2022-2023学年四川省成都市简阳市阳安中学高二上学期12月月考数学（文）试题（解析版）

2022-2023学年四川省成都市简阳市阳安中学高二上学期12月月考数学（文）试题

一、单选题

1．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B．

【解析】古典概型及其概率的计算．

2．已知命题P：，，则命题P的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据特称命题的否定变换形式即可得出结果．

【详解】命题：，，

则命题的否定为，．

故选：B

3．已知点M（4，t）在抛物线上，则点M到焦点的距离为（ 　）

A．5 B．6

C．4 D．8

【答案】A

【详解】由题意得抛物线定义得，焦点坐标为点，M到焦点的距离为 ,而 ,所以点M到焦点的距离为,选A.

4．直线l：的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求得直线的斜率，由此求得倾斜角.

【详解】依题意，直线的斜率为，倾斜角的范围为,

则倾斜角为.

故选：D.

5．方程表示椭圆的充分不必要条件可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由“方程表示椭圆”可求得实数的取值范围，结合充分不必要条件的定义可得出结论.

【详解】若方程表示椭圆，则，解得或.

故方程表示椭圆的充分不必要条件可以是.

故选：D.

6．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程.

【详解】由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为.

故选：A

7．设某大学的女生体重（单位：kg）与身高（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（    ）

A．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

B．回归直线过样本点的中心

C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D．与具有正的线性相关关系

【答案】A

【分析】对于AC，由回归直线方程的意义即可判断；

对于B，由线性回归方程恒过样本点的中心即可判断；

对于D，由即可判断.

【详解】对于A，当某女生的身高为170cm时，其体重估计值是58.79kg，这不是确定值，所以A结论不正确，故A正确；

对于B，因为回归直线必过样本点的中心，所以B结论正确，故B错误；

对于C，由线性回归方程的意义知，某女生的身高增加1cm，其体重约增加0.85kg，所以C结论正确，故C错误；

对于D，由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，所以D结论正确，故D错误.

故选：A．

8．如图，是对某位同学一学期次体育测试成绩（单位：分）进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是（    ）

A．该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且次测试成绩的极差超过分

B．该同学次测试成绩的众数是分

C．该同学次测试成绩的中位数是分

D．该同学次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关

【答案】C

【分析】根据给定的散点图，逐一分析各个选项即可判断作答.

【详解】对于A，由散点图知，8次测试成绩总体是依次增大，极差为，A正确；

对于B，散点图中8个数据的众数是48，B正确；

对于C，散点图中的8个数由小到大排列，最中间两个数都是48，则次测试成绩的中位数是分，C不正确；

对于D，散点图中8个点落在某条斜向上的直线附近，则次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关，D正确.

故选：C

9．已知椭圆的两个焦点是，点在椭圆上，若，则的面积是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】，，可得，，是直角三角形，的面积，故选D.

10．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，进而根据题意，结合中点弦的问题得，进而再求解准线方程即可.

【详解】解：根据题意，设，

所以①，②，

所以，①②得：，即，

因为直线AB的斜率为1，线段AB的中点的横坐标为3，

所以，即，

所以抛物线，准线方程为.

故选：B

11．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，．若双曲线右支上存在点，使得与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点，且，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合已知条件求出的斜率，进而得到与的比值表达式，然后结合双曲线定义、勾股定理以及、、之间的关系即可求解.

【详解】不妨设双曲线的焦距为，点在第一象限，如下图所示：

因为双曲线的渐近线方程为，

因为与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点，易知的斜率，

令，，

因为，所以，

，

所以，，

由双曲线定义可知，，可得，，

从而双曲线的渐近线方程为.

故选：B.

12．已知､分别为椭圆的左､右焦点，点是以､为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于，若，则直线斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作图，根据椭圆的几何性质和圆的几何性质以及条件，找出图中的几何关系，运用勾股定理以及斜率的定义求解.

【详解】

设椭圆方程为 ，半焦距为c；

由题意，显然 ，设 ，则 ，由椭圆的几何性质知： ，

  ， ， ，

在 中， ，即 ，

解得 ， ，

直线 的斜率为 ；

故选：B.

二、填空题

13．某同学10次数学检测成绩统计如下：95，97，94，93，95，97，97，96，94，93，设这组数的平均数为，中位数为，众数为，则，，的大小为___________（用“>”符号连接）

【答案】

【分析】将数据从小到达的顺序排列，从而求出平均数、中位数、众数，即可比较出它们的大小．

【详解】将数据从小到达的顺序排列，则为，

所以平均数为，

中位数为，众数为，

所以，

故答案为：.

14．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为______.

【答案】4

【分析】求得双曲线的右焦点为，得到，即可求解.

【详解】由题意，双曲线的右焦点为，

因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，

所以抛物线的焦点为，即，解答.

【点睛】本题主要考查了双曲线和抛物线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质是解答的关键，属于基础题.

15．若命题“存在实数x，使”为假命题，则实数a的取值范围为__________.

【答案】

【分析】根据特称命题的性质将条件转化为求一元二次不等式的参数求解即可.

【详解】解：命题“存在实数x，使”为假命题，

则此命题的否定为：，有”成立，

即原命题的否定为真命题，即解：，有”成立的a的范围，

则，

解得：，

即实数a的取值范围为.

故答案为：.

16．已知为双曲线的左焦点，为上的点.若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为__________．

【答案】40

【详解】由双曲线方程得，则虚轴长为6，线段过点为双曲线的右焦点，，,的周长为

三、解答题

17．已知p：，q：．

(1)若p是q的必要不充分条件，求实数m的范围；

(2)若是的必要不充分条件，求实数m的范围．

【答案】(1)，；

(2)，．

【分析】解不等式，

(1)由题意得，从而求得；

(2)由题意可转化为是的充分不必要条件，从而得到，化简即可．

【详解】（1）解不等式得，

是的必要不充分条件，，解得，，

即实数的范围为，；

（2）是的必要不充分条件，

是的充分不必要条件，故，解得，，

即实数的范围为，．

18．某班主任对全班名学生进行了作业量多少与手机网游的调查，数据如下表：

(1)若随机地抽问这个班的一名学生，分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率；

(2)若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了名学生．现要从这名学生中任取名学生了解情况，求其中恰有名“不喜欢手机网游”的学生的概率．

【答案】(1)事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率分别为、；

(2).

【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）确定所选的名学生中，“不喜欢手机网游”和“喜欢手机网游”的学生人数，加以标记，列举出所有的基本事件，确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】（1）解：由题意可知，全班名学生中，“认为作业不多”的学生人数为人，

“喜欢手机网游且认为作业多”的学生人数为人，

因此，随机地抽问这个班的一名学生，事件“认为作业不多”的概率为，

事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率为.

（2）解：在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了名学生，

这名学生中“不喜欢手机网游”的学生人数为，记为，

名学生中“喜欢手机网游”的学生人数为，分别记为、、、，

从这名学生中任取名学生，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共种，

其中，事件“恰有名“不喜欢手机网游”的学生”包含的基本事件有：、、、，共种，

故所求概率为.

19．某电视台为宣传本省，随机对本省内15～65岁的人群抽取了人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”统计结果如图表所示.

（1）分别求出的值；

（2）从第2、3、4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2、3、4组每组各抽取多少人？

（3）指出直方图中，这组数据的中位数是多少（取整数值）？

【答案】（1），，，   （2）第2组： (人)；第3组： (人)；第4组： (人)  （3）42

【分析】（1）先算出第4组的总人数，再根据频率分布直方图得到第4组的频率，从而可计算总人数，最后计算出相应组人数后利用统计结果表可得的值.

（2）先算出第2、3、4组回答正确的总人数，再按比例抽取即可.

（3）根据频率分布直方图可知中位数满足，从而可得的近似值.

【详解】（1）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，

再结合频率分布直方图可知，

，

，

，.

（2）第2、3、4组回答正确的共有54人．

∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：

第2组：(人)；

第3组：(人)；

第4组： (人)．

（3）设这组数据的中位数为，

由频率分布直方图可得前两组的频率之和为，最后两组的频率之和为，

故在第三组中，且，解得，故.

【点睛】本题考查频率分布直方图及其应用，注意频率分布直方图中，各矩形的面积之和为1，过中位数且垂直于横轴的直线平分面积，各矩形的高是.

20．已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点.

(1)求双曲线的方程；

(2)已知双曲线的左､右焦点分别为，，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据共渐近线设出双曲线方程，代入点的坐标即可得解；

（2）根据题意求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，消去后由韦达定理得，从而由弦长公式求得弦长，再求出到直线距离后即可求得的面积．

【详解】（1）依题意，设所求双曲线方程为，

代入点得，即，

所以双曲线方程为，即．

（2）由（1）得，则，，，

又直线倾斜角为，则，故直线的方程为，

设，，

联立，消去，得，

则，，，

由弦长公式得，

又点到直线的距离，

所以．

21．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各4投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.

(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；

(2)估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；

(3)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：

表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.

回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

【答案】(1)2

(2)5

(3)空白栏中填5，

【分析】（1）根据频率等于小长方形的面积以及频率和为，得到关于的等式，求解出即可；

（2）由各组数据的组中值与频率的乘积之和得到对应的销售收益的平均值；

（3）先填写空白栏数据，然后根据所给数据计算出，即可求解出回归直线方程.

【详解】（1）设各小长方形的宽度为，

由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，可知，

解得.

所以图中各小长方形的宽度为2.

（2）由（1）知各小组依次是，

各小组的中点分别为，对应的频率分别为，

所以可估计销售收益的平均值为.

（3）由（2）可知空白栏中填5，

由题意可知，

，，

根据公式，可求得，则，

所以所求的回归直线方程为.

22．已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线：相交于不同的两点，与抛物线的准线相交于不同的两点，且.

(1)求抛物线的方程；

(2)若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点､，且满足，证明直线过定点，并求出点的坐标.

【答案】(1)

(2)证明见解析，

【分析】（1）利用弦长公式及，结合对称性可得直线的方程为，从而利用焦点弦公式求得，由此得解；

（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程得到，由得，从而得到关于的方程，由此求解即可.

【详解】（1）依题意，易知圆心到直线（即抛物线的准线）的距离为，不妨设圆心到直线的距离为，

则，，所以，

则由圆与抛物线的对称性可知，轴，故直线的方程为，即过抛物线的焦点，

所以，故，

故抛物线的方程为.

（2）由题意知，直线不与轴垂直，设直线的方程为，，

联立，消去，得，

则，，，

因为，所以，

又，则，

所以，

解得或（舍去），

当时，，满足题意，

所以直线的方程为，令，则，

故直线过轴上一定点.