2022-2023学年四川省成都市天府新区太平中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年四川省成都市天府新区太平中学高二上学期期中考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省成都市天府新区太平中学高二上学期期中考试数学试题 一、单选题1．命题“”的否定是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由命题的否定原则知，变量词，否结论．【详解】命题的否定是故选：B2．如图是某班篮球队队员身高单位：厘米的茎叶图，则该篮球队队员身高的众数是　　A．168 B．181 C．186 D．191【答案】C【分析】利用茎叶图能求出该篮球队队员身高的众数．【详解】如图是某班篮球队队员身高单位：厘米的茎叶图，则该篮球队队员身高的众数是186．故选C．【点睛】本题考查众数的求法，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．3．如图是某超市一年中各月份的收入与支出单位：万元情况的条形统计图已知利润为收入与支出的差，即利润收入一支出，则下列说法正确的是　　A．利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元B．利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元C．收入最少的月份的利润也最少D．收入最少的月份的支出也最少【答案】D【分析】利用收入与支出单位：万元情况的条形统计图直接求解．【详解】在A中，利润最高的月份是3月份，且2月份的利润为15万元，故A错误；在B中，利润最小的月份是8月份，且8月分的利润为5万元，故B错误；在C中，收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，故5月分的利润不是最少，故C错误；在D中，收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，故D正确．故选D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查收入与支出单位：万元情况的条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4．已知数据，，的方差，则，，的方差为　　A．4 B．6 C．16 D．36【答案】A【分析】利用方差的性质直接求解．【详解】数据，，的方差，，，的方差为．故选A．【点睛】本题考查方差的求法，考查方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．5．已知直线，，则“”是“”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线垂直可得或，然后根据充分条件，必要条件的定义即得.【详解】若，则，解得或，故“”是的充分不必要条件．故选：A．6．已知圆与圆外切,则圆与圆的周长之和为A． B．  C． D．【答案】B【分析】求出两圆圆心坐标,利用外切关系求出两圆的半径之和,结合圆的周长公式进行计算,即可求得答案.【详解】两圆的一般方程为圆与圆,设半径为,半径为,两圆的圆心为两圆外切,两圆半径之和圆与圆的周长之和:故选:B.【点睛】本题主要考查了根据两圆相切求周长和,解题关键是掌握圆的一般方程的定义和两圆相切时半径和与两圆心距离相等,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.7．采用系统抽样方法从人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为.抽到的人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷.则抽到的人中，做问卷的人数为A． B． C． D．【答案】C【详解】从960人中用系统抽样方法抽取32人，则抽样距为k＝，因为第一组号码为9，则第二组号码为9＋1×30＝39，…，第n组号码为9＋(n－1)×30＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10(人)．【解析】系统抽样. 8．执行如图所示的程序框图，输出的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】按照程序框图执行程序，直到不满足时，输出结果即可.【详解】按照程序框图执行程序，输入，，则，满足，进入循环；则，，满足，进入循环；则，，满足，进入循环；则，，满足，进入循环；则，，不满足，终止循环，输出.故选：B.9．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在内现将这100名学生的成绩按照，分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ）A．频率分布直方图中a的值为0.040 B．样本数据低于130分的频率为0.3C．总体的中位数（保留1位小数）估计为123 D．总体分布在的频数一定与总体分布在的频数相等【答案】C【分析】由频率分布直方图先计算出值，判断A，然后计算频率判断B，由频率分布直方图计算中位数判断C，根据频率判断D．【详解】由频率分布直方图，，，A错；样本数据不低于130分的频率为，因此低于分的频率为，B错；分数低于120分的频率为，因此中位数在这一组，设中位数为，则，解得，C正确；总体分布在与的频率相等，因此频数只能大致相等但不一定相等，D错误．故选：C．10．某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于15分钟的概率是（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】想听电台整点报时，时间不多于15分钟的概率可理解为:一条线段长为60，其中听到整点报时的时间不多于15分钟为线段长为15．则由几何概型，化为线段比得：,故选C.11．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A． B．C． D．【答案】A【详解】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线围成的图形的面积是；②曲线上的任意两点间的距离不超过；③若是曲线上任意一点，则的最小值是．其中正确结论的个数为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合已知条件写出曲线的解析式，进而作出图像，对于①，通过图像可知，所求面积为四个半圆和一个正方形面积之和，结合数据求解即可；对于②，根据图像求出曲线上的任意两点间的距离的最大值即可判断；对于③，将问题转化为点到直线的距离，然后利用圆上一点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可求解.【详解】当且时，曲线的方程可化为：；当且时，曲线的方程可化为：；当且时，曲线的方程可化为：；当且时，曲线的方程可化为：，曲线的图像如下图所示：由上图可知，曲线所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，从而曲线所围成的面积，故①正确；由曲线的图像可知，曲线上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即，故②错误；因为到直线的距离为，所以，当最小时，易知在曲线的第一象限内的图像上，因为曲线的第一象限内的图像是圆心为，半径为的半圆，所以圆心到的距离，从而，即，故③正确，故选：C. 二、填空题13．某学校有教师100人，学生900人用分层抽样的方法从全校师生中随机抽取20人，则应抽取的教师人数为______．【答案】2【分析】先求出每个个体被抽到的概率，再用教师的人数乘以此概率，即得所求．【详解】每个个体被抽到的概率等于，则应抽取的教师人数为，故答案为2．【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．14．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点2，，0，，则______．【答案】【分析】利用空间中两点间距离公式直接求解．【详解】在空间直角坐标系Oxyz中，点2，，0，，．故答案为．【点睛】本题考查两点间的距离的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．若直线与直线平行，则________．【答案】【详解】试题分析：因为直线与直线平行所以，即或经检验，当时，两直线重合所以故答案为【解析】两直线平行的充要条件．【易错点睛】充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决直线问题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线和，，，若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．16．利用随机模拟的方法计算图中阴影部分抛物线和x轴围成的部分的面积S．第一步，利用计算机产生两组区间的均匀随机数；，第二步，进行伸缩变换，；第三步，数出落在阴影内的样本点数．现做了100次试验，模拟得到，由此估计______．【答案】【分析】由计算器做模拟试验结果试验估计，得出点落在阴影部分的概率，再转化为几何概型的面积类型求解阴影部分的面积．【详解】根据题意：点落在阴影部分的点的概率是，矩形的面积为，阴影部分的面积为S，则有，．故答案为．【点睛】本题考查了模拟方法估计概率以及几何概型中面积类型的概率问题，是基础题．在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的． 三、解答题17．已知的顶点坐标为(1)求边所在的直线方程；(2)过点做边上的高，求高所在的直线方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用点斜式即可得出直线的方程．（2）由直线的斜率，由此可得边的高所在直线的斜率为，再利用点斜式即可得出．【详解】（1）解：，直线的方程为：，化为：则边所在的直线方程为: （2）解：直线的斜率，由此可得边的高所在直线的斜率为，高所在的直线方程：． 化为：．故高所在的直线方程为：.18．某车间有5名工人其中初级工2人，中级工2人，高级工1人现从这5名工人中随机抽取2名．Ⅰ求被抽取的2名工人都是初级工的概率；Ⅱ求被抽取的2名工人中没有中级工的概率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】Ⅰ设初级工为，，中级工为，，高级工为c，从中随机取2人，利用列举法能求出被抽取的2名工人都是初级工的概率;Ⅱ利用列举法求出没有抽取中级工的情况有3种，由此能求出被抽取的2名工人中没有中级工的概率．【详解】Ⅰ设初级工为，，中级工为，，高级工为c，从中随机取2人，基本事件有10个，分别为：，，，，，，，，，．抽到2名工人都是初级工的情况为：，共1种，被抽取的2名工人都是初级工的概率．Ⅱ没有抽取中级工的情况有3种，分别为：，，，被抽取的2名工人中没有中级工的概率．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.19．已知动点P到点M（-3，0）的距离是点P到坐标原点O的距离的2倍，记动点P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）若直线与曲线C相交于A，B两点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）设动点坐标，由几何条件转化为代数方程即可；（2）求出圆心到直线的距离，再由勾股定理即可求出弦长.【详解】解：（1）设.由题，知 ∴.    ∴.∴曲线C的方程为.    （2）由题，曲线C的圆心到直线的距离为.    ∴.【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，直线与圆相交弦长的计算，属于基础题.20．某学校高一数学兴趣小组对学生每周平均体育锻炼小时数与体育成绩优秀（体育成绩满分100分，不低于85分称优秀）人数之间的关系进行分析研究，他们从本校初二，初三，高一，高二，高三年级各随机抽取了40名学生，记录并整理了这些学生周平均体育锻炼小时数与体育成绩优秀人数，得到如下数据表： 初二初三高一高二高三周平均体育锻炼小时数工（单位：小时）141113129体育成绩优秀人数y（单位：人）3526322619 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验.（1）若选取的是初三，高一，高二的3组数据，请根据这3组数据，求出y关于x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过1，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得到的线性回归方程是否可靠？参考数据：，.参考公式：，.【答案】（1）（2）可靠【解析】（1）根据条件计算出、，从而求出，，即可求出回归方程.（2）代入回归方程计算可得.【详解】解：（1）∵，   .    .   .    ∴y关于x的线性回归方程为.     （2）当时，，.   当时，，.   由此分析，（1）中得到的线性回归方程是可靠的.【点睛】本题考查回归方程的计算以及其应用，属于基础题.21．已知点，，在圆E上，过点的直线l与圆E相切．Ⅰ求圆E的方程；Ⅱ求直线l的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线l的方程为或.【分析】Ⅰ根据题意，设圆E的圆心为，半径为r；将A、B、C三点的坐标代入圆E的方程可得，即可得圆E的方程；Ⅱ根据题意，分2种情况讨论：，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，验证可得此时符合题意，，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，由直线与圆的位置关系计算可得k的值，可得此时直线的方程，综合即可得答案．【详解】Ⅰ根据题意，设圆E的圆心为，半径为r；则圆E的方程为，又由点，，在圆E上，则有，解可得，即圆E的方程为；Ⅱ根据题意，分2种情况讨论：，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，与圆M相切，符合题意；，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，圆心E到直线l的距离，解可得，则直线l的方程为，即，综合可得：直线l的方程为或．【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及圆的标准方程以及切线方程的计算，属于基础题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．22．已知椭圆C的焦点为，，点在椭圆C上．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ若斜率为的直线l与椭圆C相交于A，B两点，点Q满足，求面积的最大值．【答案】Ⅰ Ⅱ 【分析】（I）根据椭圆的几何性质，即可求得标准方程；（II）假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出线段的长度，再求出到直线的距离，从而可以表示出的面积；再利用基本不等式求解出面积的最大值．【详解】（I）设椭圆C的标准方程为，椭圆C的焦点为，，点在椭圆C上．，解得，，椭圆C的标准方程为．（II）设直线l：，，，联立，消去y，得，由，解得，，，由，知，点Q到直线l的距离为，的面积，当且仅当时，．面积的最大值为．【点睛】本题主要考察椭圆中面积的最值问题．关键在于利用变量将所求三角形的面积表示成一个关于的函数的形式，然后利用函数值域或者基本不等式的方法来求解出所求的最值．