2022-2023学年陕西省西安市周至县第四中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年陕西省西安市周至县第四中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．不等式的解集为（    ）

A． B．（－4，1）

C．（－1，4） D．

【答案】C

【分析】直接用因式分解求得解集即可.

【详解】因为不等式可化为:

解得:

所以解集为:.

故选:C.

2．数列1，1，2，3，5，8，13，，34，55，89，……，其中的值为（    ）

A．19 B．21 C．23 D．25

【答案】B

【分析】根据所给数据的规律可知，从第三个数开始每个数都是前个数的和，从而可得结果.

【详解】根据所给数据的规律可知，从第三个数开始每个数都是前个数的和，

，

故选：B

【点睛】归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）

3．已知数列是等比数列，且，，则　　

A．15 B．24 C．32 D．64

【答案】C

【分析】由，，利用等比数列的通项公式可得公比，由此能求出．

【详解】因为，，

所以，即，

可得公比，

故,故选C．

【点睛】本题主要考查等比数列通项公式基本量运算，是基础题．等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.

4．已知等差数列的前项和满足且，则下列结论错误的是

A．和均为的最大值

B．

C．公差

D．

【答案】D

【详解】试题分析：由可得,故,且,所以且和均为的最大值,故应选D.

【解析】等差数列的前项和的性质及运用.

5．若，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意求得，逐项判定，即可求解.

【详解】由，可得，，即，可得，

所以，故A，B错误；

由，可得，，则，故C错误；

由，可得，故D正确．

故选：D.

6．在中,若，，，则

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【分析】依题意，由正弦定理即可求得得值.

【详解】由正弦定理得，.

故选B.

【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，属于基础题．

7．在△ABC中，若三边之比，则等于（    ）

A． B． C．2 D．－2

【答案】B

【分析】根据正弦定理将角化边，再结合已知条件，即可求得结果.

【详解】根据正弦定理可得.

故选：B.

8．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：斤棉花，分别赠送给个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.

详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996，

设首项为，结合等差数列前n项和公式有：

，

解得：，则.

即第八个孩子分得斤数为.

本题选择B选项.

点睛：本题主要考查等差数列前n项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

9．已知实数x，y满足，则的最小值为（    ）

A． B． C．2 D．7

【答案】A

【分析】根据不等式组画出可行域，然后根据的几何意义求最值即可.

【详解】由不等式组可得可行域如下：

由可得，表示直线经过可行域上的点时的纵截距，

所以当直线过点时，最小，

联立，解得，所以，

将代入可得.

故选：A.

10．按复利计算利率的储蓄，存入银行万元，如果年息，年后支取，本利和应为人民币万元．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等比数列首项和公比，求得的值.

【详解】依题意可知，本利和所成的数列是等比数列，且首项为，公比为，年后为.故选B.

【点睛】本小题考查等比数列的识别，考查实际生活中的等比数列的案例，考查等比数列的通项公式，属于基础题.

11．东寺塔与西寺塔为昆明市城中古景，两塔一西一东，已有1100多年历史.东寺塔基座为正方形，塔身有13级.如图，在A点测得塔底在北偏东的点D处，塔顶C的仰角为.在A的正东方向且距D点的B点测得塔底在北偏西，则塔的高度约为（    ）（参考数据：）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】在△ABD中应用正弦定理求得，再根据且即可求结果.

【详解】由题设，，，

所以，则，

又，则，故m.

故选：C

12．在上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则a最大为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据运算的定义可得等价于，利用二次函数的性质可求左式的最小值，从而可得关于的不等式，求出其解后可得实数的最大值.

【详解】原不等式等价于，

即对任意x恒成立.

，

所以，解得，

故选：D

二、填空题

13．如果椭圆上一点P到焦点的距离等于6，则点P到另一个焦点的距离为____

【答案】14

【分析】根据椭圆的定义及椭圆上一点P到焦点的距离等于6，可得的长.

【详解】解：根据椭圆的定义，

又椭圆上一点P到焦点的距离等于6，

，故，

故答案：.

【点睛】本题主要考查椭圆的定义及简单性质，相对简单.

14．等差数列中，若，，则数列前11项的和为__________．

【答案】121

【分析】由等差数列的性质可得，，然后利用等差数列前项和公式求解即可.

【详解】等差数列中，由，可得，，

可得，则数列前11项的和,

故答案为：121

【点睛】本题考查等差数列性质的应用，考查等差数列前项和公式的应用，属于基础题.

15．在△ABC中，若，，，则_________．

【答案】

【分析】利用余弦定理即可求解.

【详解】因为，，，由余弦定理可知，，化简可得，解得.

故答案为：

16．设，，给出下列不等式：

①；

②

③；

④．

其中所有恒成立的不等式序号是__________．

【答案】①②③

【分析】利用作差法以及基本不等式，结合不等式性质，可得答案.

【详解】对于①，，故①正确；

对于②，，当且仅当时等号成立，且，当且仅当时等号成立，则，故②正确；

对于③，，当且仅当，即时等号成立，故③正确；

对于④，，当且仅当成立，则，故④不正确.

故答案为：①②③.

三、解答题

17．已知为等差数列，且，．

（1）求的通项公式；

（2）若等比数列满足，，求数列的前项和公式．

【答案】(1);(2).

【详解】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n项和的综合运用．、

（1）设公差为，由已知得

解得,

（2），

等比数列的公比

利用公式得到和．

18．在中，角的对边分别为，且．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，且，求和的值．

【答案】（1），（2）或.

【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得到，再由，则，即可求得，然后可得答案；

（2）由（1）和，求得，再利用余弦定理，求得，进而得到和的值．

【详解】（1）在中，因为

由正弦定理得，，

可得，

即，可得，

又因为，则，所以.

因为，所以

（2）由，可得，

又，故①

因为，根据余弦定理，可得，

所以

所以，即②

由①②可解得或

【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.

19．己知x，y都是正实数，

(1)若，求的最小值．

(2)若，求的最大值；

【答案】(1)9；

(2)6.

【分析】（1）化简，再利用基本不等式求解；

（2）直接利用基本不等式求解.

【详解】（1）.

当且仅当时等号成立.

所以的最小值为9.

（2）.

当且仅当时等号成立.

所以的最大值为6.

20．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别是、，椭圆上的一点P到两焦点距离的和等于10；

(2)长轴长等于12，离心率等于．

【答案】(1)

(2)或

【分析】利用题意分别求出即可.

【详解】（1）设该椭圆的标准方程为

由题可知，所以有

所以该椭圆的标准方程为

（2）由题可知：，所以解得

当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为

当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为