2022-2023学年山西省太原师范学院附属中学高二上学期第二次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年山西省太原师范学院附属中学高二上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．抛物线y2＝x的焦点坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】可以先确定开口方向，再根据方程得的值，进而得到焦点坐标.

【详解】由y2＝x知抛物线的焦点在轴上，且开口向右，,∴，焦点坐标为，

故选:B．

【点睛】根据抛物线的方程求焦点坐标、准线方程时，可以总结如下：

的焦点坐标 ,准线方程；

的焦点坐标 ,准线方程.

2．设F1，F2是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若，，，则双曲线的两条渐近线的夹角为（    ）

A．90° B．45° C．60° D．30°

【答案】C

【分析】根据题目条件求出双曲线方程，得到渐近线方程，可得两条渐近线的夹角.

【详解】设，，由双曲线的定义可知，

又，，，可得，，

即，解得，，

可得双曲线的渐近线方程为，两条渐近线的夹角为.

故选：C

3．已知抛物线上一点P到准线的距离为，到直线:为，则的最小值为

A．3 B．4 C． D．

【答案】A

【分析】利用抛物线的定义，将的最小值转化为焦点到直线的距离即可求得．

【详解】解：抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，

所以过焦点作直线的垂线，

则该点到直线的距离为最小值，如图所示；

由，直线，所以，故选A.

【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质和点到直线距离公式的应用问题，是基础题．

4．，在处切线方程为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，求出再结合直线的点斜式公式，即可求解．

【详解】由已知，，令，

∴＝，解，

∴在处切线方程为，即．

故选：B．

【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查转化能力，属于基础题．

5．已知是2与8的等比中项，则圆锥曲线的离心率等于（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】由等比中项定义求得，根据的取值确定曲线是椭圆还是双曲线，然后计算离心率．

【详解】由已知，，

当时，方程为，曲线为椭圆， ，，离心率为；

当时，方程为，曲线为双曲线，，，离心率为．

故选：C．

6．在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数. 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数 ，平均感染周期为 4 天，那么感染人数超过 1000 人大约需要（    ）（初始感染者传染 个人为第一轮传染，这 个人每人再传染 个人为第二轮传染）

A．20 天 B．24 天

C．28 天 D．32 天

【答案】B

【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.

【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,

则每轮新增感染人数为，

经过n轮传染，总共感染人数为：

即，解得，

所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要24天，

故选：B

【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．

7．已知数列的通项，其前项和为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化简得到，，周期为3，分组法求和即得解.

【详解】由于

又

故选：A

【点睛】本题考查了数列的周期性以及前n项和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.已知数列满足，且，若，数列的前项和为，则（    ）

A．4956 B．4959 C．4962 D．4965

【答案】B

【分析】先利用累加法求出，得到当时，；当时，；当时，；当时, ，直接求和可得答案.

【详解】由，且，根据累加法可得：

，

所以.

所以.

当时，；

当时，；

当时，；

当时, .

因此.

故选：B.

二、多选题

9．已知数列的前项和为，则（    ）

A． B．时，的最大值为17

C． D．

【答案】AC

【分析】根据数列的求和公式可得通项公式，可判断AB，根据求和公式和分类讨论即可求出含绝对值的前项和．

【详解】，，经验证对于也成立，所以，故A正确；

当时，，当时，当时，，所以时，的最大值为16，故B错误；

因为当时，，所以，故C正确；

，故D错误，

故选：AC．

10．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.以下关于共轭双曲线的结论正确的是（    ）

A．与共轭的双曲线是

B．互为共轭的双曲线渐近线相同

C．互为共轭的双曲线的离心率为则

D．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上

【答案】BCD

【分析】由共轭双曲线的定义可判断A选项的正误；利用双曲线的渐近线方程可判断B选项的正误；利用双曲线的离心率公式以及基本不等式可判断C选项的正误；求出两双曲线的焦点坐标以及圆的方程，可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，由共轭双曲线的定义可知，与共轭的双曲线是，A错误；

对于B选项，双曲线的渐近线方程为，

双曲线的渐近线方程为，B正确；

对于C选项，设，双曲线的离心率为，

双曲线的离心率为，

所以，，当且仅当时，等号成立，C正确；

对于D选项，设，双曲线的焦点坐标为，

双曲线的焦点坐标为，这四个焦点都在圆上，D正确.

故选：BCD.

11．若正整数m．n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k，（k）是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数（k）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，．已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么，例如：，则（    ）

A．

B．数列是等比数列

C．数列不是递增数列

D．数列的前n项和小于

【答案】ABD

【分析】根据欧拉函数定义及运算性质，结合数列的性质与求和公式，依次判断各选项即可得出结果.

【详解】，A对；

∵2为质数，∴在不超过的正整数中，所有偶数的个数为，

∴为等比数列，B对；

∵与互质的数为

共有个，∴

又∵=，∴一定是单调增数列，C错；

，的前n项和为

，D对.

故选：ABD．

12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABCD

【分析】对于A：直接由递推公式写出数列的前6项，即可判断；

对于B：直接求出数列的前7项的和；

对于C：由递推关系直接求解；

对于D：由，直接转化，即可判断

【详解】对于A：写出数列的前6项为1，1，2，3，5，8，故A正确.

对于B：，故B正确.

对于C：由，，，…，，可得，故C正确.

对于D：斐波那契数列总有，则，故D正确.

故选：ABCD

三、双空题

13．已知函数在上的平均变化率是函数在上的平均变化率的2倍，则实数a的值为_______；估计函数在处的瞬时变化率为_______.

【答案】     2     6

【分析】分别求出函数在和函数在上的平均变化率，根据条件可得答案；由函数在上的平均变化率可得答案.

【详解】由题意，得函数在上的平均变化率为，

函数在上的平均变化率为.

由题意知，所以.函数在上的平均变化率为

，

取，得，故估计函数在处的瞬时变化率为6.

故答案为：  2；   6

四、填空题

14．设正项等比数列的前项和为，且，则公比__________.

【答案】##

【分析】利用变形求得，利用等比数列的性质可以得到，结合等比数列{an}为正项数列，进而求出公比。

【详解】由，得.

又正项等比数列的前项和为，故，

∴，

∵数列{an}是等比数列，

∴

故，解得：

因为等比数列{an}为正项数列，所以，故

故答案为：

15．已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且前项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________．

【答案】29

【分析】由题意可得，求出，再利用等差数列求和公式的性质可求得答案

【详解】因为为奇数，所以，解得．

所以，所以．故所求的中间项为29．

故答案为：29

16．已知数列满足，，则______.

【答案】

【分析】根据的奇偶性，结合累和法、等差数列前项和公式进行求解即可.

【详解】当时，，

当时，，

，得，

所以

故答案为：

五、解答题

17．已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求.

【答案】(1)，曲线是一个双曲线，除去左右顶点

(2)

【分析】（1）设，则的斜率分别为，，根据题意列出方程，化简后即得C的方程，根据方程可以判定曲线类型，注意特殊点的去除；

（2）联立方程，利用韦达定理和弦长公式计算可得.

【详解】（1）解：设，则的斜率分别为，，

由已知得，

化简得，

即曲线C的方程为，

曲线是一个双曲线，除去左右顶点.

（2）解：联立消去整理得，

设，，则，

.

18．已知数列的前项和为，满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由于的关系，结合等比数列的通项公式求解即可；

（2）利用错位相减法求解即可

【详解】（1）①，

当时，②，

①②得，即，

又时，，

∴为首项，公比的等比数列，

故，

∴

（2）

③

④

③④得

∴

19．已知抛物线C：（）与圆O：相交于A，B两点，且点A的横坐标为.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.

（1）求抛物线C的方程.

（2）过点M，N作抛物线C的切线，，是，的交点，求证：点P在定直线上.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）易得点A的坐标为，然后利用待定系数法即可求得抛物线的方程；

（2）抛物线，则，设,，可分别求得切线PM的方程和切线PN的方程，联立解得点，设直线MN的方程为，代入抛物线的方程得，所以，进而可得点的纵坐标为，命题得证.

【详解】（1）点A的横坐标为，所以点A的坐标为，

代入解得，所以抛物线的方程为；

（2）抛物线，则，设,，

所以切线PM的方程为 ，即,

同理切线PN的方程为，

联立解得点，

设直线MN的方程为，代入，

得，所以，

所以点P在上，结论得证.

【点睛】方法点睛：直线过定点的解题策略一般有以下几种：

（1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据 特殊情况先找到这个定点，再进行证明；

（2）直接找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式或者斜截式方程，从而得到定点；

（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过定点坐标，注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.

20．森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥着重要的作用.为了实现到2030年，我国森林蓄积量将比2005年增加60亿立方米这一目标，某地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划.经统计，本地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉s万立方米（）的森林.设为自2021年开始，第n年末的森林蓄积量（单位：万立方米）.

（1）请写出一个递推公式，表示，两者间的关系；

（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中r，k为常数；

（3）为了实现本地森林蓄积量到2030年底翻两番的目标，每年的砍伐量s最大为多少万立方米？（精确到1万立方米）

参考数据：，，.

【答案】（1）；（2）；（3）19.

【分析】（1）根据题意得到，化简求解；

（2）将转化为，再与（1）的结果对比求解；

（3）由（2）得到，则数列是等比数列，求得其通项公式，再由求解.

【详解】（1）由题意，得，

.①

（2）将化成，②

比较①②的系数，得，

解得.

所以递推公式为.

（3）因为，且，

所以，

由（2）可知，

所以，

即数列是以为首项，为公比的等比数列，

其通项公式为，

所以.

2030年底的森林蓄积量为数列的第10项，

.

由题意，森林蓄积量到2030年底要达到翻两番的目标，

所以，即，

即.解得.

所以每年的砍伐量最大为19万立方米.

21．已知数列与的前项和分别为，，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)，若恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用与的关系求出和，证明是等差数列，即可求出数列的通项公式.

（2）化简，利用裂项相消法求出，再利用数列的单调性即可求出的取值范围.

【详解】（1）由题意， ，

在数列中，

当时，，

解得或．

∵

∴．

∵

∴．

两式相减得．

∴．

∵，

∴．

即数列是以3为首项，3为公差的等差数列，

∴

即

（2）由题意及（1）得，，

在数列中，

在数列中，

∴．

∴．

∵恒成立，

∴．

∴的取值范围为

22．在数列中，，，且对任意的，都有.

(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析，；

(2).

【分析】（1）由，可得，即是等比数列，可求得，变形为，即可得到是等差数列，可求得，从而求得；

（2），利用分组求和以及等差等比前项和公式，先求出为正偶数时的表达式，再求为正奇数时的表达式，即可得到.

【详解】（1）证明：因为，，所以.

因为，所以，

又，则有，

所以，

所以是以4为首项，2为公比的等比数列.

所以，

所以，

又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以，所以.

（2）由（1）知，

则的奇数项为以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以，为公差的等差数列.

所以当为偶数，且时，

；

当为奇数，且时，为偶数，

.

时，，满足.

所以，当为奇数，且时，有.

综上，.

【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.