2022-2023学年四川省成都市第七中学高二上学期12月月考数学（理）试题（解析版）

这是一份2022-2023学年四川省成都市第七中学高二上学期12月月考数学（理）试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在我校举办的艺术节舞蹈比赛中，有15位评委为选手打分，若选手甲所得分数用茎叶图表示如图所示，则该选手所得分数的中位数为（ ）
A．80B．81C．84D．85
【答案】C
【分析】根据茎叶图，结合中位数的定义进行求解即可.
【详解】根据茎叶图，从小到大排列，第8个数据为84，
所以该选手所得分数的中位数为84，
故选：C
2．分别对“”和“”进行描述，正确的是（ ）
A．或，且B．或，或
C．且，或D．且，且
【答案】A
【分析】由交集和并集的定义结合集合与元素的关系即可得出答案.
【详解】由交集和并集的定义知，
即或，即且.
故选：A.
3．已知O为坐标原点，，则以为直径的圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒
【详解】由题知圆心为，
半径，
∴圆的方程为﹒
故选：B﹒
4．记直线的斜率分别为，命题p：“若，则”，命题q：“若，则”，则下列选项中，为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用两直线平行或垂直的判定来判断命题的真假，然后判断且命题的真假
【详解】若，则或与重合”，故命题为假命题，
为真命题，
“若，则正确，故命题为真命题，
所以为真命题
故选：C.
5．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用双曲线的标准方程，令方程右边的常数1为0，两边开平方，即可得到答案．
【详解】双曲线，
由方程，可得双曲线的渐近线方程为．
故选：D.
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查渐近线的方程求法，属于基础题．
6．如图的程序框图的算法思路源于欧几里得在公元前300年左右提出的“辗转相除法”．执行该程序框图，若输入，则输出的值为（ ）
A．4B．37C．148D．333
【答案】B
【分析】利用辗转相除法求1813和333的最大公约数.
【详解】题中程序框图为辗转相除法求1813和333的最大公约数.
因为，，，
所以1813和333的最大公约数为37.
故选：B.
7．为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
但是统计员不小心丢失了一个数据(用代替，在数据丢失之前得到回归直线方程为，则的值等于（ ）A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据表格数据求，由样本中心点在回归直线上，将点代入即可求的值.
【详解】由题设知：，，
∵在回归直线上，
∴，解得.
故选：A.
8．阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】模拟执行该循环体5次，求出此时i的取值即可判断a的范围.
【详解】模拟执行程序：
，
①；
②；
③；
④；
⑤，
共执行了5次循环体，结束循环，∴.
故选：D.
9．过点的直线与圆相交于两点．记直线的斜率等于，．则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分性、必要性的定义，结合直线的斜率是否存在进行判断即可.
【详解】当直线的斜率等于时，直线的方程为，代入方程中，
得，显然，
当直线的不存在斜率时，直线的方程为，代入方程中，
得，显然，
因此是的充分不必要条件，
故选：A
10．已知圆，点，动圆经过点A且与圆O相切，记动圆圆心M的轨迹为E，有下列几个命题：
①，则轨迹E表示圆，②，则轨迹E表示椭圆，③，则轨迹E表示抛物线，④，则轨迹E表示双曲线，其中，真命题的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设动圆圆心，半径为，根据圆与圆内切和外切两种情况，结合圆，抛物线，椭圆和双曲线的定义，依次判断每个选项得到答案.
【详解】设动圆圆心，半径为，
当时，动圆与圆O内切，故，即，，轨迹为圆，①正确；
当时，动圆与圆O内切，故，即，故轨迹为椭圆，②正确；
当时，动圆与圆O内切时，，，轨迹为线段；动圆与圆O外切时，，，轨迹为射线，③错误；
当时，动圆与圆O外切，，即，故轨迹为双曲线，④正确.
故选：C
11．抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为，且，则直线的斜率等于（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】设为，且，联立抛物线整理可得，，而，，则有，即可求，进而求k值，可知直线的斜率.
【详解】由题意，，设为，且，
∴联立抛物线方程，整理得：且，
∴，①，又，，，
∴，得②，
联立①②，可得：，则，故，
∴直线的斜率为.
故选：C
【点睛】关键点点睛：设直线并联立抛物线方程，应用韦达定理写出，，结合已知线段的数量关系列方程组求，进而求直线的斜率.
12．某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（ ）
A．24B．26C．30D．32
【答案】D
【分析】确定函数表示椭圆的上半部分，表示椭圆上的点到一个焦点的距离，表示距离之和，画出图像计算得到答案.
【详解】，即，，表示椭圆的上半部分，
焦点为，，表示椭圆上的点到一个焦点的距离，表示距离之和，
如图所示：
.
故选：D
二、填空题
13．命题“对，方程表示焦点在x轴上的椭圆”为真命题，则满足条件的的一个值可以是______．
【答案】0.5（填满足的任意实数均可）
【分析】由题意知，，又因为，可求出，即可得出答案.
【详解】因为命题“对，方程表示焦点在x轴上的椭圆”为真命题，
则，
因为，所以.
故答案为：0.5（填满足的任意实数均可）.
14．在平面直角坐标系中，已知点，现将坐标平面沿x轴折成直二面角，则折叠后A，B间的距离为______．
【答案】6
【分析】如图所示，过作轴于，作轴于，确定，利用勾股定理计算即可.
【详解】如图所示：过作轴于，作轴于，
折叠后的两个平面为，，轴，轴，故，
，故，
则，.
故答案为：
15．已知动圆P的圆心P在y轴的右侧，圆P与y轴相切，且与圆C：外切． 则动圆圆心P的轨迹方程为____________．
【答案】
【分析】由题意，设点，圆P与y轴相切则圆P的半径为，
在根据两圆的位置关系求出解析式即可.
【详解】由题知，设点，因为圆P与y轴相切，
所以圆P的半径为，
由圆C：，
所以圆心为，半径，
由圆P与圆外切，
所以，
即，
化简得：
故答案为：.
16．已知点，直线，关于直线的对称点为点，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】直线过点，考虑斜率不存在，斜率为0和斜率存在且不为0三种情况，根据对称计算的坐标，再计算向量的数量积，根据二次函数的性质得到答案.
【详解】，，得到，故直线过定点，
当斜率不存在时，即时，直线方程为，故，；
当斜率为0时，即时，直线方程为，故，；
当直线斜率存在且不为0时，设，设直线方程为，，
则，，解得，
，
设，，，，
，故.
综上所述：
故答案为：
三、解答题
17．某幼儿园为调查学生的年龄与体重之间的关系，现从全校学生中随机抽取100名学生对他们的体重进行分析，这100个样本已经按体重（单位：公斤）分成四组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)若要从体重在[15， 20），[20，25) ， [25， 30)三组内的学生中，用分层抽样的方法选取16人参加一项活动，求从体重在[25，30)内的学生中应选取的人数；
(2)求这100名学生的平均体重．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1，结合分层抽样的性质进行求解即可；
（2）根据平均数的定义进行求解即可.
【详解】（1），
所以解得，
体重在[15， 20），[20，25) ， [25， 30)三组内的学生人数分别为15、30、35人
设体重在[25，30)内的学生中应选取的人数为x，
则；
（2）这100名学生中，体重在[15， 20）内的频率为， 体重在[20， 25）内的频率为，
体重在[25， 30）内的频率为，体重在[30， 35）内的频率为，
所以平均体重为.
18．已知方程表示双曲，方程表示圆C．
(1)若为真，为假，求的取值范围；
(2)若为真，求双曲线E的离心率的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当为真命题时，，当为真命题时，，考虑真假和假真两种情况，计算得到答案.
（2）确定，，根据范围得到离心率的取值范围.
【详解】（1）为真命题，为假，故，恰有一个是真命题．
当为真命题时，，解得；
当为真命题时，，即，故.
当真假时，，解得；
当假真时，或，解得.
综上所述：的取值范围是，
（2）为真，则， 根据双曲线E的方程得.
所以，，，．
所以双曲线的离心率．
19．已知某同学的物理成绩y（单位：分，满分100分）与数学成绩x（单位：分，满分150分）之间具有线性相关关系，在连续的五次月考中，该生的物理成绩与数学成绩统计如下表：
(1)根据该同学的数学与物理成绩，若都以100分值计算，判断哪一科更稳定；
(2)利用上表中的五组数据求回归直线方程.若在第六次月考中该生数学成绩为，利用该回归直线方程预测第六次月考的物理成绩．
参考公式：
【答案】(1)物理成绩更加稳定；
(2)分.
【分析】（1）根据方差的运算公式和性质进行求解判断即可；
（2）根据题中所给的公式，利用代入法进行求解即可.
【详解】（1）根据表中数据可得：
按100分值计算，数学学科的方差为：
，
物理学科的方差为，
，
所以均以100分值计算，该同学物理成绩更加稳定；
（2）
.
，
故所求回归直线的方程为
当，(分)
故第六次月考物理成绩预测值为分.
20．已知，三条直线两两相交，交点分别为．
(1)证明：是直角三角形，且有一个顶点为定点；
(2)求面积的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据直线垂直的性质，结合直线点斜式方程的特征进行求解即可；
（2）根据三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）记的交点为A，记的交点为B，记的交点为C，
的斜率为，的斜率为，
，
，即是直角三角形，其中，
又，所以过定点，
，所以过定点，
有一个顶点B为定点；
（2）的面积为，
其中AB为B到直线的距离，即，
又得交点为到直线的距离，即，
，
当且仅当时取等号，
时，面积取得最大值．
21．已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线与椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB的中点为M，线段CD的中点为N，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)；
(2)证明见解析，定点.
【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标，结合余弦定理、抛物线和椭圆的定义进行求解即可；
（2）直线方程与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合中点坐标公式进行求解即可.
【详解】（1）抛物线焦点坐标为，故.
设，由抛物线定义得：点P到直线的距离为t.
，由余弦定理，得.
整理，得，解得或（舍去）.
由椭圆定义，得，
，
∴椭圆的方程为；
（2）设，
联立，
即，
，代入直线方程得，
，
同理可得，
，
，
令，得，
所以直线MN过定点.
【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
22．已知抛物线及圆C：．
(1)过圆心C作直线与抛物线和圆交于四个点，自上而下依次为A，M，N，B，若成等差数列，求直线的方程；
(2)过抛物线上一动点P（P的横坐标大于）作圆C的两条切线分别交y轴于E，F两点，求线段EF的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由圆C的半径为1可得，因为成等差数列，找出等量关系，求出的值，设直线方程，代入抛物线方程化简，利用韦达定理，弦长公式即可求出直线方程；
（2）设，求出过P且与圆C相切的直线方程，记得斜率分别为，再利用已知条件表示出，结合题设条件转化为函数求解即可.
【详解】（1）由圆C的半径为1可得，
因为成等差数列，
所以，
又，
所以，
设直线，
联立，
所以，
由得：
，解得，
所以直线的方程为.
（2）设，过P且与圆C相切得直线方程为：
，
记得斜率分别为，
则，，
所以，
由圆心到直线的距离等于半径得：
，
化简得：
，，
令，则，
因为，所以
，
，
，（对称轴更接近0）
，即线段EF的取值范围为：.
收入(万元)
12
支出(万元)
数学成绩x
120
110
125
130
115
物理成绩y
92
83
90
96
89