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2022-2023学年上海市曹杨第二中学高二上学期期中数学试题（解析版）
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2022-2023学年上海市曹杨第二中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．设为空间中的四个不同点，则“中有三点在同一条直线上”是“在同一个平面上”的（ ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】由公理2的推论即可得到答案.【详解】由公理2的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,可得在同一平面,故充分条件成立;由公理2的推论：过两条平行直线,有且只有一个平面,可得,当时, 在同一个平面上,但中无三点共线,故必要条件不成立;故选:A【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;公理2的三个推论：经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;经过两条平行直线,有且只有一个平面;经过两条相交直线,有且只有一个平面;2．在空间中，直线AB平行于直线EF，直线BC､EF为异面直线，若，则异面直线BC､EF所成角的大小为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据空间角的知识确定正确选项.【详解】由于，所以异面直线所成角为 .故选：B3．如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，以 为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直棱柱的高为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】作辅助线连接，并分别取它们的中点 ，利用线面垂直的判定定理证明三棱柱为直棱柱，利用三角形中位线定理即可求得棱柱的侧棱长，即得答案.【详解】连接 ，并分别取它们的中点 ， 连接 ，则，即且 ,, ,连接,则，，故，平面,平面,故平面,同理可证平面,平面,所以平面平面,连接,则，而,故 ，因为 平面平面 ，所以 ，又平面 ，所以平面平面 ，所以，同理可得 ，又平面 ，所以平面，所以平面，平面，平面，所以三棱柱为直棱柱，由正方体的棱长为1，所以,则 ,即三棱柱的高为，故选：A﹒4．已知直线垂直单位圆所在的平面，且直线交单位圆于点，，为单位圆上除外的任意一点，为过点的单位圆的切线，则（ ）．A．有且仅有一点使二面角取得最小值B．有且仅有两点使二面角取得最小值C．有且仅有一点使二面角取得最大值D．有且仅有两点使二面角取得最大值【答案】D【分析】作出二面角的平面角，设直线距离为，求出二面角平面角的正切值，根据基本不等式得最大值，再同上函数的性质确定最小值的有无．【详解】解：如图，过作于，因为垂直于圆所在平面，是平面内的直线，因此，而，平面，所以平面，又因为平面，所以，所以是二面角的平面角，又垂直于圆所在平面，是此平面内的直线，所以，设，则，，所以，当与不使命，所以，即，则，当且仅当，即时，等号成立，由对勾函数性质知在上是减函数，时，，所以在时取得最大值，即取得最大值，而无最小值，即无最小值，由对称性在平面的另一侧也有一个点，使得取得最大值．因此这样的点有两个，故选：D．【点睛】关键点点睛：本题考查求二面角的最值，解题关键是作出二面角的平面角，在直角三角形中利用正切函数求得角的正切值，从而用基本不等式求最值．二、填空题5．直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为 __．【答案】平行或相交【分析】利用平面的基本性质求解即可.【详解】因为直线a，b确定一个平面，所以a，b的位置关系为平行或相交，故答案为：平行或相交6．已知向量与向量垂直，则______【答案】3【分析】根据向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求得答案.【详解】因为向量与向量垂直,故，所以 ，故答案为：3.7．已知复数z满足（为虚数单位），则___________.【答案】【分析】利用复数的除法运算及共轭复数的概念即可求解.【详解】解：由题可得，则.故答案为：.8．表面积为的球的体积为______【答案】【分析】根据球的表面积先求出半径，利用球的体积公式求出体积.【详解】设球半径为，因为球的表面积为，所以，解得；所以体积为.故答案为：9．已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为___________；【答案】【分析】根据圆柱的侧面积公式计算可得.【详解】圆柱底面积为，所以底面半径r为3，且圆柱的高h为4，所以圆柱的侧面积为.故答案为：.10．已知正方体，则与平面所成角的正切值为______【答案】【分析】利用平面，可得为直线与平面所成角，利用正切函数可得结论.【详解】解：如图，连接在正方体中，平面，平面，则所以直线与平面所成角为角，设正方体的棱长为，所以，则所以与平面所成角的正切值为.故答案为：.11．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝________.【答案】8【分析】找到与直线CE，EF分别平行或共面的平面即可得解.【详解】正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF相交，即n＝4.又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8.【点睛】本题主要考查了线面的位置关系，属于基础题.12．如图，已知正六边形ABCDEF边长为1，点P是其内部一点，（包括边界），则的取值范围为______【答案】【分析】易得，再由表示在上的投影求解.【详解】解：由正六边形的性质得： ，则，，，而表示在上的投影，当点P在C处时，投影最大为，当点P在F处时，投影最小为0，所以的取值范围为，故答案为：13．设的内角所对的边分别为，若，则角=__________.【答案】【分析】根据正弦定理到，，再利用余弦定理得到，得到答案.【详解】，则，，故.根据余弦定理：，故.故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.14．如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点作截面后形成的.已知，，与底面所成的角为，则这个多面体的体积为_______.【答案】【分析】由题意，连接，可得，在底面正方形中，由，求得，在中，解直角三角形求得，求出直角梯形的面积，然后由棱锥的体积公式求得答案．【详解】如图连接 ，则在底面正方形中，由,得.在中，由,求得则所以多面体的体积为：故答案为：【点睛】本题考查棱柱、棱锥及棱台体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．15．若不等式对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是______【答案】【分析】分类讨论即可求得a的取值范围.【详解】当为奇数时， ，所以 ，对任意正整数n恒成立显然数列单调递增，令，故 ，得 当为偶数时，，所以，对任意正整数n恒成立显然数列单调递增，令，故 ，得综上所述： 故答案为：16．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面.已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，.①直四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等；②若，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为；③若，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为；④若四面体在点处的离散曲率为，则平面.上述说法正确的有______（填写序号）【答案】②④【分析】根据题意求出线线夹角，再代入离散曲率公式，对四个选项逐一分析判断，结合线面垂直的判定定理及性质即可得出答案.【详解】对于①，当直四棱柱的底面为正方形时，其在各顶点处的离散曲率都相等，当直四棱柱的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故①错误；对于②，若，则菱形为正方形，因为平面，平面，所以，，所以直四梭柱在顶点处的离散曲率为，故②正确；对于③，若，则，又，，所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为，故③错误；对于④，在四面体中，，，，所以，所以四面体在点处的离散曲率为，解得，易知，所以，所以，所以直四棱柱为正方体，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，同理，又平面，所以平面，故④正确，所以正确的有②④.故答案为：②④.【点睛】本题主要考查离散曲率，考查考生的创新能力、逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力，试题结合新定义——离散曲率命制立体几何试题，角度新颖，要求考生充分理解离散曲率的定义，结合立体几何的结构特征求解，体现了数学探索、理性思维学科素养．三、解答题17．如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB的中点，点P为母线SA的中点.(1)求此圆锥的体积；(2)求异面直线PQ与SO所成角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）由轴截面为等边三角形确定圆锥的高，再由圆锥的体积公式进行求解；（2）取的中点，连接，利用三角形的中位线得到，得到为异面直线与所成的角或其补角，再利用两个直角三角形和进行求解.【详解】（1）因为圆锥的底面半径，且截面三角形SAB是等边三角形，所以，，所以圆锥的体积为.（2）取的中点，连接、，又点为母线的中点，所以，故为异面直线与所成的角或其补角. 由点为半圆弧的中点，得，在中，因为，，所以，因为，且平面，所以平面，又平面，所以因为，在中，，且,所以.即求异面直线与所成角的大小为.18．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC、BD相交于点O，，，平面BCF⊥平面ABCD，，点G是BC的中点.(1)求证：直线OE⊥平面ABCD；(2)若，，求点G到平面ADE的距离.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先利用等腰三角形的“三线合一”得到，利用面面垂直的性质得到平面，再利用三角形的中位线、平行四边形的判定和性质得到，进而得到平面； （2）先利用线面平行的判定定理得到平面，将点到平面ADE的距离等于点到平面ADE的距离，再利用和体积公式进行求解.【详解】（1）连接、，因为，所以，又因为面面，面面，面，所以平面；因为、分别为、的中点，所以，且，又因为，且，所以，且，即四边形为平行四边形，所以，则平面；（2）因为，平面，平面，所以平面，即点到平面ADE的距离等于点G到平面ADE的距离，设所求距离为，则；由（1）得,，则，因为，，且，所以，因为，，且，所以，又，所以为等腰三角形，且边的高为，则,所以，解得，即点G到平面ADE的距离为.19．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.（1）若则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？【答案】（1）312（2）【详解】试题分析：（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解；（2）先根据体积关系建立函数解析式，，然后利用导数求其最值.试题解析：解：（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.因为A1B1=AB=6，所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）.（2）设A1B1=a（m），PO1=h（m），则0
2022-2023学年上海市曹杨第二中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．设为空间中的四个不同点，则“中有三点在同一条直线上”是“在同一个平面上”的（ ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】由公理2的推论即可得到答案.【详解】由公理2的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,可得在同一平面,故充分条件成立;由公理2的推论：过两条平行直线,有且只有一个平面,可得,当时, 在同一个平面上,但中无三点共线,故必要条件不成立;故选:A【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;公理2的三个推论：经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;经过两条平行直线,有且只有一个平面;经过两条相交直线,有且只有一个平面;2．在空间中，直线AB平行于直线EF，直线BC､EF为异面直线，若，则异面直线BC､EF所成角的大小为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据空间角的知识确定正确选项.【详解】由于，所以异面直线所成角为 .故选：B3．如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，以 为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直棱柱的高为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】作辅助线连接，并分别取它们的中点 ，利用线面垂直的判定定理证明三棱柱为直棱柱，利用三角形中位线定理即可求得棱柱的侧棱长，即得答案.【详解】连接 ，并分别取它们的中点 ， 连接 ，则，即且 ,, ,连接,则，，故，平面,平面,故平面,同理可证平面,平面,所以平面平面,连接,则，而,故 ，因为 平面平面 ，所以 ，又平面 ，所以平面平面 ，所以，同理可得 ，又平面 ，所以平面，所以平面，平面，平面，所以三棱柱为直棱柱，由正方体的棱长为1，所以,则 ,即三棱柱的高为，故选：A﹒4．已知直线垂直单位圆所在的平面，且直线交单位圆于点，，为单位圆上除外的任意一点，为过点的单位圆的切线，则（ ）．A．有且仅有一点使二面角取得最小值B．有且仅有两点使二面角取得最小值C．有且仅有一点使二面角取得最大值D．有且仅有两点使二面角取得最大值【答案】D【分析】作出二面角的平面角，设直线距离为，求出二面角平面角的正切值，根据基本不等式得最大值，再同上函数的性质确定最小值的有无．【详解】解：如图，过作于，因为垂直于圆所在平面，是平面内的直线，因此，而，平面，所以平面，又因为平面，所以，所以是二面角的平面角，又垂直于圆所在平面，是此平面内的直线，所以，设，则，，所以，当与不使命，所以，即，则，当且仅当，即时，等号成立，由对勾函数性质知在上是减函数，时，，所以在时取得最大值，即取得最大值，而无最小值，即无最小值，由对称性在平面的另一侧也有一个点，使得取得最大值．因此这样的点有两个，故选：D．【点睛】关键点点睛：本题考查求二面角的最值，解题关键是作出二面角的平面角，在直角三角形中利用正切函数求得角的正切值，从而用基本不等式求最值．二、填空题5．直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为 __．【答案】平行或相交【分析】利用平面的基本性质求解即可.【详解】因为直线a，b确定一个平面，所以a，b的位置关系为平行或相交，故答案为：平行或相交6．已知向量与向量垂直，则______【答案】3【分析】根据向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求得答案.【详解】因为向量与向量垂直,故，所以 ，故答案为：3.7．已知复数z满足（为虚数单位），则___________.【答案】【分析】利用复数的除法运算及共轭复数的概念即可求解.【详解】解：由题可得，则.故答案为：.8．表面积为的球的体积为______【答案】【分析】根据球的表面积先求出半径，利用球的体积公式求出体积.【详解】设球半径为，因为球的表面积为，所以，解得；所以体积为.故答案为：9．已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为___________；【答案】【分析】根据圆柱的侧面积公式计算可得.【详解】圆柱底面积为，所以底面半径r为3，且圆柱的高h为4，所以圆柱的侧面积为.故答案为：.10．已知正方体，则与平面所成角的正切值为______【答案】【分析】利用平面，可得为直线与平面所成角，利用正切函数可得结论.【详解】解：如图，连接在正方体中，平面，平面，则所以直线与平面所成角为角，设正方体的棱长为，所以，则所以与平面所成角的正切值为.故答案为：.11．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝________.【答案】8【分析】找到与直线CE，EF分别平行或共面的平面即可得解.【详解】正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF相交，即n＝4.又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8.【点睛】本题主要考查了线面的位置关系，属于基础题.12．如图，已知正六边形ABCDEF边长为1，点P是其内部一点，（包括边界），则的取值范围为______【答案】【分析】易得，再由表示在上的投影求解.【详解】解：由正六边形的性质得： ，则，，，而表示在上的投影，当点P在C处时，投影最大为，当点P在F处时，投影最小为0，所以的取值范围为，故答案为：13．设的内角所对的边分别为，若，则角=__________.【答案】【分析】根据正弦定理到，，再利用余弦定理得到，得到答案.【详解】，则，，故.根据余弦定理：，故.故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.14．如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点作截面后形成的.已知，，与底面所成的角为，则这个多面体的体积为_______.【答案】【分析】由题意，连接，可得，在底面正方形中，由，求得，在中，解直角三角形求得，求出直角梯形的面积，然后由棱锥的体积公式求得答案．【详解】如图连接 ，则在底面正方形中，由,得.在中，由,求得则所以多面体的体积为：故答案为：【点睛】本题考查棱柱、棱锥及棱台体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．15．若不等式对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是______【答案】【分析】分类讨论即可求得a的取值范围.【详解】当为奇数时， ，所以 ，对任意正整数n恒成立显然数列单调递增，令，故 ，得 当为偶数时，，所以，对任意正整数n恒成立显然数列单调递增，令，故 ，得综上所述： 故答案为：16．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面.已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，.①直四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等；②若，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为；③若，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为；④若四面体在点处的离散曲率为，则平面.上述说法正确的有______（填写序号）【答案】②④【分析】根据题意求出线线夹角，再代入离散曲率公式，对四个选项逐一分析判断，结合线面垂直的判定定理及性质即可得出答案.【详解】对于①，当直四棱柱的底面为正方形时，其在各顶点处的离散曲率都相等，当直四棱柱的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故①错误；对于②，若，则菱形为正方形，因为平面，平面，所以，，所以直四梭柱在顶点处的离散曲率为，故②正确；对于③，若，则，又，，所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为，故③错误；对于④，在四面体中，，，，所以，所以四面体在点处的离散曲率为，解得，易知，所以，所以，所以直四棱柱为正方体，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，同理，又平面，所以平面，故④正确，所以正确的有②④.故答案为：②④.【点睛】本题主要考查离散曲率，考查考生的创新能力、逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力，试题结合新定义——离散曲率命制立体几何试题，角度新颖，要求考生充分理解离散曲率的定义，结合立体几何的结构特征求解，体现了数学探索、理性思维学科素养．三、解答题17．如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB的中点，点P为母线SA的中点.(1)求此圆锥的体积；(2)求异面直线PQ与SO所成角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）由轴截面为等边三角形确定圆锥的高，再由圆锥的体积公式进行求解；（2）取的中点，连接，利用三角形的中位线得到，得到为异面直线与所成的角或其补角，再利用两个直角三角形和进行求解.【详解】（1）因为圆锥的底面半径，且截面三角形SAB是等边三角形，所以，，所以圆锥的体积为.（2）取的中点，连接、，又点为母线的中点，所以，故为异面直线与所成的角或其补角. 由点为半圆弧的中点，得，在中，因为，，所以，因为，且平面，所以平面，又平面，所以因为，在中，，且,所以.即求异面直线与所成角的大小为.18．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC、BD相交于点O，，，平面BCF⊥平面ABCD，，点G是BC的中点.(1)求证：直线OE⊥平面ABCD；(2)若，，求点G到平面ADE的距离.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先利用等腰三角形的“三线合一”得到，利用面面垂直的性质得到平面，再利用三角形的中位线、平行四边形的判定和性质得到，进而得到平面； （2）先利用线面平行的判定定理得到平面，将点到平面ADE的距离等于点到平面ADE的距离，再利用和体积公式进行求解.【详解】（1）连接、，因为，所以，又因为面面，面面，面，所以平面；因为、分别为、的中点，所以，且，又因为，且，所以，且，即四边形为平行四边形，所以，则平面；（2）因为，平面，平面，所以平面，即点到平面ADE的距离等于点G到平面ADE的距离，设所求距离为，则；由（1）得,，则，因为，，且，所以，因为，，且，所以，又，所以为等腰三角形，且边的高为，则,所以，解得，即点G到平面ADE的距离为.19．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.（1）若则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？【答案】（1）312（2）【详解】试题分析：（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解；（2）先根据体积关系建立函数解析式，，然后利用导数求其最值.试题解析：解：（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.因为A1B1=AB=6，所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）.（2）设A1B1=a（m），PO1=h（m），则0
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