2022-2023学年陕西省榆林市府谷中学高二上学期期中数学（文）试题（解析版）

2022-2023学年陕西省榆林市府谷中学高二上学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．已知数列的通项公式为，则数列是（    ）

A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列

C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列

【答案】A

【分析】由通项公式可知，这是等比数列，然后利用等比数列的定义求出首项和公比即可.

【详解】因为，，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.

故选：A

2．椭圆的焦点坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将椭圆方程化为标准方程求解即可.

【详解】解：椭圆方程可化为，

设焦距为，因为，所以焦点在轴上，，，所以，

所以椭圆的焦点坐标是.

故选：A.

3．图中阴影部分所表示的区域满足的不等式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先求出直线方程，然后将点代入方程，即可求出对应不等式.

【详解】图中直线对应的方程是，由于直线是虚线，故排除A，C选项．

当，时，，所以点在不等式所对应的区域，

所以阴影部分所表示的区域满足的不等式是．

故选：B．

4．已知椭圆的长轴长为10，离心率为，则椭圆的短轴长为（    ）

A．3 B．4 C．6 D．8

【答案】D

【分析】根据已知求出，再求出即得解.

【详解】由题意，得，，所以，所以，

所以椭圆的短轴长为8.

故选：D.

5．中，“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据求出角的值，利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】在中，若，则或，

因为，因此，“”是“”的必要不充分条件.

故选：C.

6．如图所示，程序框图的输出值（    ）

A．15 B．22 C．24 D．28

【答案】A

【分析】根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.

【详解】根据给定的程序框图，可得：

第1次循环，满足判断条件，；

第2次循环，满足判断条件，；

第3次循环，满足判断条件，；

第4次循环，不满足判断条件，输出.

故选：A.

7．已知平面向量，满足 ，，的夹角为，若 ，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据向量的数量积运算即可.

【详解】，，的夹角为，得 ，

， .

故选：D.

8．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题得，化简即得解.

【详解】由题得，

因为，所以.

故选：B

9．给出命题：在中，若，则、、成等差数列.这个命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】判断出原命题和逆命题的真假，由此可得出结果.

【详解】原命题中，若，则，

所以、、成等差数列，故原命题是真命题，所以其逆否命题是真命题.

原命题的逆命题是“在中，若、、成等差数列，则”，

由、、成等差数列，得，因为，所以，

所以逆命题是真命题，所以否命题也是真命题.

故选：D.

10．将函数的图象向左平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据图象变换规律可得，然后根据三角函数的性质即得.

【详解】由题意可得函数，

又，所以，

所以，

所以．

故选：C．

11．在矩形ABCD中，，，在边CD上随机取一点P，则使的最大边是AB的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由对称性知当时，E、F是P的临界位置，再根据几何概型的公式计算即可．

【详解】解：由图形的对称性和题意知，当，

即，

点P应在E，F之间时，的最大边是AB．

由几何概型可知，在边CD上随机取一点P，

则使的最大边是AB的概率为

，

故选：D．

12．已知命题已知，若数列是递增数列，则；命题若，则的最小值是，则下列命题为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据递增数列的性质可判断命题的真假，再根据基本不等式及其取等条件判断命题，进而判断各选项.

【详解】要使数列是递增数列，只要，解得，所以为假命题；

因为，所以，所以，

当且仅当“”时等号成立，而，故不等式取等号条件不成立，

故为假命题.从而为真命题.

故选：D.

二、填空题

13．命题“，”的否定是________.

【答案】，

【分析】由含有一个量词的命题的否定的定义求解.

【详解】因为命题“，”是全称量词命题，

所以其否定是存在量词命题，即为，，

故答案为：，.

14．在数列中，，且，则_______.

【答案】##

【分析】根据数列的递推公式，发现规律，即数列为周期数列，然后求出即可

【详解】根据题意可得：，，，

故数列为周期数列

可得：

故答案为：

15．已知，，实数 ，，，成等差数列 ，，，成等比数列，则的最小值为______.

【答案】4

【分析】根据，等量代换，结合基本不等式解决即可

【详解】由题意得，，

所以

，

当且仅当时等号成立，

所以的最小值为4.

故答案为：4

16．经过点作直线交椭圆于M，N两点，且P为MN的中点，则直线的方程为____________.

【答案】

【分析】设，，代入椭圆的方程，利用点差法求出所在直线的斜率，再由点斜式方程即可得出答案.

【详解】设，，则，，

两式相减可得，即，

由中点，可得，，

所以，即，

故直线的方程为.因为P在椭圆内，故直线必与椭圆相交，符合题意

故答案为：.

三、解答题

17．1.在中，角，，的对边分别为，，，已知.

(1)求；

(2)若，，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先用正弦定理进行边化角，进而通过两角和与差的正弦公式化简，最后求得答案；

（2）结合（1），运用余弦定理求出c，进而求出三角形的周长.

【详解】（1）由正弦定理得，

即，则.

因为，所以，所以，得.

（2）由（1）知，，又，，

所以由余弦定理可得

即，解得（舍）或.

所以三角形的周长为.

18．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，．

(1)求数列与数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)，.

(2)

【分析】（1）直接根据等差数列等比数列通项公式计算得到答案.

（2），利用分组求和法结合等差等比数列求和公式计算得到答案.

【详解】（1），，解得，（舍去）.

故，.

（2），

故.

19．已知：关于的不等式对任意实数都成立，：关于的方程在区间上有解.

(1)若是真命题，求实数的取值范围；

(2)若是真命题，是假命题，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分和进行讨论即可得到答案.

（2）由题意与一个是真命题，一个是假命题，分真假，假真分别求解即可.

【详解】（1）对于命题，当时，不等式恒成立；

当时，若关于的不等式对任意实数都成立，则解得.

综上，若是真命题，则实数的取值范围是.

（2）对于，因为，所以，即.

所以若是真命题，则实数的取值范围是.

又因为是真命题，是假命题，

所以与一个是真命题，一个是假命题.

当真假时， 解得；

当假真时，  解得

.

综上，实数的取值范围是.

20．已知点是椭圆上的一点，，分别是椭圆的左，右焦点.

(1)若，求的长度；

(2)若，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据椭圆方程和题干条件设，代入椭圆即可求解；

(2)利用椭圆的定义，求出焦点三角形三边的关系，再利用余弦定理求出，

最后利用面积公式即可求解.

【详解】（1）由椭圆，得，，

则，所以，

由，设，代入椭圆，

得，解得，所以.

（2）由题意，得，，

又，由余弦定理可得，

即，所以.

所以的面积.

21．某公司组织了丰富的团建活动，为了解员工对活动的满意程度，随机选取了100位员工进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照，，，…，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图（这100人的评分值都分布在之间）．

(1)求实数m的值以及这100人的评分值的中位数；

(2)现从被调查的问卷满意度评分值在的员工中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．

【答案】(1)，75

(2)

【分析】（1）分别根据频率之和为1及中位数的估计方法可求解；

（2）先抽取人数，再计算概率即可.

【详解】（1）由，解得．

中位数设为x，则，解得．

（2）易得满意度评分值在内有20人，抽得样本为2人，记为，，

满意度评分值在有30人，抽得样本为3人，记为，，，

记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A，

基本事件有，，，，，，，，，共10个，

A包含的基本事件个数为4个，

所以．

22．已知椭圆的左、右顶点分别为，，离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知直线，M是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AM交直线l于点P，直线BM交直线l于点Q.求证：以PQ为直径的圆恒过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据左右顶点坐标得到，根据离心率得到，然后得到，即可得到椭圆方程；

（2）设，得到，根据坐标得到直线和的直线方程，即可得到，，然后根据坐标和得到圆的方程为，即可得到以为直径的圆过定点.

【详解】（1）由左、右顶点分别为，，得，

由离心率为，得，解得，所以，

所以椭圆的方程为.

（2）证明：设，则，

由，，得，令，则，

由，，得：，令，则，

以为直径的圆的方程为，

即，

又，所以，

令，则，故以为直径的圆恒过定点和.