2022-2023学年上海市嘉定区第一中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海市嘉定区第一中学高二上学期10月月考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市嘉定区第一中学高二上学期10月月考数学试题 一、填空题1．函数的最小正周期为_____．【答案】【详解】试题分析：【解析】三角函数的周期.2．设复数满足，其中是虚数单位，则___________．【答案】－3【分析】利用复数的除法运算化简复数，即可求解.【详解】由可得：，所以，故答案为：.3．已知，则________.【答案】【分析】根据诱导公式化简求值.【详解】由诱导公式可知.故答案为:4．一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是________【答案】相交或异面【分析】分为共面和不共面，可确定两种位置关系.【详解】若为异面直线，当共面时，相交；当不共面时，异面故答案为相交或异面【点睛】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，属于基础题.5．已知向量，，若，则实数的值是______．【答案】【分析】应用向量共线的坐标表示得，即可求.【详解】由题意知：，解得.故答案为：6．如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为________．【答案】8【分析】根据斜二测画法，还原出原图，根据原图与直观图的关系，求得边长，即可得答案.【详解】根据直观图，还原原图可得OABC，如图所示：根据原图与直观图的关系可得，，且，所以，所以原图形OABC的周长为3+1+3+1=8，故答案为：87．若复数（为虚数单位）是方程（、均为实数）的一个根，则___【答案】【分析】先由题意，得到，化简整理，再由复数相等，得到，根据复数模的计算公式，即可求出结果.【详解】因为复数（为虚数单位）是方程（、均为实数）的一个根，所以，整理得：，因此，解得.所以.故答案为【点睛】本题主要考查求复数的模，熟记复数模的计算公式，以及复数相等的充要条件即可，属于常考题型.8．在正方体中，分别为的中点，则与平面所成角的大小为______．【答案】【分析】连接相交于，连接，，转化为求直线和平面所成的角，再利用线面垂直的判定定理可得就是直线和平面所成的角，由可得答.【详解】连接，由于分别是的中点，所以，所以直线和平面所成的角的大小等于直线和平面所成的角，连接相交于，连接，根据正方体的几何性质可知平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面，所以就是直线和平面所成的角，因为，所以，所以，，所以，故与平面所成角的大小为.故答案为：.9．在中，若，，，则的面积为___________.【答案】【分析】利用公式求出，利用正弦定理求出，利用三角形的面积公式可求出结果.【详解】因为，所以，，所以，所以，所以，所以，，所以，由正弦定理得，得，得，所以的面积.故答案为：【点睛】关键点点睛：利用正弦定理、三角形面积公式求解是解题关键.10．已知、满足，在方向上的数量投影为，则的最小值为______．【答案】10【分析】根据数量投影的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】设、的夹角为，因为在方向上的数量投影为，所以，因此，因此，所以，，因此有，因为，所以当时，有最小值，最小值为，故答案为：1011．已知函数，，若函数在区间内单调递增，且函数的图象关于直线对称，则的值为______．【答案】【分析】化函数为f（x）＝2sin（ωx），由正弦函数的单调增区间求出x的取值范围，结合题意列不等式组求出k的值，再根据函数f（x）的对称轴求出ω的值．【详解】函数，，函数在区间内单调递增，，，；可解得函数的单调递增区间为：，，可得：，，其中，解得：且，，，解得：，，可解得：，又由，；可解得函数的对称轴为：，，由函数的图象关于直线对称，可得：，可解得：．故答案为．【点睛】本题主要考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，正确确定k的值是解题的关键，是中档题12．已知为的外心，，，则的最大值为________【答案】【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系，设，列方程用表示出，代入圆的方程，再利用不等式解出的范围即可.【详解】设的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，因为，所以，不妨设，，，则，，，因为，所以，解得，因为在圆上，所以，即，所以，所以，解得或，因为只能在优弧上，所以，故【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及其意义，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型. 二、单选题13．若、是两条不重合的直线，垂直于平面，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用线面垂直性质定理去判断“”与“”逻辑关系即可解决.【详解】若、是两条不重合的直线，垂直于平面，则由，可以得到，即“”是“”的充分条件；由，可得或，即“”不是“” 的必要条件.故“”是“”的充分不必要条件故选：A14．函数图象的一条对称轴方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由和差公式化简函数，由整体法令，即可求解.【详解】，令，即，故函数图象的一条对称轴方程为．故选：C15．如图，正方体中，分别为棱的中点，连接，对空间任意两点，若线段与线段都不相交，则称两点可视，下列选项中与点可视的为（    ）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】B【分析】根据异面直线的定义判断即可.【详解】A选项：四边形是平行四边形，与相交，故A错；C选项：四边形是平行四边形，与相交，故C错；D选项：四边形是平行四边形，与相交，故D错；利用排除法可得选项B正确.故选：B.16．已知直线垂直平面，垂足为，在矩形中，，若点A在上移动，点在平面上移动，则、两点间的最大距离为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等号能成立时求得、两点间的最大距离即可解决【详解】取AB中点E，连接OE、DE，则则、两点间的距离，当且仅当、、三点依次共线时等号成立，此时平面平面，直线AB与平面所成角为故选：B 三、解答题17．已知复数，且是纯虚数．(1)求复数；(2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由纯虚数的定义列出方程得出复数；（2）由复数的四则运算结合复数在复平面内对应的点所在象限，列出不等式得出的取值范围．【详解】（1）∵，∴，又是纯虚数，∴且，即，∴．（2）由（1）得：，则，∵复数在复平面内对应的点在第四象限，∴，解得，故的取值范围为．18．已知向量，．(1)当，求(2)求的最小值，并求此时向量，的夹角大小．【答案】(1)(2)最小值为，此时，夹角大小为 【分析】（1）根据模长公式即可求解，（2）根据模长的坐标运算即可利用函数的性质求最值.【详解】（1）因因为，所以．（2）解法设，，因为，所以，由，当且仅当即时取等所以最小值为，此时，夹角大小为．解法设，由，所以故当，时最小值为，此时．19．如图，已知是底面为正方形的长方体，，，为的中点，(1)求证：直线平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接交于点，可证得四边形为平行四边形，由此可得，利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）方法一：取中点，知，则所求角为，在中，由长度关系可求得结果；方法二：以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法可求得结果.【详解】（1）连接交于点，连接，四边形为长方形，为中点，又为中点，，，又，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面.（2）方法一：取中点，连接，分别为中点，，即为异面直线与所成角，平面，平面，又平面，；，，，，，，，，，即异面直线与所成角的余弦值为.方法二：，，，，；以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，即异面直线与所成角的余弦值为.20．在中，角、、所对的边分别是、、．且．(1)求角的大小；(2)求的取值范围；(3)若，，为中点，为线段上一点，且满足．求的值，并求此时的面积．【答案】(1)(2)(3)，的面积为 【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理求解即可；（2）根据（1）可得，得到，再根据正弦的和差角公式与辅助角公式，根据角度的范围求解即可；（3）先根据直角三角形中的关系求解得，再设，推导可得，再根据求解即可【详解】（1）由正弦定理及，得，即，化简得，故．又，故．（2）由（1）知，，故.又，则，，故．（3）∵，∴，∵，为中点，∴，∵，∴，，∴，，设，则，∴，，∴，在直角中，，∴当时，的面积为．21．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为(1)已知，，若函数为集合中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；(2)已知点满足条件：，，若向量的“相伴函数”在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围；(3)当向量时，“相伴函数”为，若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）把化为形式得“相伴向量”，求出模后可得其范围；（2）写出“相伴函数”，根据辅助角公式得最大值及最大值点，由的范围得的范围，再得出的范围后可得的取值范围；（3）由定义得并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程得或，求得两根，然后作出函数，的图象，由图象可得且有两根的的范围．【详解】（1），∴函数的相伴向量，，∴时，；时，.∴的取值范围为[1，3]（2）的相伴函数其中，.当，，即，时，取得最大值，∴，∵，∴，∴，∴.∴.（3），当时，，由，得：，∴或，由，即，而，解得或，即∴在上有两个根，方程在上存在4个不相等的实数根，当且仅当且在上有两个不等实根，在同一坐标系内作出函数在上的图像和直线，如图，方程在上有两个不等实根，当且仅当函数在上的图像和直线有两个公共点，观察图像知：或，解得或，所以实数的取值范围是.