2022-2023学年山西省运城市教育发展联盟高二上学期12月调研数学试题（解析版）

2022-2023学年山西省运城市教育发展联盟高二上学期12月调研数学试题

一、单选题

1．准线方程为的抛物线的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.

【详解】由于抛物线的准线方程是，

所以抛物线的开口向左，设抛物线的方程为，

则，所以抛物线的标准方程为.

故选：B

2．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ）

A．10 B．12 C．14 D．16

【答案】D

【分析】首先通过已知条件求出等差数列的基本量和，然后根据等差数列的通项公式进行求解即可.

【详解】已知，所以，解得.

因此得.

故选：D

3．已知双曲线的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据双曲线几何性质解决即可.

【详解】由题知双曲线中，

所以，双曲线焦点在轴上，

所以双曲线的渐近线方程为，

故选：C.

4．已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦长的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】结合已知条件求出圆的圆心和半径，由圆的弦长公式和性质即可求解.

【详解】由圆的方程可知，

则圆心坐标，半径为，

因为，所以点在圆的内部，

设圆心到直线的距离为，则过的直线与圆的相交弦长，

显然当最大时，弦长最小，

由圆的性质可知当时最大，

此时，

所以弦长的最小值为，

故选：D

5．已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】直线方程变为，可得定点.根据的方向向量，可得斜率为，代入点斜式方程，化简为一般式即可.

【详解】可变形为，

解得，即点坐标为.

因为，所以直线的斜率为，又过点，

代入点斜式方程可得，整理可得.

故选：A.

6．已知空间直角坐标系中的点，，，则点Р到直线AB的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.

【详解】，，，

，，，

在上的投影为，

则点到直线的距离为.

故选：D．

7．在平面直角坐标系中，已知圆：（圆心为），点，点Р在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则点Q的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据椭圆的定义求得正确答案.

【详解】圆：的圆心，半径.

由于，所以在圆内，

根据垂直平分线的性质可知，

所以，

所以点的轨迹是椭圆，且，

所以点的轨迹方程是.

故选：C

8．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线：.给出以下命题：

①当时，若直线 截黑色阴影区域所得两部分面积记为，（），则；

②当时，直线与黑色阴影区域有1个公共点；

③当时，直线与黑色阴影区域有2个公共点.

其中所有正确命题的序号是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】A

【分析】由题知根据直线：横过点 ，为直线的斜率

根据直线和圆的位置关系作图，数形结合逐项分析判断即可得解

【详解】如图1所示，大圆的半径为2，小圆的半径为1，

所以大圆的面积为，小圆的面积为．

对于①，当时，直线的方程为．

此时直线将黑色阴影区域的面积分为两部分，

，，

所以，故①正确．

对于②，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为

当时，直线的方程为，

即，小圆圆心到直线的距离，

所以直线与该半圆弧相切，如图2所示，

所以直线与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确．

对于③，当时，如图3所示，

直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点，

当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点，故③错误．

综上所述，①②正确．

故选：A．

二、多选题

9．已知双曲线：，则下列选项中正确的是（    ）

A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为

C．的离心率为 D．的焦点到渐近线的距离为3

【答案】BC

【分析】根据已知条件，可知双曲线的焦点在轴上，，，，然后逐项判断双曲线的性质即可.对于D项，根据点到直线的距离求出即可判断.

【详解】由已知，双曲线的焦点在轴上，且，，则，

所以，，.

所以的焦点坐标为、，故A项错误；

顶点坐标为、，故B项正确；

离心率，所以C项正确；

渐近线方程为与，

焦点到渐近线的距离为，所以D项错误.

故选：BC.

10．已知等比数列是单调数列，设是其前项和，若，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】利用等比数列的通项公式和前项和求解即可.

【详解】设等比数列的公比为，

则有，解得或，

当时数列不是单调数列，所以，

所以，故A错误；

，故B正确；

，故C错误；

，

，

所以成立，故D正确.

故选:BD.

11．如图，直三棱柱中，，，．点Р在线段上（不含端点），则（    ）

A．不存在点，使得

B．面积的最小值为

C．的最小值为

D．三棱锥与三棱锥的体积之和为定值

【答案】BD

【分析】对于A项，通过证明可得出，进而得出使得的P点的位置；对于B项，通过转化，表达出三棱锥的两种体积的表达式，即可求出点P到的距离的最小值，进而求出面积的最小值；对于C项，通过对两个面的翻转和几何知识求出，进而求出的最小值；对于D项，通过转化，分别得到点P到面的距离为点M到面的距离，点P到面的距离为点M到面的距离，表达出三棱锥与三棱锥的体积之和，即可求出三棱锥与三棱锥的体积之和为定值.

【详解】解：由题意

在直三棱柱中，，， ，

∴

在△ABC中，，

∴

∵,

∴，

在矩形中，

如下图，连接，，

∴

∴

∵

∴

∴

∴当点P为和的交点时，，

故A错误.

连接，

点P到的距离的最小值为直线与之间的距离d，

∵，

∴

∴点A到面的距离为d，

在三棱锥中，,

即

解得：

∴，

故B正确.

将△和△沿展开，连接交于点D，当点P与点D重合时的值最小，如下图所示：

，，

，，

在△中，由余弦定理得，

故C错误.

过点P作直线，交于点M，如下图所示，

∴点P到面的距离为点M到面的距离，设为，点P到面的距离为点M到面的距离，设为.

在△中，由几何知识得，，，，

∴

∴三棱锥与三棱锥的体积之和为

，

故D正确.

故选：BD.

【点睛】考查了立体几何中的动点的相关位置关系，面积，体积和最值问题，考查空间想象力和逻辑推理能力.

12．在平面四边形ABCD中，A，C在BD两侧，的面积是面积的2倍，又数列满足，恒有，设数列的前n项和为，则（    ）

A．为递增数列 B．为等比数列

C．为等差数列 D．

【答案】ACD

【分析】设与交于点，由面积比得，根据平面向量基本定理得与关系，从而得数列递推关系，然后根据各选项求解数列，判断结论，其中选项D需要用错位相减法求和．

【详解】设与交于点，，

，

共线，所以存在实数，使得，

所以，

所以，所以，，

所以，即是以为首项，为公差的等差数列，故C正确；

所以，即，

对于A，，，所以为递增数列，故A正确；

对于B，，，，所以，所以不是等比数列，故B错误；

对于D，因为，

，

所以两式相减得

，

所以，D正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．已知数列的前n项和，则数列的通项公式是______.

【答案】

【分析】 时,,利用 时, 可得,最后验证是否满足上式,不满足时候,要写成分段函数的形式.

【详解】当 时, ,

当时, =,

又 时,不适合,

所以.

【点睛】本题考查了由求 ,注意使用求 时的条件是,所以求出后还要验证 适不适合 ,如果适合,要将两种情况合成一种情况作答,如果不适合,要用分段函数的形式作答.属于中档题.

14．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是____________．

【答案】1

【分析】根据两直线平行，可得，然后根据两条平行线之间的距离公式即可求出距离.

【详解】由已知可得，，所以，

则两直线方程为与.

将直线方程化为，

则两条直线之间的距离为.

故答案为：1.

15．在平行六面体中，，，，点P在上，且，则___________．（用，，表示）

【答案】

【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于的表达式.

【详解】由平面六面体法则可知，

.

故答案为：.

16．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交C于A，B两点（点A在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率___________．

【答案】

【分析】由题意得，联立直线与椭圆方程得，，再利用，再代入值计算即可得答案.

【详解】如图所示，由椭圆定义可得，，

设的面积为，的面积为，因为，

所以，即，

设直线，则联立椭圆方程与直线，可得

，

由韦达定理得：，

又，即

化简可得，即，

即时，有.

故答案为：

四、解答题

17．已知圆过平面内三点，，．

(1)求圆的标准方程；

(2)若点B也在圆上，且弦AB长为，求直线AB的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）将三点代入圆的一般方程，求解方程组得出圆的一般方程，再将其转化为标准方程即可；

（2）先求出圆心C到直线的距离，当直线斜率不存在时，验证直线是否满足要求，当直线斜率存在时，设出方程，根据距离公式得出斜率，进而得出方程.

【详解】（1）设圆的方程为，

，解得

即，故圆的标准方程为．

（2）圆心到直线的距离，

当直线斜率不存在时，方程为：，此时，不符合题意；

当直线斜率存在时，设直线方程为：，

，解得

∴直线方程为或．

18．已知数列的前项和为，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由条件结合与的关系，证明数列是等比数列，从而得到数列的通项公式；

(2)由(1)可知，利用分组转化为等差数列和等比数列求和.

【详解】（1）∵，①

∴．②

①-②得，即

又，，∴，∴，

∴是以2为首项，2为公比的等比数列，

∴．

（2）由（1）得，，

∴

．

19．如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面四边形ABCD为菱形且，，M为OA的中点，N为BC的中点．

(1)证明：直线平面OCD；

(2)求点B到平面OCD的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】由题可过点A作垂线垂直于CD，垂足为CD中点，令中点为P，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求出答案.

【详解】（1）作于点P，则P为CD中点，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系．

则，，，，，，，，

∴，，，

设平面的法向量为，

则，，

即取，解得；

所以，平面OCD，

∴平面OCD；

（2）设点B到平面OCD的距离为，

则d为向量在向量上的投影数量的绝对值，

由，得，

所以点B到平面OCD的距离

20．已知数列中，，（）.

（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设，，试比较与的大小.

【答案】（1）见解析；

（2）当时，有，当时，有.

【详解】试题分析：

(1)由等差数列的定义即可证得数列是等差数列，进而取得求数列的通项公式是.

(2)裂项求和，结合前n项和的特点可得当时，有，当时，有.

试题解析：

（1）解：∵，（），

∴，即.

∴是首项为，公差为的等差数列.

从而.

（2）∵，由（1）知.

∴（）

∴，

而，

∴当时，有；

当时，有.

点睛：注意等差数列概念中的“从第2项起”与“同一个常数”的重要性.

使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．

21．如图，平面五边形PABCD中，是边长为2的等边三角形，，AB＝2BC＝2，，将沿AD翻折成四棱锥P－ABCD，E是棱PD上的动点（端点除外），F，M分别是AB，CE的中点，且．

(1)证明：；

(2)当直线EF与平面PAD所成的角最大时，求平面ACE与平面PAD夹角的余弦值．

【答案】(1)证明详见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得.

（2）先判断出直线EF与平面PAD所成的角最大时点是的中点，然后利用向量法求得平面ACE与平面PAD夹角的余弦值.

【详解】（1）设是的中点，连接，

三角形是等边三角形，所以，.

四边形是直角梯形，，

所以四边形是平行四边形，也即是矩形，所以，.

折叠后，，所以，所以，

由于平面，

所以平面，

则两两相互垂直，由此建立如图所示的空间直角坐标系，

，设，

，所以，则，

所以，

所以.

（2）由于平面，平面，所以，

由于平面，

所以平面，由于平面，所以，

所以是直线与平面所成角，

在直角三角形中，，

由于，所以当最小时，最大，也即最大，

由于三角形是等边三角形，所以当为的中点时，，取得最小值.

由于，，故此时，

平面的法向量为，

，

设平面的法向量为，

则，故可设，

设平面与平面的夹角为，

则.

22．已知双曲线：的离心率为，左、右顶点分别为点满足．

(1)求双曲线的方程；

(2)过点的直线与双曲线交于两点，直线（为坐标原点）与直线交于点．设直线的斜率分别为，，求证：为定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)利用向量的数量积的坐标运算求出即可求双曲线方程；(2) 设，，将直线的斜率，之积表示为的代数表达式，利用韦达定理即可证明.

【详解】（1）由题意知，，又，

所以，，

由，可得，

又，所以，故，

所以双曲线的方程为；

（2）因为，，

若直线的斜率不存在，则与双曲线仅有一个公共点，不合题意，故的斜率存在，

设：，

联立得：，

设，，

则，．

因为，故：，①

又，，

所以：，②

联立①②，解得，

于是

所以为定值．