的倾斜角为，则，又，所以.故选：C.7．已知抛物线：的焦点为，在上有一点，，则的中点到轴的距离为（    ）A．4 B．5 C． D．6【答案】A【分析】设抛物线的准线为，过点作于点，准线与轴的交点为，然后根据抛物线的定义和梯形的中位线定理可求得答案【详解】设抛物线的准线为，过点作于点，准线与轴的交点为，由抛物线的定义可知，，故的中点到的准线的距离为，故的中点到轴的距离为4．故选：A8．已知双曲线的一个焦点与虚轴的两个端点构成等边三角形，则的渐近线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用双曲线的几何性质及锐角三角函数，结合双曲线的渐近线方程即可求解.【详解】由已知及双曲线的对称性可得，所以.所以，所以，所以的渐近线方程为.故选：C. 二、多选题9．给出以下命题，其中正确的是（    ）A．直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则与垂直B．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则C．平面，的一个法向量分别是，，则D．若对空间中任意一点，都有，则，，，四点共面【答案】AD【分析】根据空间向量证明线线、线面、面面平行垂直的方法判断ABC选项；根据共面向量基本定理的推论判断D选项.【详解】A选项：，所以，，故A正确；B选项：，所以，∥或在平面内，故B错；C选项：，则与不平行，平面也不平行，故C错；D选项：，则四点共面，故D正确.故选：AD.10．若圆上恒有4个点到直线的距离为1，则实数的可能取值是（    ）A． B． C．3 D．【答案】BC【分析】转化条件为圆的半径大于圆心到直线的距离加一即可得解..【详解】圆的圆心到直线的距离，因为圆上恒有4个点到直线的距离为1，所以圆的半径.对比选项，可得BC符合题意.故选：BC.11．已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数.例如：，，设数列中：，则（       ）A．数列是单调递增数列B．的前8项中最大项为C．当为素数时，D．当为偶数时，【答案】BC【分析】根据欧拉函数的概念可写出数列的前8项，根据前8项，可判断选项；根据为素数时，与前个数都互素，从而可判断选项C.【详解】由题知数列前8项为：，不是单调递增数列，故选项A错误；由选项A可知，的前8项中最大项为，故选项B正确；当为素数时，与前个数互素，故，所以对正确；因为，故选项D错误.故选：.12．设抛物线：的焦点为，准线为，点为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ）A．准线的方程是 B．的最大值为2C．的最小值为5 D．以线段为直径的圆与轴相切【答案】ACD【分析】根据抛物线方程，直接求准线方程，判断A；根据三角形三边关系，判断B；根据抛物线的定义，转化为点到焦点的距离，利用数形结合判断C；根据直线与圆相切的定义，判断D.【详解】由题意得，则焦点，准线的方程是，A正确；，当点在线段的延长线上时等号成立，所以的最大值为，B错误；如图所示，过点，分别作准线的垂线，垂足分别为，，则，当点在线段上时等号成立，所以的最小值为5，C正确；设点，线段的中点为，则，所以以线段为直径的圆与轴相切，D正确，故选：ACD. 三、填空题13．若椭圆的焦点在轴上，且离心率为，则______.【答案】20【分析】根据题意得到，结合离心率求出.【详解】由题意得：，则，故，解得：.故答案为：20.14．设是等差数列，且，，若，则___________.【答案】【分析】根据等差数列的通项公式，结合代入法进行求解即可.【详解】设该等差数列的公差为，因为，所以由，由，故答案为：15．已知双曲线与直线无交点，则的取值范围是_____．【答案】【分析】结合双曲线的几何性质，可知直线应在两渐近线上下两部分之间，由此可得不等式，解之即可求得的取值范围.【详解】依题意，由可得，双曲线的渐近线方程为，因为双曲线与直线无交点，所以直线应在两条渐近线上下两部分之间，故，解得，即.故答案为：. .16．已知数列满足，，则的最小值为_________.【答案】【分析】由累加法求出数列的通项公式，再根据对勾函数的性质求解即可．【详解】，，，，由累加得，所以，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，或5时最小，时，；时，；所以的最小值为故答案为：． 四、解答题17．已知数列是等差数列，且，.（1）求数列的通项公式.（2）求的前n项和的最小值.【答案】（1），（2）当时，最小，最小值为.【解析】（1）由等差数列前项和的性质可得，，算出，，然后再算出即可；（2）求出，然后利用二次函数的知识可得答案.【详解】（1）因为数列是等差数列，所以，所以，，所以所以（2）所以由二次函数的知识可得当时，最小，最小值为【点睛】本题考查的是等差数列通项公式和前项和的基本运算，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.18．已知线段的端点的坐标是，端点在圆：上运动.（1）求线段的中点的轨迹的方程；（2）设圆与曲线交于､两点，求线段的长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设点的坐标为，点的坐标为，由于点的坐标为，且点是线段的中点，利用代入法可得轨迹方程.（2）两圆相减得公共弦方程得，利用弦长公式可得的长.【详解】解：（1）设点的坐标为，点的坐标为，由于点的坐标为，且点是线段的中点，所以，，于是有，.①因为点在圆：上运动，所以点的坐标满足方程，即.②把①代入②，得，整理，得，所以点的轨迹的方程为.（2）圆：与圆：的方程相减，得.由圆：的圆心为，半径，且到直线的距离，则公共弦长.19．在数列中，，.(1)求，；(2)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；【答案】(1)，(2)证明见解析； 【分析】（1）利用赋值法得到关于的方程，解之即可；（2）利用倒数法得到，从而证得为等差数列，进而求得的通项公式.【详解】（1）因为，所以当时，，则，即，解得，当时，，则，即，解得，所以，.（2）因为，所以，且，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，故，则.20．已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且.(1)求该抛物线的方程；(2)为坐标原点，求的面积.【答案】(1)(2) 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，由抛物线的定义结合韦达定理化简弦长后求解（2）解出坐标，由割补法求解【详解】（1）抛物线的焦点为，所以直线的方程为，由消去得，所以，由抛物线定义得，即，所以. 所以抛物线的方程为.（2）由知，方程，可化为，解得，，故，.所以，. 则面积21．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D是棱BC的中点．(1)求证：平面；(2)在棱上AC是否存在点M，其中，使得平面与平面所成角的大小为60°，若存在，求出；若不存在，说明理由．【答案】(1)见解析(2)存在， 【分析】（1）根据三角形中位线得线线平行，即可证明线面平行，（2）根据空间向量，利用法向量的夹角即可求解.【详解】（1）连接交于点,由于四边形为矩形，所以为的中点，又点D是棱BC的中点，故在中，是的中位线，因此,平面， 平面,所以平面（2）由平面ABC，可知，三棱柱为直三棱柱，且底面为直角三角形，故以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系;则 由得, ,设平面的法向量为，则 ，取，得， ,设平面的法向量为，则 ，取，得，故 ，化简得 由于 ，所以，故棱上AC存在点M，其中，即，使得平面与平面所成角的大小为60°.22．椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为（1）求椭圆的方程（2）斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，当时，求直线的方程【答案】（1）； （2）或.【分析】（1）由题意可得，，再结合可求出，从而可求出椭圆方程；（2）设直线l为，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，再利用根与系数的关系，结合弦长公式列方程，可求出的值，从而可得直线的方程.【详解】（1）因为椭圆经过点，离心率为，所以，，因为，所以得，所以椭圆方程为，（2）设直线l为，设，由，得，由，得，由根与系数的关系得，因为所以，解得，所以直线的方程为或