2022-2023学年陕西省咸阳中学高二上学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年陕西省咸阳中学高二上学期第三次月考数学（理）试题

一、单选题

1．数列，满足，（），则（    ）

A．－2 B．－1 C．2 D．

【答案】A

【分析】根据所给关系式，代入数据，可得数列的周期，计算即可得答案.

【详解】由题意得，，

，，

所以数列是周期数列，且周期为3，

所以，

所以

故选：A

2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地.”则此人第天走了（    ）

A．里 B．里 C．里 D．里

【答案】D

【分析】由题意可知，每天走的里数构成以为公比的等比数列，由求出首项，再由等比数列通项公式可求得结果

【详解】解：记每天走的路程里数为，可知是以公比的等比数列，

因为，所以，解得，

所以，

故选：D

【点睛】此题考查函数模型的选择及等比数列的通项公式、等比数列的前项和公式的应用

3．已知为等比数列，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等比数列的性质有，进而求得答案.

【详解】因为为等比数列，所以，所以.

故选：B.

4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则（    ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】利用余弦定理列出关于b的方程，解之即可求得b的值.

【详解】由余弦定理得，

即，解得，或（舍去）.

故选：C．

5．在中，，，分别为，，的对边，如果，那么的度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理计算可得；

【详解】解：因为，由正弦定理可得，即，所以，又，所以，因为，所以；

故选：C

6．在中，，，，则的面积为（    ）

A． B．2 C．4 D．

【答案】A

【分析】先根据余弦定理求出边，进而求得的面积.

【详解】因为，，，

由余弦定理得，

所以，所以.

又因为，，所以，

所以.

故选：A.

7．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为（    ）

A． B．2 C．4 D．6

【答案】D

【分析】先画出可行区域，由几何意义求最值即可.

【详解】

画出可行区域如图，由得，则当直线经过点时，取最大值，.

故选：D.

8．已知，下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】举反例否定选项A,B,C；利用不等式的性质证明选项D正确.

【详解】对于A，当时不成立；

对于B，当时，显然不成立；

对于C，当时不成立；

对于D，因为，所以有，即成立.

故选：D．

9．命题“∃x0∈（0，+∞），使得＜”的否定是

A．∃x0∈（0，+∞），使得

B．∃x0∈（0，+∞），使得

C．∀x∈（0，+∞），均有ex＞x

D．∀x∈（0，+∞），均有ex≥x

【答案】D

【分析】由特称命题的否定直接写出结果即可判断．

【详解】命题“∃x0∈（0，+∞），使得＜”的否定是：

“x∈（0，+∞），使得”

故选D

【点睛】本题主要考查了特称命题的否定，属于基础题．

10．平面向量 . 则“”是 “”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】由充分条件与必要条件的定义求解即可

【详解】当时，，所以，故充分性成立；

当时，， 则， 故必要性不成立；

所以则“”是 “”的充分不必要条件，

故选：.

11．已知向量，满足条件，则的值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】先求出的坐标，进而根据空间向量垂直的坐标运算求得答案.

【详解】因为，所以，解得.

故选：A.

12．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作出辅助线，找到异面直线所成的角，利用几何性质进行求解.

【详解】连接与，因为，则为所求，又是正三角形，.

故选：C.

二、填空题

13．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________.

【答案】

【分析】运用参数分离，再结合基本不等式，即可求出实数的取值范围．

【详解】当时，不等式恒成立，

，

，时，取等号），

，

，

故答案为：

【点睛】本题考查二次不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式，考查运算能力．

14．已知，，且满足，则的最大值为__________.

【答案】

【分析】根据基本不等式求解即可

【详解】因为，，且满足，

则

当且仅当时取等号，

所以的最大值为3.

故答案为：

15．设是数列的前项和，且，则_____________.

【答案】

【分析】根据题意可知，再利用裂项相消法，即可求出结果.

【详解】因为，

所以.

故答案为：.

16．命题“任意，”为真命题，则实数a的取值范围是______.

【答案】

【分析】分离常数，将问题转化为求函数最值问题.

【详解】任意，恒成立恒成立，故只需，记，，易知，所以.

故答案为：

三、解答题

17．如图，在四棱锥中，是正方形，平面，， 分别是的中点．

(1)求证：；

(2)求证：平面平面．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由平面，得，再根据线面垂直的判定定理和性质定理得证（2）由证明平面，由证明平面，再由面面平行的判定定理证明即可.

【详解】（1）由平面，得，又(是正方形)，，所以平面，所以.

（2）由分别是线段的中点，所以，又为正方形，，所以，又平面，所以平面.因为分别是线段的中点，所以，又平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.

18．已知等差数列的前项和为，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等差数列公差为d，首项为a1，根据已知条件列出方程组求解a1，d，代入通项公式即可得答案；

（2）根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解．

【详解】（1）解：设等差数列公差为d，首项为a1，

由题意，有，解得，

所以；

（2）解：，所以．

19．在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求角C的大小；

(2)若，且，求△ABC的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解；（2）根据余弦定理即可求解.

【详解】（1）由及正弦定理得    

    因为，故．    

    又∵ 为锐角三角形，所以．

（2）由余弦定理，    

    ∵，得

    解得：或   

∴ 的周长为．

20．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米.

(1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？

(2)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值.

【答案】(1)菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小

(2)

【分析】（1）利用基本不等式求解和的最小值；（2）利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.

【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为.

因为，

当且仅当时，即，时等号成立.

所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小.

（2）由题意得，，

，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值是.