2022-2023学年陕西省咸阳市永寿县中学高二上学期第三次月考数学（文）试题（解析版）

2022-2023学年陕西省咸阳市永寿县中学高二上学期第三次月考数学（文）试题

一、单选题

1．在等差数列中，若，，则公差（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【分析】根据等差数列的知识求得正确答案.

【详解】由等差数列的通项公式知．

故选：A

2．已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，则（    ）

A． B．3 C．4 D．

【答案】D

【分析】由方程得出的坐标，再由距离公式求解即可

【详解】因为椭圆的左顶点为A，上顶点为B，

所以，，

所以．

故选：D

3．命题：的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据特称命题的否定为全称命题，从而可得出答案.

【详解】因为特称命题的否定为全称命题，

所以命题“”的否定为“”.

故选：A.

4．下图是函数的导函数的图象，则函数的图象可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据导函数的正负决定原函数的增减性，从而可判断出函数图象

【详解】解：导函数的正负决定原函数的增减，由导数图象知，

原函数的单调性是递减、递增、递减，符合此规律的只有 A，

故选：A

5．已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据“虚轴长是实轴长的3倍”列方程，化简求得的自豪.

【详解】由题意有，解得．

故选：A

6．函数的导数为．则的值为（    ）

A．3 B．4 C．2 D．

【答案】A

【分析】根据列方程，求得，进而求得.

【详解】，

所以，解得，

所以.

故选：A

7．已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上任意一点，则的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.

【详解】抛物线的焦点为，准线为，

设点P的坐标为，，

根据抛物线的定义有，故的最小值为．

故选：B

8．已知函数，则曲线在处的切线斜率为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】D

【分析】由导数的几何意义求解即可

【详解】由，

可知，

所以，

故选：D．

9．《张邱建算经》记载了这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”，意思是“有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的路程是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里”．在上述问题中，此马第二天所走的路程大约为（    ）

A．170里 B．180里 C．185里 D．176里

【答案】D

【分析】根据题意，可知此马每天走的路程形成等比数列，利用等比数列的前项和公式求得基本量，从而得解.

【详解】由题意得，设这匹马的第天走的路程为，则有，，

所以数列是的等比数列，

故，解得，

所以．

故选：D.

10．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定的方程求出离心率，的表达式，再计算判断作答.

【详解】因椭圆的离心率为，则有，

因双曲线的离心率为，则有，所以.

故选：D

11．若函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】函数在定义域上单调递增等价于在上恒成立，即在上恒成立，然后易得，最后求出范围即可.

【详解】函数的定义域为，

，

在定义域上单调递增等价于在上恒成立，

即在上恒成立，即在上恒成立，

分离参数得，所以，即.

【点睛】方法点睛：已知函数的单调性求参数的取值范围的通解：若在区间上单调递增，则在区间上恒成立；若在区间上单调递减，则在区间上恒成立；然后再利用分离参数求得参数的取值范围即可.

12．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，的周长为10，则双曲线C的焦距为（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】C

【分析】由双曲线的定义和三角形的周长解得m的值，再由余弦定理列式可得结果.

【详解】设，，，

由双曲线的定义知：，

∴，a=m，

∴有，解得，

∵在和中，，

∴由余弦定理得，解得，可得双曲线的焦距为．

故选：C.

二、填空题

13．若，则的最小值为____________．

【答案】##

【分析】利用基本不等式求得正确答案.

【详解】∵，

∴

，

当且仅当，即时取等号，

∴的最小值是．

故答案为：

14．已知函数的图象在点处的切线方程是，则______．

【答案】6

【分析】由导数的几何意义求出，又因为切点坐标满足切线方程可得.

【详解】由导数的几何意义可得，，

又点在切线上，所以，则．

15．如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽     米.

【答案】2米

【详解】

如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，

将A（2，-2）代入，

得m=-2，

∴，代入B得，

故水面宽为米，故答案为米．

【解析】抛物线的应用

16．已知函数有三个零点，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】由题意可得与的图象有三个不同的交点，经判断时不符合题意，当时，时，两个函数图象有一个交点，可得时与的图象有两个交点，等价于与的图象有两个不同的交点，对求导，数形结合即可求解.

【详解】令可得，

若函数函数有三个零点，则可得方程有三个根，

即与的图象有三个不同的交点，

作出的图象如图：

当时，是以为顶点开口向下的抛物线，

此时与的图象没有交点，不符合题意；

当时，与的图象只有一个交点，不符合题意；

当时，时，与的图象有一个交点，

所以时与的图象有两个交点，

即方程有两个不等的实根，即方程有两个不等的实根，

可得与的图象有两个不同的交点，

令，则，

由即可得，

由即可得，

所以在单调递增，在单调递减，

作出其图象如图：

当时，，

当

时，可得与的图象有两个不同的交点，

即时，函数有三个零点，

所以实数的取值范围为，

故答案为：

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

三、解答题

17．已知命题p：，命题q：（a为常数）．

(1)若p是q的充要条件，求实数a的值；

(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解一次不等式化简命题p，分类讨论解二次不等式得到命题q，从而由充要条件求得实数a的值；

（2）由必要不充分条件得到集合的包含关系，从而求得实数a的取值范围.

【详解】（1）由解得，

由解得，

所以由可得，即命题p为，

当时，易得命题q为；

当时，易得命题q为；

当时，易得命题q为；

因为p是q的充要条件，所以．

（2）因为p是q的必要不充分条件，

所以集合为集合的真子集，

当时，由（1）知，；

当时，由（1）知，，则；

综上：，即实数a的取值范围为．

18．已知的内角A，，的对边分别是，，，的面积为，且满足．

(1)求角A的大小；

(2)若，求周长的最大值．

【答案】(1)

(2)12

【分析】（1）由结合三角形面积公式可化简得到，即可求得答案；

（2）利用余弦定理得到，进而化为，结合基本不等式求得，即可得周长的最大值.

【详解】（1），

，                                   

则，                                                              

，，

又，；

（2），，

由余弦定理得，                                           

即，，

所以,（当且仅当时取“＝”），                      

故，，                                                        

的最大值为8，的最大值为12，

周长的最大值为12．

19．已知函数的图象过点，且．

(1)求a，b的值；

(2)求曲线在点处的切线方程．

【答案】(1)，；

(2)

【分析】（1）根据点以及列方程，从而求得的值.

（2）利用切点和斜率求得切线方程.

【详解】（1）因为函数的图象过点，所以①．

又，，

所以②，

由①②解得：，．

（2）由（1）知，

又因为，，

所以曲线在处的切线方程为，

即．

20．已知抛物线C：的焦点为F，P为抛物线C上一动点，点Q为线段PF的中点．

(1)求点Q的轨迹方程；

(2)求点Q的轨迹与双曲线的交点坐标．

【答案】(1)

(2)，．

【分析】（1）利用中点坐标公式与直接代入法即可求得点Q的轨迹方程；

（2）联立两曲线方程，解之即可得解.

【详解】（1）设点Q的坐标为，

因为抛物线C：，所以点F的坐标为，

又点Q为线段PF的中点，所以点P的坐标，

将点P的坐标代入抛物线C的方程，得，整理为，

故点Q的轨迹方程为；

（2）联立方，解得，

故点Q的轨迹与双曲线的交点坐标为，．

21．已知函数

(1)若，求函数的单调区间;

(2)证明：函数至多有一个零点.

【答案】(1)在，上单调递增，在上单调递减

(2)证明见解析

【分析】（1）直接求导后判断单调性即可；

（2）先变形得到，构造函数，求导后说明单调性即可证明.

【详解】（1）当时，，.

令，解得或，

当时，；当时，，

故

在，上单调递增，在上单调递减.

（2），由于，所以等价于

设，

则，当且仅当或时，，所以在上单调递增，

故至多有一个零点，从而至多有一个零点.

22．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：，椭圆：，点P为椭圆的上顶点，点A，C为椭圆上关于原点对称的两个动点.斜率为的直线PA与椭圆交于另一点B，斜率为的直线PC与椭圆交于另一点D

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)-3

(2)

【分析】(1)设点的坐标为，则点的坐标为，且，

根据两点斜率公式求，由此可得的值；(2)分别联立直线与椭圆方程，求点的横坐标和点的横坐标，由此可求，同理可求，再求的值.

【详解】（1）设点的坐标为，可得点的坐标为，

由点在椭圆上有，可得，

点的坐标为，由，，

有，

故的值为-3；

（2）直线的方程为，

联立方程消去可得，解得或，点A的横坐标为.

联立方程消去可得，解得或，点的横坐标为，

有；

同理，

可得，

故的值为.