2022-2023学年上海市洋泾中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海市洋泾中学高二上学期期中数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．半径为1的球的表面积为________.
【答案】
【分析】由球的表面积公式即可得到答案.
【详解】,
,
，
故答案为:
【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题.
2．三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，空间中一点P到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP的长为______
【答案】
【分析】根据题设描述可得示意图，即为一个长、宽、高分别为5、3、4的长方体的体对角线，即可求的长.
【详解】由题意可得如下示意图：
即为一个长方体的体对角线，且长方体的长、宽、高分别为5、3、4，
∴，
故答案为：.
3．已知正方体的棱长为，异面直线与的距离为__________.
【答案】
【分析】根据线面垂直性质可得，又，可知所求距离为，从而得到结果.
【详解】
平面，平面
又 异面直线与之间距离为
故答案为
【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.
4．已知某圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，则该圆柱的体积为_______.
【答案】
【分析】根据题意得到圆柱底面圆半径为，高为，根据圆柱的体积公式，即可得出结果.
【详解】因为圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，
则圆柱底面圆半径为，高为，
所以该圆柱的体积是.
故答案为
【点睛】本题主要考查旋转体的体积，熟记圆柱体积公式即可，属于基础题型.
5．如图，以长方体的顶底为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________
【答案】
【分析】根据的坐标，求的坐标，确定长方体的各边长度，再求的坐标.
【详解】点的坐标是，，

，，
，

故答案为:.
【点睛】本题考查向量坐标的求法，意在考查基本概念和基础知识，属于简单题型.
6．在等差数列中，若，则的值为________．
【答案】8
【详解】
7．若一个圆锥的底面面积为，母线长为，则它的侧面积为___________.
【答案】
【分析】由已知条件求出底面半径，从而可求出圆锥的侧面积
【详解】解：设圆锥的底面半径为，则，得，
所以圆锥的侧面积为，
故答案为：
8．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个顶点，则在正方体盒子中，大小为________.
【答案】
【分析】根据题意,将几何体复原,根据正方体的性质可得△的形状,从而可得结果.
【详解】几何体复原如图所示:
则△是正三角形,所以.
故答案为 :.
【点睛】本题考查了由几何体的展开图复原几何体,考查了空间想象能力,正方体的结构特征,属于基础题.
9．如图，在正方体中，分别是的中点，则直线与平面所成角的大小为__________．
【答案】
【分析】过作于，连接，则为直线与平面所成角的大小，然后求解即可．
【详解】过作于，因为几何体是正方体，
所以平面，连接，
则为直线与平面所成角的大小，
设正方体的棱长为，分别是，的中点，
则 ，
直线与平面所成角的大小为：
故答案为：
【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，考查转化思想以及计算能力．
10．已知，，则的取值范围是________
【答案】
【分析】根据向量的三角形不等式可得.
【详解】解：，
即
故答案为：
【点睛】本题考查向量的三角形不等式，属于基础题.
11．已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为_____________.
【答案】
【分析】根据等比数列前n项和公式解得公比,再根据等比数列前n项和公式求结果.
【详解】若，则由，得，则，不满足题意，故,由，得，所以，故，，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为.
【点睛】本题考查等比数列前n项和公式以及等比数列定义,考查基本求解能力,属基础题.
12．如图，三棱锥中，平面，，为中点，下列说法中正确的是_________．
①；
②记二面角的平面角分别为；
③记的面积分别为；
④．
【答案】①②③④
【分析】利用直线与平面所成角以及二面角转化求解判断选项的正误；三角形的面积的求法判断选项的正误即可．
【详解】对 于①：∵PA⊥平面ABC，根据最小角定理可得，，
∴，故①正确；
对 于②：如图,过A作AM⊥BC于M，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又，所以BC⊥平面APM，所以PM⊥BC，
则，. 过M作∠PMA的角平分线交PA于点E,则,
∴点E在点Q的下方，故，即， 故②正确；
对 于③：如图,，，，
∴，，而所以，所以，故③正确；
对于④：在直 角 △中，，
在直 角 △中，，
在△中，，
，
而，又是钝角，所以 ，所以，
，，
所以.故④正确.
故答案为：①②③④.
【点睛】本题考查空间的线线，线面，面面的位置关系，以及直线与平面所成的角，二面角的转化，属于难题．
二、单选题
13．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若则B．若则
C．若则D．若则
【答案】D
【详解】A项，可能相交或异面,当时，存在，，故A项错误；
B项，可能相交或垂直,当 时，存在，，故B项错误；
C项，可能相交或垂直,当 时，存在，，故C项错误；
D项，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故D项正确,故选D.
本题主要考查的是对线，面关系的理解以及对空间的想象能力.
【解析】直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质.
14．已知、为非零向量，则是的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】、为两个非零向量，根据向量的数量积的运算以及向量垂直的性质可判断.
【详解】解：、为两个非零向量，
，即充分性成立；
若，则
，即必要性成立；
故是的充要条件.
故选：
【点睛】本题考查充分条件、必要条件，向量的数量积及向量垂直的性质，属于中档题.
15．集合正四棱柱直四棱柱长方体正方体，则这四个集合之间的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据正方体、长方体、正四棱柱、直四棱柱的定义即可判断.
【详解】直四棱柱是底面为四边形，侧棱和底面垂直的四棱柱；长方体是底面为矩形的直四棱柱；正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱；正方体是侧棱长和底面边长相等的正四棱柱.综上所述，.
故选：C
16．(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
A．14斛B．22斛
C．36斛D．66斛
【答案】B
【详解】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.
【解析】圆锥的性质与圆锥的体积公式
三、解答题
17．在正方体中，分别是的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与所成角的正切值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知可证四边形是平行四边形，从而，平面，再证平面，可证平面平面；
（2）为与所成角或其补角，由可求．
【详解】（1）连接，
∵分别是的中点，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，
∵分别是的中点，
∴，
∴，
又平面，平面，
∴平面，
又∵平面，
∴平面平面；
（2）由（1）知，
∴为与所成角或其补角，
在中，，，
所以，
所以直线与所成角的正切值为．
18．已知等差数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)设公差为，根据列出关于首项和公差的方程组，求得首项和公差，根据等差数列通项公式即可求；
(2)利用分组求和法求即可.
【详解】（1）设公差为，由得，，解得，
∴；
（2）由得，
∴.
19．如图，在直角中，PO⊥OA，PO=2OA，将绕边PO旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点C为的中点．
(1)求证：；
(2)设直线PC与平面PAB所成的角为，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）本题首先易证PO⊥平面AOB，可得PO⊥AB，再证AB⊥平面POC；
（2）根据线面夹角可知，利用空间向量计算处理．
【详解】（1）证明：由题意知：，
∴PO⊥平面AOB，
又∵平面AOB，所以PO⊥AB．
又点C为的中点，所以OC⊥AB，
，
所以AB⊥平面POC，
又∵平面POC，所以PC⊥AB．
（2）以O为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，
所以，，．
设平面PAB的法向量为，则取，则
可得平面PAB的一个法向量为，
所以．
20．治理垃圾是S市改善环境的重要举措．去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的．
(1)写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数的表达式；
(2)设为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．
【答案】(1)
(2)有效，理由见详解
【分析】（1）分别求出当时和时的通项公式，即可得到年垃圾排放量的表达式；
（2）先根据，利用作差法，可证明数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势
【详解】（1）设治理年后，S市的年垃圾排放量构成数列.
当时，是首项为，公差为的等差数列，
所以；
当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
所以，治理年后，S市的年垃圾排放量的表达式为
（2）设为数列的前项和，
则．
由于

由（1）知，
时，，所以为递减数列，
时，，所以为递减数列，
且，
所以为递减数列，
于是
因此，
所以数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的
21．正四棱锥的展开图如图所示，侧棱长为1，记，其表面积记为，体积记为.
(1)求的解析式，并直接写出的取值范围；
(2)求，并将其化简为的形式，其中为常数；
(3)试判断是否存在最大值，最小值？（写出结论即可）
【答案】(1)，；
(2)，
；
(3)最大值，无最小值.
【分析】（1）根据四棱锥的表面积公式进行求解即可；
（2）求出的表达式，利用三角函数的关系式进行化简即可；
（3）根据的表达式，直接进行判断最值即可．
【详解】（1）解:因为正四棱锥中，，
所以
，其中.
（2）解:设正方形中心为点，则.
所以在RtSOA中，.
所以.
所以.
方法一：，
所以.
所以.
方法二：，
所以.
（3）解:有最大值，无最小值.