2022-2023学年上海市奉贤区致远高级中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市奉贤区致远高级中学高二上学期12月月考数学试题

一、填空题

1．直线 的倾斜角为_______.

【答案】##

【分析】由斜率直接求出倾斜角.

【详解】由直线可得：斜率为.

设倾斜角为，所以，解得：.

故答案为：

2．两条平行直线与间的距离为_______．

【答案】

【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案.

【详解】依题意可知，两直线的距离为.

故答案为：

3．直线与直线的夹角为_________

【答案】##

【分析】结合两条直线的倾斜角求得正确答案.

【详解】直线的斜率为，倾斜角为；

直线的斜率为，倾斜角为，

所以两条直线的夹角为.

故答案为：

4．过点且与直线垂直的直线l的方程是________．

【答案】

【分析】根据两直线垂直，斜率乘积为，则得到，直接写出点斜式方程即可.

【详解】因为直线l与直线垂直，所以，解得：，

所以直线l的方程为，即.

故答案为：.

5．已知圆心且经过点圆的标准方程为_________．

【答案】

【分析】求得圆的半径，从而求得圆的标准方程.

【详解】圆的半径，

所以圆的标准方程为.

故答案为：

6．计算：________.

【答案】

【分析】利用等差数列求和公式计算即可.

【详解】.

故答案为：.

7．已知线段两端点的坐标分别为和，若直线恒过，且与线段有交点，则的斜率的取值范围是_____．

【答案】

【分析】根据已知条件及直线的斜率公式即可求解.

【详解】因为直线恒过,和，

所以，.

由题意可知，直线的斜率存在且的斜率，若直线与线段有交点，如图所示

由图象可知，或,即或，

所以的斜率的取值范围是为.

故答案为：.

8．设等差数列，的前项和分别为，，且，则____

【答案】

【分析】根据等差数列前项和公式解决即可.

【详解】由题知，等差数列的前n项和分别为，，且，

因为，

故答案为：.

9．对任意，直线过定点______.

【答案】

【分析】变换得到，得到方程组，解得答案.

【详解】，则，

，解得，故直线过定点.

故答案为：

10．有一光线从点射到x轴以后，再反射到点，则这条光线的入射光线所在直线的方程为______．

【答案】

【分析】根据对称性可知：点关于x轴对称的点在入射光线所在的直线上，求出点关于x轴对称的点的坐标即可求解.

【详解】因为点关于x轴对称的点的坐标为，

由直线的对称性可知：这条光线的入射光线经过点和，

所以条光线的入射光线所在直线的方程为，

也即，

故答案为：.

11．已知数列的通项公式为，若数列是严格递增数列，则实数a的取值范围是_________．

【答案】

【分析】根据数列是严格递增数列求得，再结合求得a的取值范围．

【详解】解：∵ 数列严格递增，

当时，，

，

∴当时，递增，

，

即，

解得，

∴ ．

故答案为：．

12．如图，是一块直径为2的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得到图形，记纸板的周长为，则________.

【答案】

【分析】由题意知纸板每剪掉半圆，周长依次增加，而，利用等比数列求和公式可得，再利用极限思想即可求.

【详解】由题意得圆形的周长为，

每剪掉半圆，周长依次增加，

所以，

所以.

故答案为：.

二、单选题

13．已知，，若，则实数等于（    ）

A． B． C． D．6

【答案】C

【分析】由空间向量平行的坐标表示求解即可

【详解】因为，，且，

所以，

解得，

故选：C

14．已知直线的斜率是方程的两个根，则（    ）

A． B．

C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定

【答案】C

【分析】由可知两直线不垂直，且知两直线不平行，由此可得结论.

【详解】设直线的斜率为，则，

，不垂直，A错误；

若，则，与矛盾，，不平行，B错误；

不平行，也不垂直，相交但不垂直，C正确，D错误.

故选：C.

15．用数学归纳法证明等式的过程中，当时等式左边与时的等式左边的差等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分别写出与时等式的左边式子，再作差即可.

【详解】解：当时，等式左边，

当时，等式左边，

故当时等式左边与时的等式左边的差为.

故选:C.

16．小明同学在课外阅读中看到一个趣味数学问题“在64个方格上放米粒：第1个方格放1粒米，第2个方格放2粒米，第3个方格放4粒米，第4个方格放8粒米，第5个方格放16粒米，……，第64个方格放粒米．那么64个方格上一共有多少粒米？”小明想：第1个方格有1粒米，前2个方格共有3粒米，前3个方格共有7粒米，前4个方格共有15粒米，前5个方格共有31粒米，……．小明又发现，，，，，，……．小明又查到一个数据：粒米的体积大约是1立方米，全球的耕地面积大约是平方米，，．依据以上信息，请你帮小明估算，64个方格上所有的米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为（    ）

A．0.0012米 B．0.012米 C．0.12米 D．1.2米

【答案】C

【分析】由题意知格子上的米粒数是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列求和公式可得

64个方格上一共有粒米，设米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为，可得，两边取对数计算可得答案.

【详解】第1个方格放1粒米，第2个方格放2粒米，第3个方格放4粒米，第4个方格放8粒米，第5个方格放16粒米，……，可知格子上的米粒数是以1为首项，2为公比的等比数列，

那么64个方格上一共有粒米，

设米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为，

因为粒米的体积大约是1立方米，全球的耕地面积大约是平方米，

所以，

可得，

用近似替代，

所以

，即，可得，又，

故64个方格上所有的米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为（米）.

故选：C.

三、解答题

17．已知直线，.

(1)已知，求的值；

(2)已知，求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据直线垂直的条件直接列式计算即可得解.

（2）根据两直线平行或重合的条件求出m值，再检验即可.

【详解】（1）因为，则有，解得，

所以的值为.

（2）当或重合时，，或，

当时，，此时两直线平行，满足条件，

当时，，，即，此时两直线重合，不符合题意，

综上，.

18．已知直线与直线交于点.

(1)直线经过点，且平行于直线，求直线的方程；

(2)直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程.

（注：结果都写成直线方程的一般式）

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）联立两直线方程求出交点的坐标，设，将点的坐标代入方程，求出的值，即可得解；

（2）依题意设或，将点的坐标代入方程，求出、的值，即可得解；

【详解】（1）解：由联立得，，

设，将代入得，解得，

为.

（2）解：由题意直线的斜率存在且不为，设或，

将代入得或

解得无解或，

所以，即，

为.

19．数列{an}满足：，点在函数的图象上，其中k为常数，且.

(1)若，，成等比数列，求k的值；

(2)当时，求数列的前项的和

【答案】(1)2；

(2).

【分析】（1）通过合理代值，解出， ，则得到，解出即可.

（2）通过累加法得到.

【详解】（1）由可得，，，

所以，，.

又，，成等比数列，，即，

又，故.

（2）时，，，，…，

，

.

20．如图，平面平面，，直线AM与直线PC所成的角为，又．

(1)求证：；

(2)求二面角的大小；

(3)求多面体的体积．

【答案】(1)证明见解析；

(2)；

(3).

【分析】(1)根据题意和面面垂直的性质定理可得平面即可得到证明；

(2)由(1)，建立如图空间直角坐标系，设，利用空间线线角和向量数量积的定义求出.利用向量法求出平面的法向量，结合平面的一个法向量为，根据空间数量积的定义计算，结合反三角函数的定义即可求解；

(3)根据题意，找出底面和高，并求出底面积，求出高，结合锥体的体积公式计算即可.

【详解】（1）因为平面平面，平面平面，

，平面，

所以平面，由平面，

得；

（2）

由(1)知，建立如图空间直角坐标系，设，

则，有，

又直线AM与直线PC所成的角为，得，

即，解得，

设平面的一个法向量为，

则，令，得，

易知平面的一个法向量为，

则，

又二面角的所成角为锐角，

所以二面角的所成角的余弦值为，

故二面角的大小为；

（3）由题意知，

多面体即为四棱锥，

则

，

即多面体的体积为.

21．已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点.

(1)已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值；

(2)已知点､点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标；

(3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围.

【答案】(1)；

(2)或；

(3)

【分析】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，利用夹角公式及基本不等式求最值，即可得到，的夹角的最小值；

（2）设直线PR，PQ，QR的斜率分别为，可得，求解可得的值，进一步得到直线PR与直线PQ的方程，联立得P的坐标；

（3）设出直线，的方程，求出原点到它们的距离，计算，转化变形后结合基本不等式可得取值范围．

【详解】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，

则 ，

等号成立的条件是，所以的最小值为，

则两直线的夹角的最小值为；

（2）设直线的斜率分别为，

则，得或，

当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，；

当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，；

故所求为或；

（3）由题意可设即，即，其中，

故

由于（等号成立的条件是），

所以，故即，

所以.

【点睛】方法点睛:“新定义"主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说"新题"不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.