2022-2023学年上海市青浦高级中学高二上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海市青浦高级中学高二上学期9月月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市青浦高级中学高二上学期9月月考数学试题 一、单选题1．若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（    ）A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．不能确定【答案】A【分析】根据直线与圆相交可得满足的不等式，从而可判断点与圆的位置关系.【详解】因为直线与圆相交，故，故，故点在圆的外部，故选：A.2．直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位，所得到的直线为(A． B．C． D．【答案】A【详解】∵直线绕原点逆时针旋转的直线为，从而淘汰（Ｃ），（D）又∵将向右平移１个单位得，即 故选A；【点评】此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；【突破】熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；3．与两圆，都相切，且半径为3的圆一共有（    ）个A．9 B．7 C．5 D．3【答案】B【分析】求出两圆圆心、半径，根据两外切，一外切一内切，两外切讨论，即可求得.【详解】设圆圆心，半径，圆心，半径.由已知圆，半径.当圆与两圆都外切时，有，即有，可得在的垂直平分线上，即，由，可得，有2个圆满足；当圆与圆相外切，与圆相内切时，有，即，解得，即有2个圆满足；同理，当圆与圆相外切，与圆相内切时，有2个圆满足；当圆与两圆都内切时，有，即有，解得，即有1个圆满足.综上所述，共有7个圆满足情况.故选：B.4．设，为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为（    ）①存在实数，使得点在直线上；②若，则过、的直线与直线平行；③若，则直线经过的中点；④若，则点、在直线的同侧且直线与线段的反向延长线相交．A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④【答案】D【分析】依次分析命题：①根据中的分母不为0，即可判断点不在直线上；②当时，分和两种情况考虑，当时，根据推出直线与直线平行；当时，根据，化简后得到直线与直线的斜率相等，且点不在直线上，进而得到两直线平行；③当时，化简后得到线段的中点在直线上；④根据，得到与同号且小于，进而得到点、在直线的同侧且直线与线段的反向延长线相交，综合可得答案.【详解】①因为中，，所以点不在直线上，故①错误；②当时，根据得到，化简得：，直线与直线的斜率不存在，都与轴平行，由①知点不在直线上，得到直线与直线平行；当时，根据，得到，化简得：，即直线的斜率为，又因为直线的斜率为，由①知点不在直线上，得到直线与直线平行；综上，当时，直线与直线平行，故②正确；③当，得到，化简得，而线段的中点坐标为，所以直线经过直线的中点，故③正确；④当，得到，即，所以得到点、在直线的同侧，且，得到点与点到直线的距离不等，所以直线与线段的反向延长线相交，故④正确，故选：. 二、填空题5．直线的倾斜角为___________【答案】##【分析】根据直线的方程可得出直线的倾斜角.【详解】直线垂直于轴，故直线的倾斜角为.故答案为：.6．直线的一个法向量是_____．【答案】【分析】根据方程直接写出即可.【详解】直线的一个法向量是，所以，直线的一个法向量是.故答案为：.7．已知直线，直线过点，若，则直线的方程是_________．【答案】.【分析】根据条件可推得，直线的斜率，代入点斜式方程，整理即可得到.【详解】设的斜率分别为，则.又，则.所以，直线的点斜式方程为，整理可得，.故答案为：.8．若直线与平行，则的值为____．【答案】1【分析】根据两直线平行，即可列出关系式，解出即可.【详解】由已知得，，即，解得或.当时，，，显然两直线平行；当时，，化简后，显然两直线重合，舍去.所以，.故答案为：1.9．直线被圆所截得的弦长为______．【答案】【分析】根据所给圆，确定圆心以及半径，再结合点线距离即可求解.【详解】依据题意得圆心为，半径，圆心到直线的距离.则直线被圆截得的弦长为.故答案为：10．已知圆与圆交于、两点，则所在的直线方程是__________．【答案】.【分析】两圆方程作差，即可得到交线的方程.【详解】联立方程，即，两式作差得，，整理可得，.所以，所在的直线方程是.故答案为：.11．已知线段两端点的坐标分别为和，若直线恒过，且与线段有交点，则的斜率的取值范围是_____．【答案】【分析】根据已知条件及直线的斜率公式即可求解.【详解】因为直线恒过,和，所以，.由题意可知，直线的斜率存在且的斜率，若直线与线段有交点，如图所示由图象可知，或,即或，所以的斜率的取值范围是为.故答案为：.12．若直线被两平行线与所截得的线段的长为，则直线与两平行线的夹角是_____．【答案】##【分析】作出图象，过直线与其中一条直线的交点向另一直线作垂线，在直角三角形中求解即可.【详解】如图，直线与两平行线与分别交于、两点，过作于点，则即为所求角.由已知，，，在中，有,则.故答案为：.13．直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是_______________________.【答案】【分析】首先确定直线和曲线的图形特征，然后考查临界值即可确定实数的取值范围．【详解】解：如图所示，是一个以原点为圆心，长度为半径的半圆，是一个斜率为的直线，要使两图有两个交点，连接和，直线必在以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线的值，当直线与重合时，；当直线与半圆相切时，圆心到的距离，即，解得：或（舍去）．所以的取值范围是．故答案为：14．若圆上有且只有两个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是______．【答案】.【分析】求出圆心到直线的距离等于，根据直线与圆的三种位置关系讨论，能求出半径的取值范围.【详解】图1圆心到直线的距离，如图1，当直线与圆相交时，，要使圆上有且只有两个点到直线的距离为1，应有，即，所以有；如图2，当直线与圆相离时，，要使圆上有且只有两个点到直线的距离为1，应有，即，所以有；图2如图3，当直线与圆相切时，则，显然圆上有且只有两个点到直线的距离为1，所以有满足.图3综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.15．一束光线从点射出，经轴上一点反射后到达圆上一点，则的最小值为_____．【答案】【分析】由题知圆的圆心坐标为，半径为，设设关于轴对称的点为，进而结合，求解即可.【详解】解：由题知：圆的圆心坐标为，半径为，如图，设关于轴对称的点为，所以，因为，当且仅当三点共线，，当且仅当三点共线，所以，，当且仅当，三点共线，三点共线时等号成立，所以，的最小值为 故答案为：16．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M、N是锐角的一边QA上的两点，试在边QB上找一点P，使得最大”，如图，其结论是：点P为过M、N两点且射线QB相切的圆的切点，根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点、，点P在x轴上移动，当取最大值时，点P的坐标为___________【答案】【分析】设的外接圆的圆心为，根据题设中给出的结论可构建关于的方程组，解方程组后可得的坐标.【详解】延长交轴于，则为锐角，由题设，当在射线上时，若取最大值，则有的外接圆与轴相切且切点为，设为轴上的动点且在的左侧，则，由为最大值角可得，故当为轴上的动点且取最大值时，在射线上且的外接圆与轴相切且切点为.设该圆的圆心为，则且圆的半径为，故，整理得到，解得或，又直线的方程为，故，故舍去，故的外接圆的圆心为，故.故答案为：.【点睛】方法点睛：本题为即时应用类问题，注意根据给出的背景或结论来构建所设变量的方程组，另外对不适合题设给出的背景的另一类问题的讨论. 三、解答题17．已知直线过点，若直线在两坐标轴上截距相等，求直线的方程．【答案】或.【分析】根据已知，分为截距为0与截距不为0讨论即可得到.【详解】当截距都为0时，直线过点，，可设直线方程为，代入，解得，所以，直线的方程为，即；当截距都不为0时，可设直线方程为，即，代入，解得，所以直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.18．在中，，（1）求AB边的垂直平分线所在的直线方程；（2）若的角平分线所在的直线方程为，求AC所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设AB边的垂直平分线为l，求出，即得AB边的垂直平分线所在的直线方程；（2）设B关于直线的对称点M的坐标为，求出即得解.【详解】（1）设AB边的垂直平分线为l，有题可知，，又可知AB中点为，l的方程为，即，（2）设B关于直线的对称点M的坐标为；则，解得，所以，由题可知，两点都在直线AC上，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，所以AC所在直线方程为.【点睛】方法点睛：求直线方程常用的方法是：待定系数法，先定式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式），再定量.19．已知圆，其圆心在直线上．(1)求的值；(2)若过点的直线与相切，求的方程．【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心，代入直线方程即可求解；（2）对直线的斜率是否存在讨论.若存在，设直线的方程为：，利用圆心到直线的距离即可求解.【详解】（1）圆的标准方程为：，所以，圆心为.由圆心在直线上，得.所以，圆的方程为：.（2）当直线的斜率不存在时，即方程为，此时直线与圆相切；当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为：，即，由于直线和圆相切，得，解得：，代入整理可得.所以，直线方程为：或.20．已知圆C：x2+y2﹣8x﹣6y+F＝0与圆O：x2+y2＝4相外切，切点为A，过点P（4，1）的直线与圆C交于点M，N，线段MN的中点为Q．（1）求点Q的轨迹方程；（2）若|AQ|＝|AP|，点P与点Q不重合，求直线MN的方程及△AMN的面积．【答案】（1）；（2），.【分析】（1）利用两圆外切确定圆，通过弦心距与弦垂直可得，故知轨迹为以为直径的圆；（2）先求得点坐标，由可知，也在以为圆心，以为直径的圆上，该圆与点的轨迹圆联立可得直线也即直线的方程，之后利用点到直线距离公式等知识求解即可．【详解】解：（1）圆的标准方程为，圆心，半径为，由圆与圆相外切可知，解得，圆，又，则点在圆内，弦过点，是的中点，则，点的轨迹是以为直径的圆，其方程为；（2）线段与圆的交点为，由，解得，若，则，是以点为圆心，为半径的圆与点的轨迹的交点，由，与，作差可得，即直线的方程为，点到直线的距离，，点到直线的距离，的面积．21．如图，已知，，，直线.(1)求直线l经过的定点坐标；(2)若直线l等分的面积，求直线l的方程；(3)若，点E､F分别在线段BC和AC上，上，求的取值范围.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）将直线变形为，由恒等式可得方程组，从而求得直线所过的定点；（2）根据条件确定直线l所过的定点在直线AB上，设出直线l与AC交点D，由确定D点位置，从而求出D点坐标，代入直线l的方程可求解方程；（3）由可得有，设，可确定，由向量共线可得出F点坐标，表示出,利用二次函数的图象与性质即可求得其取值范围.【详解】（1）解：直线可化为，联立，解得，故直线l经过的定点坐标为；（2）解：因为，，，所以有，由题可得直线AB方程为，故直线l经过的定点在直线AB上，所以，设直线l与AC交于点D，所以有，即，所以，设，所以，即，所以，，所以，将D点坐标代入直线l的方程，解得，所以直线l的方程为：；（3）解：由（2）可知为等边三角形，所以，，而，，，所以有，设，则，所以，因为F在AC上，设，所以，即，解得，，所以，所以，，故，因为，所以.